1.85. |
. 1.86. |
. |
1.87. .
Вычислить определители 5-го порядка (№ 1.88 – 1.90).
1.88. |
. 1.89. |
. |
1.90. .
5.1.4. Определители Вандермонда
Используя формулу для определителя Вандермонда, вычислить (№ 1.91 – 1.100).
1.91. |
. 1.92. |
. 1.93. |
. |
1.94. |
. 1.95. |
. |
1.96. |
. 1.97. |
. |
233
1.98. |
|
. 1.99. |
. |
1.100. |
. |
|
|
1.101. Найти степень многочлена |
|
. |
|
1.102. Не вычисляя сам многочлен |
, найти все его действитель- |
||
ные корни: |
|
|
|
.
5.1.5. Определители n-го порядка
Вычислить определители n-го порядка (№ 1.103 – 1.109).
1.103. |
. 1.104. |
. |
1.105. |
. |
1.106. |
. |
234
1.107. |
. |
1.108. Элементы определителя заданы условиями: |
. |
1.109. Элементы определителя заданы условиями: |
. |
5.1.6. Дополнительные задачи
1.110. Вычислить определитель n-го порядка, в котором все элементы побочной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Для каких n этот определитель равен , а для каких равен ?
1.111. Вычислить определитель n-го порядка, в котором элементы по-
бочной диагонали равны соответственно |
…, , а все осталь- |
ные элементы равны нулю. |
|
1.112. Вычислить определитель n-го порядка, в котором элементы побочной диагонали равны соответственно …, , а все элементы, лежащие ниже (или выше) побочной диагонали, равны нулю.
1.113. Как изменятся определители 2-го и 3-го порядка, если у всех их элементов поменять знаки на противоположные?
1.114. Как изменится определитель n-го порядка, если у всех его элементов поменять знаки на противоположные?
1.115. Как изменятся определители 2-го и -го порядка, если все их элементы умножить на одно и то же число ?
1.116. Как изменится определитель n-го порядка, если все его элементы умножить на одно и то же число ?
1.117. Дан определитель n-го порядка: |
. |
Введем обозначение: |
— сумма произведений |
235
элементов i-ой строки на алгебраические дополнения j-ой строки. Найти сумму
5.2.МАТРИЦЫ
5.2.1.Действия над матрицами
Выполнить действия над матрицами (№ 1.118 – 1.150).
1.118. |
|
? |
, |
, |
. |
1.119. |
|
? |
, |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
1.120. |
|
? А |
. |
|
|
1.121. |
|
? А |
. |
|
|
1.122. |
? |
? |
, |
|
. |
1.123. |
? |
? |
, |
. |
|
1.124. |
? |
? |
. |
|
|
1.125. |
? |
? |
. |
|
|
1.126. |
|
? |
, |
. |
|
1.127. |
|
? |
, |
. |
|
1.128. |
|
? |
. |
|
|
1.129. |
|
? |
. |
|
|
236
1.130. |
|
? |
, |
, |
|
. |
1.131. |
|
? |
|
, |
, |
. |
1.132. |
|
? |
|
, |
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
1.133. |
|
? |
|
, |
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
1.134. |
? |
? |
|
. |
|
|
1.135. |
|
? |
, |
. |
|
|
1.136. |
|
? |
|
, |
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
1.137. |
|
? |
|
, |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
1.138. |
|
? |
|
, |
|
. |
1.139. |
|
? |
|
, |
|
. |
1.140. |
|
? |
|
, |
|
. |
237
1.141. |
|
|
? |
, |
, |
|
|
. |
|
|
|
1.142. |
|
|
? А |
В |
|
С |
. |
|
|
|
|
1.143. А |
Е |
В |
А |
В |
|
1.144. А |
Е |
В |
А |
, В |
. |
1.145. |
|
|
? А |
В |
|
1.146. |
|
|
|
|
. |
1.147. |
|
|
|
|
. |
1.148. |
|
|
|
|
. |
1.149. |
|
|
|
|
. |
1.150. |
|
|
|
|
. |
5.2.1. Обратная матрица
Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы и сделать проверку (№ 1.151 – 1.160).
238
1.151. |
. 1.152. |
. |
|
1.153. |
. 1.154. |
α |
α . |
|
|
α |
α |
1.155. |
. 1.156. |
. |
|
1.157. |
. 1.158. |
. |
|
1.159. |
. 1.160. |
. |
|
Решить матричные уравнения (№ 1.161 – 1.165). |
|||
1.161. |
. 1.162. |
. |
|
1.163. |
|
. |
|
1.164. |
|
. |
|
1.165. |
|
. |
|
|
5.2.2. Ранг матрицы |
|
|
Найти ранг матрицы |
(№ 1.166 – 1.176). |
|
|
1.166. |
. 1.167. |
. |
|
1.168. |
. 1.169. |
. |
|
1.170. |
|
. |
|
239
1.171. |
. 1.172. |
. |
1.173. |
. |
|
1.174. |
. |
|
1.175. |
|
. |
1.176. |
|
. |
5.2.3. Дополнительные задачи
Для произвольного натурального числа n вычислить (№ 1.177 –
1.179).
1.177. |
|
. 1.178. λ |
. 1.179. |
α |
α . |
|
|
λ |
|
α |
α |
1.180. Определить, для каких матриц |
возможны следующие дейст- |
||||
вия: |
|
|
|
|
|
а) |
; б) |
; в) |
. |
|
|
1.181. Известно, что квадратная матрица |
n-го порядка удовлетворя- |
||||
ет условию: |
. Вычислить |
, где |
— единичная матри- |
||
ца n-го порядка. |
|
|
|
||
1.182. Пусть определитель квадратной матрицы |
n-го порядка ра- |
||||
вен: det |
|
. Найти следующие определители: |
|||
а) |
; б) |
; в) |
. |
|
|
240 |
|
|
|
|
|
Вычислить значение |
(№ 1.183 – 1.185). |
1.183. |
. |
1.184. |
. |
1.185. |
. |
1.186. Определить, чему равны ранги следующих матриц: а) единичная матрица n-го порядка;
б) диагональная матрица n-го порядка с единственным нулевым элементом на диагонали;
в) прямоугольная матрица, у которой все ненулевые строки одинаковы.
Найти обратные матрицы для матрицы A n-го порядка (№ 1.187
– 1.195).
1.187. |
. |
1.188. |
. |
1.189. |
. |
1.190. Составить многочлен: |
и найти его корни, |
если |
|
|
241 |
— заданная треугольная матрица, — еди-
ничная матрица n-го порядка. |
|
1.191. Составить многочлен: |
и найти его корни, |
если |
|
,— единичная матрица 3-го порядка.
1.192. Найти |
из условия: |
O, где |
, |
O — нулевая |
матрица 2-го порядка. |
|
|
|
|
1.193. Найти все решения матричного уравнения: |
|
O, где |
||
— квадратная матрица 2-го порядка, O — нулевая матрица 2-го по- |
||||
рядка. |
|
|
|
|
1.194. Найти |
из условия: |
, где |
, |
— единич- |
ная матрица 2-го порядка. |
|
|
|
|
1.195. Найти все решения матричного уравнения |
|
, где — |
||
квадратная матрица 2-го порядка, — единичная матрица 2-го порядка.
5.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.3.1. Формулы Крамера
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера
(№ 1.196 – 1.204). |
|
|
1.196. |
. 1.197. |
. |
1.198. |
. 1.199. |
. |
1.200. |
. 1.201. |
. |
242