Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.08.2020

Размер:

3.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При умножении матриц левую матрицу разобьем на строки: , а правую матрицу разобьем на столбцы:

. Тогда получим:

	.	Элементы полученной

матрицы имеют вид:		—

сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения j-ой строки. Если , то по теореме разложения эта сумма равна определителю Δ; если , то по теореме аннулирования эта сумма равна нулю. Следовательно:

Равенство 1) проверено.

Аналогично проверяется равенство 2). Теорема доказана.

Матрица

называется присоединенной

(союзной) матрицей.

При получаем формулу для обратной матрицы 2-го порядка:

Пример 2.

Проверка:

Ответ:

Пример 3.

A11

; A12

; A13

;

A21

; A22

; A23

;

A31

; A32

; A33

Проверка:

			.
Ответ:			.			.
			Свойства обратной матрицы


1.		; 2.	( )T; 3. λ		, λ	;
1.		; 2.	( )T; 3. λ	λ	, λ	;
				λ
		4.	; 5. det ( )			.
Упр. 2. Доказать свойства обратной матрицы.
			1.2.5. Ранг матрицы
	A		— прямоугольная матрица размером

m n. Пусть в матрице A произвольно выбраны k строк и k столбцов,

где 1 k min {m, n}.

Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель данной матрицы называется минором порядка k.

Опр. Наибольший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A: rang A.

Из определения ранга матрицы получаем его простейшие свой-

ства:

- ранг матрицы может принимать только целые неотрицательные значения;

-ранг нулевой матрицы равен нулю: rang

-для любой ненулевой матрицы A выполнено условие:

		1 rang A min {		};
- при транспонировании матрицы ранг матрицы не меняется:
		rang AT	rang A.
Если rang A		, то это означает:
1)	существует минор порядка		отличный от нуля и
2)	все миноры порядка выше		равны нулю или не существуют.
Любой отличный от нуля минор порядка , где					rang A, на-

зывается базисным минором матрицы A.

Базисных миноров у данной матрицы может быть несколько.

Пример 1. A .

Максимальный порядок миноров для этой матрицы равен 2. Можно составить всего три минора 2-го порядка:

Так как все миноры 2-го порядка равны нулю, то rang A < 2. Следовательно, rang A

Пример 2. A

Максимальный порядок миноров для этой матрицы равен 3. Можно составить единственный минор 3-го порядка:

(т. к. имеются пропорциональные столбцы). Следо-

вательно, rang A < 3. Среди миноров 2-го порядка имеются базисные,

т. е. ненулевые, например:

Поэтому rang A

Ступенчатая матрица Опр. Ступенчатой матрицей называется матрица вида:

A m, n

где	,	, … ,	.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк:
rang A	k.
Действительно, во-первых, существует базисный (ненулевой)
минор k-го порядка:
			…	;

во-вторых, все миноры порядка выше k либо не существуют, либо равны нулю (так как содержат нулевую строку).

Пример 3.

rang A

Опр. Элементарными преобразованиями матрицы называются:

-перестановка строк (или столбцов) местами;

-умножение какой-нибудь строки на любое число, не равное нулю;

-сложение строк.

Теорема 1. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно преобразовать к ступенчатой матрице.

Теорема 2. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

Доказательство этих теорем можно найти, например в [2; 5].

Используя утверждения этих теорем, можно вычислить ранг любой матрицы, приведя ее к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований.

Пример 4.

[

;

]

[

]

[

]

[ ; ]

[ ]

[

, затем

]

Получили ступенчатую матрицу с 3-мя ненулевыми строками. Следовательно, rang A

1.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.3.1. Основные понятия

Опр. Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида (1.1):

			,
где	— коэффициенты системы (заданные числа);		— свободные
члены (заданные числа); — неизвестные,			;
	Коэффициенты системы	обозначаются двумя индексами,

причем первый индекс означает номер уравнения системы, а второй индекс — номер неизвестной. Свободные члены системы обозначаются одним индексом, который означает номер уравнения системы.

Неизвестные	обозначаются также одним индексом; если число не-
известных равно 2		или 3, то чаще всего их обозначают буквами
.
Опр. Решением системы (1.1) называется упорядоченный набор
чисел (	…,	), который при подстановке в систему линей-
ных уравнений дает		верных равенств:

Теорема. При элементарных преобразованиях системы линейных уравнений сохраняется равносильность систем.

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [2]. Для системы линейных уравнений (1.1) введем следующие матрицы:

— основная матрица системы,

( | )

— расширенная матрица системы,

—матрица-столбец свободных членов,

—матрица-столбец неизвестных.

Матричная запись системы линейных уравнений

Вычислим произведение матрицы на матрицу :

Следовательно, систему линейных уравнений (1.1) можно запи-

сать в матричной форме:

— матричная запись системы

линейных уравнений.

Элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы соответствуют элементарные преобразования системы линейных уравнений, а именно:

-перестановке строк местами соответствует перестановка уравнений местами;

-перестановке столбцов соответствует переобозначение соответствующих неизвестных;

-умножению строк матрицы на число соответствует умножение уравнений на это число;

-сложению строк расширенной матрицы соответствует сложение уравнений.

1.3.2. Решение систем линейных уравнений матричным способом

	Рассматривается система линейных уравнений, в которой число
уравнений равно числу неизвестных (		):
			.
	Запишем систему в матричной форме:
	,		(1.7)
где	— основная		матрица системы,

— матрица-столбец свободных членов,

— мат-

рица-столбец неизвестных.

Теорема. Если основная матрица системы линейных уравнений — невырожденная, то существует единственное решение системы, которое в матричной форме имеет вид:

				.
Доказательство. Так как матрица			системы линейных уравнений —
невырожденная, то для нее существует обратная матрица						. Умно-
жим обе части матричного уравнения (1.7) слева на					:

	. Теорема доказана.
Пример 1.
.		,	,	,
		,
		,

. Ответ:

Пример 2.

		.
;	;	;
;	;	;
;	;	.
		.
		.

. Ответ:

1.3.3.Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Рассматривается система линейных уравнений, в которой число

уравнений равно числу неизвестных (	):
	.	(1.8)
Введем обозначения:

— основной определитель системы (1.8);

, 2

, … ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
27.08.20203.23 Mб23Введение в мат.анализ.pdf
#
27.08.20203.47 Mб25Линейная алгебра и аналитическая геометрия.pdf