n
вспомогательные определители системы ( ).
Определитель j получается из |
определителя |
заменой j-го |
столбца на столбец свободных членов. |
|
|
Теорема Крамера. Если основной определитель |
системы ли- |
|
нейных уравнений (1.8) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
Доказательство. |
|
Из формулы: |
получим: |
|
|
|
|
. |
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
. |
1 |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
Ответ:
Пример 2.
.
1
2
3
Ответ:
1.3.4. Исследование систем линейных уравнений
Рассматривается произвольная система линейных уравнений:
. (1.9)
— основная матрица системы (1.9),
( | ) |
— расширенная матрица системы. |
Теорема (Кронекера–Капелли2).
2 Леопольд Кронекер (1823 – 1891) – немецкий математик, Альфредо Капелли (1855 – 1910) – итальянский математик.
54
Для того чтобы система (1.9) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы:
|
|
система ( |
) — совместна rang A rang ( | ). |
|
При этом если |
rang A rang ( | ), то: |
|
1) |
при |
система является определенной (имеет единственное |
|
решение); |
|
|
|
2) |
при |
система является неопределенной (имеет бесчисленное |
|
множество решений).
Доказательство. С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
( | ) |
. |
Здесь |
, |
, … , |
. |
|
|
|
Все элементы ступенчатой матрицы, лежащие ниже r-ой строки, |
||||
равны нулю (за исключением, быть может, |
) или отсутствуют. |
||||
|
Ранг матрицы равен числу ее ненулевых строк: rang A |
. Если |
|||
|
, то rang ( |
| ) ; если |
, то rang ( | ) |
. Сле- |
|
довательно: |
rang A |
rang ( | ). |
|
|
|
Рассмотрим систему линейных уравнений с полученной ступенчатой матрицей:
. (1.10)
Если , то система (1.10) — несовместна, так как последнее равенство не верно.
55
Пусть |
. Покажем, что в этом случае система (1.10) — |
|
совместна. |
|
|
Рассмотрим первый случай: |
. Тогда система (1.10) запи- |
|
шется в виде: |
|
|
.
По теореме Крамера эта система имеет единственное решение,
так как основной определитель системы
. |
|
Рассмотрим второй случай: |
. Тогда система (1.10) запи- |
шется в виде: |
|
.
Оставим неизвестные , … , в левых частях уравнений, а неизвестные ,…, перенесем в правые части уравнений:
.
При |
этом неизвестные ,…, |
называются базисными пере- |
|||
менными, а |
,…, |
— свободными переменными. Свободные пе- |
|||
ременные |
|
могут |
принимать |
произвольные |
значения: |
|
,…, |
|
а базисные переменные , … , |
выража- |
|
ются через свободные переменные по формулам Крамера из системы
56
линейных уравнений с основным определителем |
|
||
|
. |
|
|
|
Таким образом, в случае |
система совместна и имеет бес- |
|
численное множество решений, так как свободные переменные |
, |
||
… , |
могут принимать произвольные действительные значения. |
||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
Опр. Множество всех решений системы линейных уравнений |
||
при всевозможных значениях свободных переменных , … , |
на- |
||
зывается общим решением системы. Из общего решения системы по-
лучаются частные решения при конкретных значениях ,… , |
. |
Пример 1. Исследовать систему линейных уравнений: |
|
. |
|
(A|B) |
|
[ |
; |
] |
|
[ |
|
; |
] |
|
[ |
|
] |
|
[ |
] |
|
[переставим столбцы] |
|
|
|
|
. |
Основная и расширенная матрицы приведены к ступенчатым |
|||
матрицам |
с |
3-мя |
ненулевыми строками. Следовательно, |
rang A |
rang ( |
| ) |
По теореме Кронекера–Капелли система |
совместна. Так как |
то система неопределенна. |
||
Ответ: система — совместна и неопределенна.
57
1.3.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса3
Рассматривается произвольная система линейных уравнений
(1.1).
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из 2-х этапов.
1-й этап (прямой ход метода Гаусса).
Элементарными преобразованиями расширенной матрицы сис-
тема (1.1) приводится к равносильной ей системе со ступенчатой
расширенной матрицей.
На этом же этапе проводится исследование системы на совместность и определенность.
2-й этап (обратный ход метода Гаусса).
Если система совместна, то решается полученная система со ступенчатой расширенной матрицей путем последовательного вычисления неизвестных, начиная с последнего уравнения.
Пример 1. Найти общее решение и сделать проверку; если система совместная и неопределенная, то указать 3 частных решения:
.
В предыдущем примере эта система была исследована: она является совместной и неопределенной: Расширенная матрица равносильной системы имеет вид:
.
Прямой ход метода Гаусса привел к равносильной системе:
.
3 Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) – немецкий математик, астроном и физик, один из величайших математиков всех времен, «король математиков»
58
Обратный ход метода Гаусса. |
|
|
|
||
Выбираем в качестве базисных переменных |
, а свобод- |
||||
ной переменной — . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Свободная переменная может принимать любое действительное |
|||||
значение: |
, . Из системы уравнений последовательно нахо- |
||||
дим все неизвестные: |
, |
, |
+3 . |
|
|
Общее решение: |
|
|
, . |
|
|
Проверка. Подставим найденные значения неизвестных в исходную систему.
1-е уравнение:
=
— верно;
2-е уравнение:
c |
c |
— верно;
3-е уравнение:
— верно.
Запишем общее решение в матричном виде:
, .
Найдем частные решения системы (подставляя вместо « » произвольные значения).
59
|
; |
; |
; |
Ответ. Общее решение: |
, . |
Частные решения: |
; |
; |
. |
1.3.6. Однородные системы линейных уравнений
Опр. Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
. (1.11)
У однородной системы столбец свободных членов равен нуле-
вому столбцу: |
. Матричная запись однородной системы |
|
линейных уравнений: |
. |
|
Однородная система всегда совместна, т. к. имеет нулевое реше- |
||
ние: |
|
|
|
|
. |
Но кроме нулевого решения у однородной системы могут быть и ненулевые решения.
Свойства решений однородной системы:
60
1. Если матрица-столбец |
является решением однородной системы и |
||||||
λ — произвольное число, то λ |
также является решением однород- |
||||||
ной системы. |
|
|
|
|
|
||
2. Если матрицы-столбцы |
и |
являются решениями однородной |
|||||
системы, то их сумма |
также является решением однородной |
||||||
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство свойств: |
|
|
|
|
||
1. |
— решение однородной системы |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
— решение однородной |
||
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
и |
— решения однородной системы |
, |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
— решение |
|
однородной системы. Свойства доказаны.
Следствие. Если матрицы-столбцы являются решениями однородной системы, то любая их линейная комбинация также является решением однородной
системы. |
|
|
|
|
Из теоремы Кронекера–Капелли следует, что если rang |
, |
|
то |
однородная система |
имеет только нулевое решение; |
если |
rang |
, то однородная система имеет еще и ненулевые решения. |
||
|
В случае, когда число уравнений однородной системы равно |
||
числу неизвестных ( |
), это означает следующее: |
|
|
-если det то система имеет только нулевое решение;
-если det то система имеет еще и ненулевые решения.
Пусть |
Если |
, то количество свободных пере- |
менных у системы равно |
. Тогда общее решение однородной |
|
системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид:
,
где — произвольные числа При этом набор частных решений называется фундаментальной системой решений
(ФСР).
61
При решении однородных систем линейных уравнений методом Гаусса достаточно преобразовать к ступенчатому виду лишь основную матрицу.
Пример 1. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и сделать проверку. Указать фундаментальную систему решений (ФСР).
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Применяем метод Гаусса. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
[ |
; |
|
|
; |
] |
|
|
|
[ |
|
|
|
] |
|
|
|
|
[ |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве базисного минора можно взять минор |
, соот- |
|||||||
ветственно в качестве базисных переменных будут |
, |
, а в качестве |
||||||
свободных переменных — |
, |
, . |
|
|
|
|
|
|
Запишем систему с новой матрицей: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Пусть |
, |
, |
, где |
, , |
— произвольные |
|||
числа. Тогда |
|
|
|
|
|
( |
|
). |
|
|
|
|
|||||
62