Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

+sin2 =A2+B2 .

Таким образом,

в новой системе координат линия задается

уравнением

, т. е. уравнени-

ем 1-й степени относительно новых переменных

. Теорема дока-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	Пусть точка		на плоскости имеет координаты			в старой
системе		координат	и	в	новой системе координат. Тогда
		и			.
	Так	как		,	то
						.
	В силу единственности разложения по базису получаем:
							(3.1)
							(3.1)

и
					.		(3.2)
					.		(3.2)

Полученные формулы выражают зависимость старых и новых координат при параллельном переносе системы координат на плоскости.

Преобразование координат при повороте осей координат

Пусть система координат получена поворотом осей координат системы на угол (см. рис. 3.4); { } — ОНБ в старой системе, { } — ОНБ в новой системе.

Рис. 3.4. Поворот системы координат вокруг начала координат

Пусть точка	на плоскости имеет координаты		в старой
системе координат	и	в новой системе координат. Тогда
и		. Следовательно:
			123

				.		(3.3)
Умножим обе части равенства (3.3) скалярно на вектор						:


	=	cos	sin .
Теперь умножим обе части равенства (3.3) скалярно на вектор :


					.
Таким образом, получаем формулы, выражающие старые коор-
динаты через новые:
					.	(3.4)
					.	(3.4)

Если умножить обе части равенства сначала на

, затем на , то

получим формулы, выражающие новые координаты через старые:

(3.5)

Пример 1. Найти новые координаты точки

(

) при повороте

системы координат на угол

Применим формулы (3.5):

. Подставляя в эти

формулы значения старых координат точки

, получим ее новые ко-

ординаты:

(

Общее преобразование координат

Общее преобразование координат включает в себя параллель-

ный перенос и поворот.

Введем промежуточную систему координат

, получен-

ную из старой системы параллельным переносом в точку (см. рис. 3.5).

124

Рис. 3.5. Общее преобразование координат

	Применим формулы (3.1) и (3.2):									и			.

Координаты				связаны с координатами						формулами (3.4)
и (3.5):
					и						.
					и						.

	Объединяя эти формулы, получим формулы общего преобразо-
вания координат:
									,				(3.6)
									,				(3.6)

										.			(3.7)
										.			(3.7)

		Матричная запись формул преобразования координат

	Введем следующие обозначении:							,			,		.
	Введем следующие обозначении:							,			,		.
	Пусть				— матрица поворота, тогда
									.
	В этих обозначениях формулы преобразования координат при-
нимают следующий вид:
	а)	при	параллельном		переносе:		(3.1 )					и	(3.2 )
	а)	при	параллельном		переносе:		(3.1 )					и	(3.2 )

		,

	б) при повороте: (3.4 )					и (3.5 )					,

125

в) при

общем

преобразовании: (3.6 )

(3.7 )

Пример 2. Найти старые координаты точки при параллельном пе-

реносе в точку

и дальнейшем повороте системы координат



на угол	, если известны ее новые координаты: (			).
на угол	, если известны ее новые координаты: (			).
Применим формулу (3.6 ). Здесь		,	,

		(	).
	3.1.2. Уравнение линии на плоскости
Пусть на плоскости задана		прямоугольная декартова система
координат	и некоторая линия	(рис. 3.6).

	Рис. 3.6. Линия на плоскости
Опр. Уравнение		с двумя переменными		называ-
ется уравнением линии		если этому уравнению удовлетворяют ко-
ординаты	любой точки , лежащей на линии и не удовлетво-
ряют координаты любой точки, не лежащей на этой линии:
			.

126

Зная уравнение линии , можно изучать геометрические свойства линии, исследуя ее уравнение.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке C (см. рис. 3.7). Здесь — окружность радиуса R с центром в точке C — это множество всех точек на плоскости, удаленных на расстояние R от точки C. Пусть — произвольная точка на плоскости. Тогда:


		.
Таким образом, уравнение окружности радиуса R с центром в
точке C	имеет вид:

Рис. 3.7. Окружность

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение примет вид:

			.

Замечание 1. Полученное уравнение окружности можно привес-
ти к виду	, если выражение		перенести в левую часть
уравнения.
Замечание 2. Не всякое уравнение вида				задает неко-
торую линию. Например, уравнение				задает единственную
точку O	; а уравнение	задает пустое множество.

127

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основ-

ные задачи:

1.Зная геометрические свойства линии, найти ее уравнение.

2.Зная уравнение линии, изучить ее форму и свойства. Например, составляя уравнение окружности, мы решаем первую

задачу; а исследуя уравнения и , мы решаем вторую задачу.

Линия на плоскости может быть задана и с помощью так назы-

ваемых параметрических уравнений.

Опр. Система уравнений

, t T (T — некий промежуток)

называется параметрическими уравнениями линии , если для любой

точки	, лежащей на линии	, найдется такое значение t T, что
и	, а для точек,	не лежащих на линии такого зна-
чения t не существует. Здесь		и	— некоторые функции пере-

менной t, называемой параметром.

Параметрические уравнения линии имеют простой механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то уравнения и являются уравнениями движения, а линия —

траекторией движения точки, при этом параметр t означает время.

Если из системы уравнений		удается исключить пара-
метр t, то система сводится к уравнению		. Например, пара-
метрические уравнения	, t	задают параболу

Пример 2. Окружность радиуса R с центром в точке C (см.

рис. 3.8).

	Пусть	— произвольная точка на окружности. Возьмем в
качестве параметра		угол поворота вектора	от оси, параллельной
оси	. Тогда	, где	R	t,

128

R t. Получаем параметрические уравнения

окружности:

, t [0; 2 ].

Рис. 3.8. Параметрические уравнения окружности

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнения имеют вид:

, t [0; 2 ].

Пример 3. Циклоида — линия, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой (рис. 3.9). Циклоиду можно представить себе еще как траекторию движения точки обода велосипедного колеса при движении велосипедиста в одном направлении.

Рис. 3.9. Циклоида

129

Из рис. 3.9 видно, что если окружность радиуса		повернулась
на угол , то координаты точки	, лежащей на искомой линии,
выражаются через параметр	по формулам:	,

Таким образом, получаем параметрические уравнения циклои-

ды:

, t [0; + .

Опр. Линия на плоскости называется линией 1-го порядка, если она задается в некоторой прямоугольной декартовой системе коорди-

нат	уравнением 1-й степени (линейным уравнением) относитель-
но переменных		:
		, где	.

Теорема 1. Если линия на плоскости является линией 1-го порядка в одной прямоугольной декартовой системе координат, то она остается линией 1-го порядка и в любой другой прямоугольной декарто-

вой системе координат.
Доказательство. Пусть линия		задается в некоторой прямо-
угольной декартовой системе координат		уравнением:
	, где	.
Выберем любую другую прямоугольную декартову систему ко-
ординат . Переменные	выражаются через переменные

по формулам (5) из §1:
					.
					.

Подставим значения	в линейное уравнение:


				,	где
,		,			.
Проверим, что			:

130

Теорема 2. Прямые линии и только они являются линиями 1-го порядка на плоскости.

Доказательство.

1) Сначала докажем, что любая прямая линия на плоскости задается некоторым линейным уравнением. Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат и задана произвольная прямая (рис. 3.10).

		Рис. 3.10. К доказательству теоремы
Выберем на прямой				произвольную точку и введем новую
систему координат				с началом в точке так, чтобы ось					бы-
ла направлена по прямой				. В новой системе координат прямая					за-
дается уравнением:				.
Это уравнение является линейным уравнение относительно пе-
ременных						. Согласно теореме 1,		уравне-
ние прямой	останется линейным и в системе координат						.
2) Теперь докажем, что любое линейное уравнение задает неко-
торую прямую		на	плоскости.		Пусть	задано линейное	уравнение
		, где			.
									131

Линейное	уравнение относительно	имеет бесчисленное
множество решений. Выберем какое-нибудь его решение			:
	. Тогда
		.
Построим на плоскости прямую линию		, проходящую через
точку	перпендикулярно вектору	(см. рис. 3.11).

Покажем, что прямая — искомая прямая. Для этого составим уравнение этой прямой.

	Рис. 3.11. К доказательству теоремы

	.
Таким образом,		линейное	уравнение	задает
прямую . Теорема доказана.
Опр. Линия	на плоскости называется линией 2-го порядка, если

она задается в некоторой прямоугольной декартовой системе коорди-

нат	алгебраическим уравнением 2-й степени относительно пере-
менных	:
	, где	.

Теорема 3. Если линия на плоскости является линией 2-го порядка в одной прямоугольной декартовой системе координат, то она остается линией 2-го порядка и в любой другой прямоугольной декартовой системе координат.

Упр. 7. Доказать теорему 3.

132

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf