Доказательство этих свойств основано на применении правила Саррюса. В качестве примера проведем доказательство свойств 3, 6 и 8.
Доказательство свойства 3.
+ 12 |
23 |
31+ |
13 |
21 |
32 |
13 |
22 |
31 |
12 |
21 |
33 |
11 23 32 11 12 13 21 22 23 31 32 33.
Доказательство свойства 6.
свойство |
λ |
свойство |
.
Доказательство свойства 8.
λ
λ свойство
λ
λ
λ свойство
λ
.
Упр. 1. Доказать свойства 1, 2, 4, 5, 7 и 9.
1.1.3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка
Дана матрица 3-го порядка A= |
. |
||
Опр. |
Минором |
элемента |
называется определитель мат- |
рицы 2-го |
порядка, полученной из данной матрицы 3-го порядка пу- |
||
23
тем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении кото-
рых находится |
: |
|
|
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Опр. Алгебраическим дополнением |
|
элемента |
называется |
|||||
число: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
. |
|
|
Правило (выбора знака): |
|
. |
|
|
|
|||
Пример 1. A= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
. |
|
24
1.1.4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу
Для удобства дальнейших выкладок введем обозначения:
— -ая строка; — -ый столбец.
Теорема (разложения). Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
|
|
∆ = det A |
; |
|
∆ |
+ |
+ |
— разложение по 1-й строке (по |
); |
∆ |
+ |
+ |
— разложение по 2-й строке (по |
); |
∆ |
+ |
+ |
— разложение по 3-й строке (по |
); |
∆ = |
+ |
+ |
— разложение по 1-му столбцу (по |
); |
∆ = |
+ |
+ |
— разложение по 2-му столбцу (по |
); |
∆ = |
+ |
+ |
— разложение по 3-му столбцу (по |
). |
Доказательство этой теоремы основано на определении алгебраических дополнений и применении правила Саррюса. Докажем, например, разложение по 1-й строке:
det A.
Пример 1. Вычислить определитель det A :
а) путем разложения по строке или столбцу; б) с использованием свойств определителя.
а) разложение по 1-й строке (по ): det A
25
разложение по 3-му столбцу (по ): det A
б) с использованием свойств определителя: det A
разложение по
.
Теорема (аннулирования). Дана матрица 3-го порядка:
A |
. |
Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю:
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
|
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
, |
+ |
+ |
. |
Доказательство. Докажем первое равенство. Рассмотрим мат-
рицу |
|
; |
|
|
|
. Подставим: |
, |
, |
. Тогда получим: |
+ |
+ |
|
|
, так как определитель |
содержит две одинаковые строки. Первое равенство доказано. Аналогично доказываются остальные равенства.
26
1.1.5. Определители 4-го порядка
Пусть A |
— матрица 4-го порядка; |
— элементы матрицы |
Введем понятие оп- |
ределителя 4-го порядка, используя понятия миноров и алгебраических дополнений.
Опр. Минором элемента называется определитель матрицы 3-го порядка, полученной из данной матрицы 4-го порядка путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых находится :
,
|
, |
|
|
|
|
|
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр. Алгебраическим дополнением |
|
элемента |
называется |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
число |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Например: |
, |
, |
, |
и |
||||
т. д. |
|
|
|
|
|
|||
Правило (выбора знака): |
|
. |
|
|||||
27
Пример 1. A |
. Вычислим алгебраические до- |
полнения , и .
— ;
;
.
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+ |
+ |
. |
Доказательство теоремы можно провести путем непосредственного вычисления каждой из этих сумм. Ввиду громоздкости выкладок эти вычисления опускаем.
Эта постоянная величина, о которой идет речь в теореме, и будет называться определителем 4-го порядка.
28
Опр. Определителем матрицы 4-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det A = |
, |
(разложение по i-ой строке), |
, или: |
det A = |
, |
(разложение по j-му столбцу), |
. |
Оказывается, введенное таким образом понятие определителя 4-го порядка имеет те же свойства 1–9, что и определители 2-го и 3-го порядков. Кроме того, справедливы теоремы разложения (по определению) и аннулирования.
Вычисление определителей 4-го порядка намного упрощается, если разумно применить свойства определителей, например, получить много нулей в какой-нибудь строке или столбце, или привести определитель к треугольному виду.
Пример 2. det A
1
29
|
|
1.1.6. Определители n-го порядка |
|
||||
Пусть A = |
|
— матрица |
-го порядка, |
— эле- |
|||
менты матрицы |
|
|
|
|
|
||
Опр. |
Минором |
элемента |
называется определитель мат- |
||||
рицы |
-го порядка, полученной из данной матрицы |
-го поряд- |
|||||
ка путем вычеркивания |
-ой строки и -го столбца, на пересечении ко- |
||||||
торых находится . |
|
|
|
|
|
||
Опр. |
Алгебраическим дополнением |
элемент |
называется |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
число: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n-го порядка на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
,
Опр. Определителем матрицы n-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det A
,
Свойства определителей n-го порядка — такие же, как и для определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков (свойства 1–9). Кроме того, справедливы теоремы разложения и аннулирования.
30
Вычисление определителей n-го порядка требует некоторой сообразительности при применении свойств определителей.
Пример 1. Вычислить определитель n-го порядка:
det A |
. |
Ко всем строкам прибавим первую строку, умноженную на
det A |
. |
Получили определитель треугольной матрицы, который по свойству 9 равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
det A 1 ( ) ( ) … ( ) ( ) ( ) … ( ).
Пример 2. Вычислить определитель n-го порядка:
det A
(элементы главной диагонали равны нулю, а все остальные элементы равны 1).
Все строки прибавим к первой строке:
det A |
. |
Из первой строки вынесем общий множитель:
31
det A ( |
) |
. |
Вычтем первую строку из всех остальных строк:
det A ( |
) |
( ).
1.1.7. Определитель Вандермонда
|
Опр. Определителем Вандермонда порядка |
называется опре- |
|
делитель вида: |
|
|
|
|
|
, |
|
где |
— произвольные действительные числа. |
|
|
|
Этот определитель имеет теоретическое значение, он встречает- |
||
ся в некоторых разделах Высшей математики. |
|
|
|
|
Вычислим определитель Вандермонда для |
и |
. |
.
.
32