Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 347 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Введем новые обозначения: С1				, С2			, С3

Тогда получим:		С1,	С2,			С3,	С1
С3,	(7С1 С2	С3)	С1		С2		С 3
С2	С3.
Общее решение:				, С1, С2, С3 R.

Проверка. 1-е уравнение:

(

)

— верное равенство. Аналогично проверяются остальные 3 равенства.

Общее решение:

С2 С 1

;

ФСР:

Наряду с однородной системой линейных уравнений
рассмотрим и неоднородную систему линейных уравнений			.
Свойство решений:
1. Если — решение однородной системы, а		— решение не-
однородной системы, то	— решение неоднородной системы.
Действительно:			;
	— решение неоднородной системы.

Следствие.	Если		—
,	а	—	неоднородной
,	то		—
общее решение неоднородной системы			.

1.3.7. Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц

Пусть		— квадратная матрица.
Опр. Число λ называется собственным значением матрицы ,
если существует ненулевой столбец		такой, что		λ	.	При
этом столбец	называется собственным вектором матрицы				,	соот-
ветствующим собственному значению λ.
Например,	для единичной матрицы		выполнено	равенство
1 ,	следовательно,	— собственное значение				еди-
ничной матрицы, а собственным вектором			будет любой ненулевой
столбец .
Для нулевой матрицы выполнено равенство						,
следовательно,	— собственное значение нулевой матрицы, а ее
собственным вектором будет любой ненулевой столбец .
Заметим, что если — собственный вектор матрицы				,	соответ-
ствующий собственному значению λ, то			, где — любое ненуле-

вое число, также является собственным вектором матрицы				, соответ-
ствующим собственному значению λ.
Действительно, если		λ	, то
λ		— собственный вектор матрицы , со-
ответствующий собственному значению λ.
Равенство	λ	можно рассматривать как матричное урав-
нение относительно .
Преобразуем это уравнение:
λ		λ		.

Таким образом, ненулевой столбец является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей , где — единичная матрица.

Для существования ненулевого решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы

был равен нулю: det .

det			.
	Если раскрыть этот определитель, то получим многочлен степе-
ни	относительно переменной .
	Многочлен P(	det	называется характеристиче-
ским многочленом, а уравнение det			— характеристи-
ческим уравнением матрицы .
	Следовательно,	собственными значениями матрицы являются

корни ее характеристического уравнения.

Таким образом, чтобы найти собственные значения матрицы,

нужно найти корни ее характеристического уравнения. Далее для каждого найденного собственного значения надо составить однородную систему линейных уравнений и найти ее решения. Эти решения будут собственными векторами, соответствующими данному собст-

венному значению.
Пример 1.	. Составим характеристическое уравнение:
	. Это квадратное уравнение не имеет ве-

щественных корней. Поэтому вещественных собственных значений и собственных векторов у данной матрицы нет.

Пример 2.		. Составим		характеристическое уравнение:
					— собственные
значения матрицы .		Для каждого собственного значения				найдем
соответствующий собственный вектор					.
;
						;
,	,	.	;

	;	,		,	.
Ответ.	,	,	;	,	,	.
Пример 3.			. Составим характеристическое урав-
нение:


						1,
. Найдем собственные векторы					.

;



		.
;

	.

Решим данную систему методом Гаусса.
[	;	]	[	;
]	[	]	. Составим
систему:
			.

Ответ.

;

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1. ЛИНЕЙНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

2.1.1. Основные понятия

Вектор (свободный вектор) — это направленный отрезок

(рис. 2.1).

Рис. 2.1. Изображение вектора

Обозначения: или (точка — начало вектора, точка — конец вектора). Модуль (длина) вектора — это длина направленного отрезка: = .

— нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают (A B). Модуль нулевого вектора равен нулю:

Опр. Векторы , , …, называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Обозначение: .

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными

( ) или противоположно направленными ( ) (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2. Коллинеарные векторы

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Поэтому любые два вектора, один из которых — нулевой, коллинеарны.

Опр. Вектор, коллинеарный данному вектору , одинаково направленный с ним и имеющий единичную длину, называется ортом вектора и обозначается (рис. 2.3).

— орт вектора

Рис. 2.3. Орт вектора

Противоположный вектор — это вектор, коллинеарный данному вектору , противоположно направленный с ним и имеющий ту же длину (рис. 2.4). Обозначение: .

— вектор, противоположный вектору :

Рис. 2.4. Противоположные векторы

Опр. Векторы , ,…, называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Любые два вектора компланарны, так как через них всегда можно провести плоскости, параллельные друг другу или совпадающие.

Равенство векторов Опр. Два вектора называются равными, если они коллинеарны,

одинаково направлены и имеют равные модули (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Равенство векторов

Из определения равенства векторов следует, что отдельный вектор есть лишь представитель множества всевозможных векторов, равных друг другу. Вектор можно откладывать от любой заданной точки, оправдывая тем самым название свободного вектора.

Угол между векторами

Угол между двумя векторами — это угол между лучами, на которых лежат эти векторы и направления которых совпадают с направ-

лениями этих векторов (рис. 2.6, а, б).
а)	б)

	Рис. 2.6, а, б. Угол между векторами
Угол	между двумя векторами может принимать значения от
до : 0	.
70

Векторы называются ортогональными, если угол между ними

— прямой (рис. 2.6, в).

в)

Рис. 2.6, в. Ортогональные векторы

2.1.2. Линейные действия с векторами и их свойства

К линейным действиям с векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

1. Сложение векторов.

Опр. Суммой векторов и называется вектор, полученный из этих векторов по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Правило треугольника.	Пусть начало вектора совпадает с кон-
цом вектора . Тогда суммой	+	называется вектор, начало которо-
го совпадает с началом вектора		, а конец — с концом вектора
(рис. 2.7).

Рис. 2.7. Сложение векторов по правилу треугольника

Правило параллелограмма. Пусть начала векторов и совпадают. Тогда суммой + называется вектор, идущий из их общего начала по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Сложение векторов по правилу параллелограмма

Свойства		нулевого	и противоположного векторов: +	,
+ ( )	.
Понятие суммы 2-х векторов можно обобщить на случай суммы
векторов	,	, …,	, где начало каждого следующего вектора

совпадает с концом предыдущего вектора (рис. 2.9).

…

++ … +

Рис. 2.9. Сумма векторов , , …,

2. Вычитание векторов.

Опр. Разностью векторов и называется вектор, равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору (рис. 2.10):

+ ( ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 347 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf