ИЭ / 1 семестр / Учебники / Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Уравнения вида

и

зада-

ют пучок прямых с центром в точке

, если коэффициенты

,

и ,

принимают всевозможные

значения.

Рис. 3.27. Пучок прямых

Уравнение вида

при всевозможных значе-

ниях также задает пучок прямых с центром в точке

, кро-

ме единственной прямой, параллельной оси .

параллельными.

Ставится задача: по заданным уравнениям прямых

и опре-

делить взаимное расположение этих прямых на плоскости.

Пусть уравнения прямых и

приведены к общему виду:

:

, :

,

,

.

Для определения взаимного расположения этих прямых на

плоскости

составим

систему

линейных

уравнений:

. Исследуем эту систему.

Рис. 3.28. К решению примера 1

Угол между двумя прямыми

Даны две прямые на плоскости и

. Если эти прямые парал-

лельны или

совпадают, то угол между

ними считается равным

. Если прямые перпендикулярны, то угол между

ними равен

. В остальных случаях между прямы-

плоскости.

1) Прямые

и заданы общими уравнениями.

:

, :

. Из этих уравнений

находим координаты векторов нормали:

,

и ко-

синус угла

между ними:

(

. Так как векторы нормали

и

лежат на перпен-

145

В любом случае косинус угла между векторами и

с точ-

ностью до знака

совпадает с косинусом угла

между прямыми

и . Так как угол между прямыми и

—

острый или прямой, то cos

, поэтому

.

Таким образом, получаем формулу для вычисления косинуса

угла между прямыми

и :

Условие параллельности прямых:

.

Условие

перпендикулярности прямых:

.

2) Прямые и

заданы каноническими уравнениями.

:

, :

. Из этих уравнений находим коор-

динаты направляющих векторов:

,

и косинус уг-

ла между ними (см. рис. 3.31):

(

. Так как направляющие векторы и

лежат на прямых,

параллельных к прямым

и , то угол

между векторами либо ра-

вен углу между прямыми, либо дополняет его до

.

Аналогично рассуждая, как и выше, получим формулу для вы-

числения косинуса угла

между прямыми

и

:

Условие параллельности прямых:

.

Условие

перпендикулярности

прямых:

.

3) Прямые

и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами.

:

,

; :

,

; — угол

между и

(рис. 3.32).

Рис. 3.33. Расстояние от точки до

прямой (точки и лежат по

разные стороны от прямой)

Если точка

и начало координат лежат по одну сторону от

прямой , то

(рис. 3.34).

Рис. 3.34. Расстояние от точки до

прямой (точки и

лежат по

одну сторону от

прямой)

Таким образом, имеем равенство:

. Следова-

тельно,

.

Так как

,

то получаем

формулу:

.

Из этой формулы следует, что для вычисления расстояния от

точки до прямой

, заданной нормированным уравнением, надо ко-

ния и взять значение по абсолютной величине.

2) Прямая задана общим уравнением:

.

1:

, 2:

.

Приведем уравнения к общему виду.

1:

1

.

2:

1

.

прямой.

Возьмем точку

1 и найдем расстояние от нее до

прямой

2:

150

нениями

:

, :

.

Требуется составить уравнения биссектрис

углов, сторо-

Другими словами, для произвольной точки

на биссектрисе рас-

стояния от нее до сторон угла равны.

Пусть — искомая биссектриса, тогда:

.

мыми 1 и 2, где

:

, :

.

Уравнения биссектрис:

;

:

13

.

:

13

.

3.3. КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА

Опр. Линия

на плоскости называется кривой 2-го порядка (ли-

картовой системе координат

алгебраическим

уравнением 2-й

степени относительно переменных

:

, где

.

нат имеет вид:

.

имеет вид:

.

Это уравнение можно привести к каноническому виду в новой

системе координат

путем параллельного переноса старой сис-

темы координат в точку C

.

152