Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Из свойства скалярного произведения:

— следует:

Если известны координаты вектора в ОНБ {

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Расстояние от точки

до оси

равно

. Получили точек:

;

где

2.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

2.4.1. Вычисление модуля, направляющих косинусов и проекций векторов

Рис. 2.45. Направляющие углы вектора

113

Опр. Направляющие углы вектора — это углы, которые образует

данный вектор с осями координат: α

, β

(см. рис. 2.45). Косинусы этих углов называются на-

правляющими косинусами данного вектора: cos α, cos

, cos .

Направляющие косинусы вектора являются координатами орта

данного вектора:

cos α,

cos ,

cos .

Следствие. Сумма квадратов направляющих косинусов равна

Пример 1.

Из геометрического смысла скалярного произведения имеем:

Пусть известны координаты векторов

и в ОНБ {

. Тогда:

Пример 2.

114

2.4.2. Деление отрезка в данном отношении

Теорема. Пусть точка M лежит на отрезке AB и делит его в от-

ношении	α: β (рис. 2.46); пусть известны прямоугольные декар-
ношении	α: β (рис. 2.46); пусть известны прямоугольные декар-
товы координаты точек: A(				), B(		). Тогда координа-
ты точки M(		) вычисляются по формулам:
			,		,		.
			,		,		.
					* B
				M
			α	*

A *

Рис. 2.46. Деление отрезка в данном отношении

Доказательство.	,	,		;

2++

1. Теорема доказана.

Пример 1.

частности,

если точка

M является

серединой отрезка AB

(

), то

Если ввести обозначение:

то формулы

для координат точки M запишутся в виде:

115

Координаты центра тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника — это точка пересечения медиан треугольника. AK, BL, CN — медианы ABC, O — центр тяжести

ABC (рис. 2.47).

	B
N	K
	O

A	L	C
	L
Рис. 2.47. Центр тяжести
	треугольника
Упр. 6. Известны прямоугольные декартовы координаты вершин
треугольника ABC: A(	), B(	), C(	). Дока-
зать, что координаты центра тяжести O			вычисляются по

формулам:

Пример 2. Для треугольника

ABC: A

координаты центра тяжести O

2.4.3.Вычисление расстояния между двумя точками

иугла между двумя векторами


	Расстояние между двумя точками: d (A; B)		(рис. 2.48).
	Пусть известны прямоугольные декартовы координаты точек:
A(	), B(	). Тогда:	,

d (A; B)		.

116

d *B

A *

Рис. 2.48. Расстояние между точками

Пример 1. Найти стороны

треугольника ABC, где

(рис. 2.49).

Рис. 2.49. К решению примера 1

;

Из

определения

скалярного

произведения

векторов —

cos (см. рис. 2.50) — получаем формулу для вычисле-

ния косинуса угла между двумя векторами: cos

Если

известны

координаты

векторов

относительно ОНБ {

}, то:

117

Рис. 2.50. Угол между векторами

Пример 2. Найти углы A,

C треугольника ABC, где

(см. рис. 2.51).

Рис. 2.51. К решению

примера 2

arccos

≈ 66 ;

arccos

≈ 75,8 ;

arccos

≈ 38,2 .

2.4.4. Вычисление площадей и объемов

Площадь параллелограмма, построенного на векторах

и :

(рис. 2.52).

118

Рис. 2.52. Площадь параллелограмма

Площадь треугольника, построенного на векторах		и :
	(рис. 2.53).
	(рис. 2.53).

Рис. 2.53. Площадь треугольника

Если известны			координаты		векторов		и
		относительно ОНБ {			}, то
							,
				, где A	, B	, С	.
				, где A	, B	, С	.
Пример 1. Найти площадь треугольника ABC, где
	,		,		.
	,		,		.

119

Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , :

(рис. 2.54).

Рис. 2.54. Объем параллелепипеда

Объем тетраэдра (пирамиды), построенного на векторах , ,

: тетр		(рис. 2.55).

Рис. 2.55. Объем тетраэдра
Если известны координаты векторов		,	,
относительно ОНБ {	}, то
,		.

Пример 2. Найти объем V тетраэдра ABCD, где

(см. рис. 2.56).

Рис. 2.56. К решению примера 2

120

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Аналитическая геометрия — раздел математики, в котором геометрические фигуры изучаются с помощью метода координат и алгебраических уравнений. Возникновение метода координат связано с именами великих французских математиков 17 века Рене Декартом

(1596–1650) и Пьером Ферма (1601 1665).

3.1. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

3.1.1. Преобразование прямоугольных координат на плоскости

Постановка задачи. Пусть имеются две прямоугольные декартовы системы координат на плоскости одной ориентации и

(см. рис. 3.1). Известно взаимное расположение этих систем друг относительно друга. Требуется для произвольной точки на плоскости

выразить координаты	в одной системе через координаты
в другой системе.
Систему координат	будем называть «старой» системой, а

— «новой» системой координат.

Рис. 3.1. «Старые» и «новые» координаты точки на плоскости

121

Переход от одной системы к другой может быть осуществлен с помощью параллельного переноса старой системы в точку и затем поворота полученной системы на некоторый угол .

Рис. 3.2. Взаимное расположение двух систем координат

	Взаимное расположение старой и новой систем координат мо-
жет быть задано координатами точки					в старой системе ко-
ординат и углом поворота			новой системы относительно старой сис-
темы координат (рис. 3.2).
	Преобразование координат при параллельном переносе
	Пусть система координат			получена параллельным перено-
сом системы координат			на вектор		(см. рис. 3.3); { }
— ОНБ в старой системе, {				} — ОНБ в новой системе; заметим,
что	,	.

Рис. 3.3. Параллельный перенос системы координат

122

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf