ИЭ / 1 семестр / Учебники / Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Для произвольной точки

в пространстве вектор

на-

зывается радиус-вектором точки

. Вектор

можно разложить по ба-

зису {

}:

, где

,

,

.

ОНБ {

}. Обозначение: M (

).

,

,

.

Произвольный вектор

в пространстве можно разложить по

ортонормированному базису:

, где

,

,

.

соответствующих координат конца и начала этого вектора:

.

1. Линейные действия.

Пусть

даны

координаты векторов

и

относительно ОНБ

{ }:

,

. Тогда:

λ

; λ

;

;

Если векторы

,

,

заданы в ОНБ

{ }, то

;

;

.

Доказательство. Используем «таблицы скалярного и векторно-

го умножений» векторов из ОНБ {

:

,

,

.

лученных формул при

. Теорема доказана.

105

Пример 1.

,

,

.

порядка).

1) Определитель 2-го порядка

с точностью до знака

равен площади параллелограмма, построенного на векторах

и

:

, причем знак « » означает, что пара векторов

— правая, а знак « » означает, что пара векторов

— ле-

вая.

2) Определитель 3-го порядка

с точностью до

знака

равен объему

параллелепипеда, построенного

на векторах

,

и

:

,

причем знак

« » означает, что тройка векторов

— правая, а знак « » оз-

начает, что тройка векторов

— левая.

Доказательство. 1)

;

. По определению векторного

произведения тройка векторов

— правая.

106

Если

,

то

; следовательно, со стороны вектора

движение от вектора к вектору

видно против часовой стрелки,

т. е. пара векторов

— правая.

Если

,

то

; следовательно, со стороны вектора

движение от вектора

к вектору видно против часовой стрел-

ки, а значит со стороны вектора

движение от вектора

к вектору

видно по часовой стрелке, т. е. пара векторов

— левая.

2)

;

;

— правая тройка;

— левая тройка. След-

планарности векторов).

Для векторов

,

,

, задан-

ных в ОНБ {

}, выполнено:

(условие ортогональности);

(условие коллинеарности);

, , — компланарны

(условие компла-

казано.

Пример 2. Определить, при каких значениях λ векторы

и

будут

ортогональны, если

,

, а векторы

и

зада-

107

ны своими координатами

относительно ОНБ {

}:

,

.

(

) (

)

4

λ2;

λ2

;

(

2)

( 2 )

2

1,2

.

Пример 3. Определить, при каких значениях

векторы

, ,

будут

ОНБ {

}:

,

,

.

, ,

компланарны

2

1

2

2.3.3. Полярная система координат на плоскости

Возьмем на плоскости точку O и луч

, исходящий из точки O.

На луче

укажем направление от точки O и выберем масштаб. Точка

O называется полюсом, а луч — полярной осью. Тем самым введена

полярная система координат на плоскости.

Для произвольной точки

на плоскости полярными координа-

тами называются: полярный радиус

и полярный угол

, об-

разованный отрезком

и полярной осью

, отсчитываемый против

часовой стрелки (рис. 2.40).

;

,

,

.

Чтобы определить полярный угол

, надо установить (по знакам

) четверть, в которой лежит искомый угол, и учесть ограничения

.

Пример 1. Найти полярные координаты точки

.

109

Найдем

:

,

,

. Учитывая, что точка

лежит в 3-й четверти (рис. 2.42), полу-

чим:

.

Таким образом:

.

Рис. 2.42. К решению примера 1

Пример 2. Точки

и N заданы полярными координатами:

,

. Найти их прямоугольные координаты.

Для точки

:

; для точки

:

ординат и осью

, перпендикулярной к этой плоскости и проходя-

щей через полюс O (рис. 2.43).

В цилиндрической системе координат положение точки опре-

деляется тремя числами:

и , где

— полярные координаты

точки проекции точки

на заданную плоскость, а — координа-

110

та на оси

точки пересечения плоскости, параллельной данной и

проходящей через точку , с осью

. Обозначение:

.

нат

в пространстве. Для этого достаточно задать оси

и , а

также плоскость

.

Для произвольной точки

в пространстве сферическими коор-

динатами называется тройка чисел

, где

— поляр-

ный радиус, — угол между отрезком

и осью

, — угол ме-

жду отрезком

и осью , а

— проекция точки

на плоскость

(см. рис. 2.44).

111

Ограничения на сферические координаты:

,

,

.

Пример 1. Найти сферические координаты точки , равноудаленной

от осей координат

, ,

и находящейся на расстоянии

от

этих осей.

Если точка равноудалена от осей координат, то

.

Подставим вместо

их выражения через сферические координа-