- •1.1. Методы искусственного интеллекта в прикладных системах и системах принятии решений
- •1.2. Интеллектуальные информационные технологии в прикладных системах и системах принятия решений
- •1.3. Типология задач интеллектуализации систем
- •Лекция 2. Представление знаний в интеллектуальных системах
- •2.1. Модели представления знаний
- •2.2. Системы, основанные на правилах
- •2.3. Системы, основанные на автоматическом доказательстве теорем
- •2.4. Системы, основанные на автоматическом порождении (выдвижении) гипотез
- •Лекция 3. Структура и основные компоненты прикладных интеллектуальных систем
- •3.1. Прикладные системы, основанные на знаниях
- •3.2. Структура системы управления, основанной на знаниях
- •3.3. Структура интеллектуальных систем поддержки принятия решения
- •3.4. Обобщенная структура экспертной системы
- •Лекция 4. Классификация прикладных интеллектуальных систем
- •4.1. Классификация экспертных систем
- •4.2. Примеры прикладных интеллектуальных систем
- •Лекция 5. Основные понятия и определения теории принятия решений
- •5.1. Роли людей в процессе принятия решений
- •5.2. Альтернативы
- •5.3. Критерии
- •5.4. Основные этапы процесса принятия решений
- •5.5. Математические методы теории принятия решений
- •Лекция 6. Принятие решений с помощью статистической проверки гипотез
- •6.1. Статистические решения
- •6.2. Основные задачи статистических решений
- •6.3. Статистическая проверка гипотез
- •6.4. Ошибки решения
- •6.5. Решающее правило при проверке гипотез
- •Лекция 7. Байесовская и последовательная процедуры принятия решения.
- •7.1. Байесовские процедуры принятия решения
- •7.1.1. Байесовская процедура при проверке простой гипотезы
- •7.1.2. Байесовские процедуры в задаче классификации
- •7.2. Принятие решения с помощью последовательной процедуры Вальда
- •Лекция 8. Принятие решения методом дискриминантнного анализа
- •8.1. Классификация в случае, когда распределения классов определены полностью
- •8.1.1. Модель двух нормальных распределений с общей ковариационной матрицей (модель Фишера)
- •8.1.2. Модель двух нормальных распределений с разными ковариационными матрицами
- •8.1.3. Модель нескольких нормальных распределений с общей ковариационной матрицей
- •8.2. Классификация при наличии обучающих выборок
- •8.2.1. Подстановочный алгоритм в модели Фишера
- •8.2.3. Правила классификации
- •8.3. Ошибка решающего правила
- •Лекция 9. Древообразные классификаторы
- •9.1. Назначение древообразных классификаторов
- •9.1. Структура дерева классификации
- •9.3. Вычислительные задачи древообразных классификаторов
- •9.3.1. Определение качества предсказания
- •9.3.2. Выбор разбиений
- •9.3.3. Определение правила прекращения разбиения
- •Лекция 10. Деревья решений
- •9.1. Характеристики дерева решений
- •9.2. Построение дерева решений
- •Лекция 11. Методы прогнозирования
- •11.1. Анализ временных рядов
- •11.1.1. Модель временного ряда
- •11.1.2. Тренд, сезонная и циклическая компоненты
- •11.1.3. Декомпозиция временного ряда
- •11.1.4. Экспоненциальное сглаживание
- •11.2. Каузальные методы прогнозирования
- •11.3. Качественные методы прогнозирования
- •Лекция 12. Основная задача линейного программирования
- •12.1. Математическая модель основной задачи линейного программирования
- •12.2. Задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами
- •12.3. Примеры задач линейного программирования
- •12.3.1. Транспортная задача
- •12.3.2. Задача о назначениях
- •Лекция 13. Симплекс-метода решения задачи линейного программирования
- •13.1. Характеристика симплекс–метода
- •13.2. Табличный алгоритм замены базисных переменных
- •13.3. Отыскание опорного решения основной задачи линейного программирования
- •13.4. Отыскание оптимального решения основной задачи линейного программирования
- •Лекция 14. Многокритериальные методы принятия решений при объективных моделях
- •14.1. Объединение критериев
- •14.2. Метод главного критерия
- •14.3. Метод последовательных уступок
- •14.4. Метод целевого программирования
- •14.5. Метод, использующий принцип гарантированного результата
- •14.6. Метод равных наименьших относительных отклонений
- •14.7. Процедура STEM поиска удовлетворительных значений критериев
- •Лекция 15. Выбор Парето–оптимальных решений
- •15.1. Основные определения
- •15.2. Графическая интерпретация
- •15.3. Постановка задачи
- •Лекция 16. Оценка многокритериальных альтернатив с помощью теории полезности
- •16.1. Теория полезности
- •16.2. Принятие решения на основе значения ожидаемой полезности
- •16.3. Многокритериальная теория полезности (MAUT)
- •Лекция 17. Сравнение альтернатив методом аналитической иерархии
- •17.1. Основные этапы метода аналитической иерархии
- •17.2. Декомпозиция задачи
- •17.3. Попарное сравнение критериев и альтернатив
- •17.4. Свойства идеальной матрицы сравнений
- •Лекция 18. Приоритеты для критериев и альтернатив и выбор наилучшей альтернативы в методе анализа иерархий
- •18.1. Вычисление собственных характеристик обратно симметричной матрицы
- •18.2. Вычисление величины приоритетов
- •18.3. Определение наилучшей альтернативы
- •18.4. Проверка согласованности
- •18.5. Пример применения метода анализа иерархий
- •Лекция 19. Оценка многокритериальных альтернатив методами ELECTRE
- •19.1. Этапы подхода, направленного на разработку индексов попарного сравнения альтернатив
- •19.2. Свойства бинарных отношений
- •19.3. Метод ELECTRE I
- •19.4. Метод ELECTRE II
- •19.5. Метод ELECTRE III
- •Лекция 20. Основные понятия и математическая модель игровых методов обоснования решений
- •20.1. Основные понятия теории игр
- •20.2. Математическая модель игры
- •20.3. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса
- •Лекция 21. Методы решения игр
- •21.1. Решение игры в чистых стратегиях
- •21.2. Решение игры в смешанных стратегиях
- •21.3. Упрощение игр
- •21.4. Решение игры 2х2
- •21.5. Графический метод решения (2х2)-игр
- •Лекция 22. Игры 2 х п
- •Лекция 23. Решение игр т х 2 и т х п
- •23.1. Решение игр т х 2
- •23.2. Решение игр т х п
- •Лекция 24. Критерии принятия решений в условиях риска и неопределенности
- •24.1. Основные понятия. Математическая модель
- •24.3. Максиминный критерий Вальда
- •24.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
- •24.5. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
- •Литература
стратегиях В1, В2, т.е. ломаную В1NВ2, отмеченную на рис. 21.1. жирной линией. На этой границе будет лежать минимальный выигрыш игрока А при любой его смешанной стратегии. Точка N, в которой этот выигрыш достигает максимума, и определяет решение и цену игры. Ордината точки N является ценой игры v , ее абсцисса равна р2, а расстояние до правого конца отрезка равно р1.
Оптимальную стратегию Q0 = { q10 , q20 } игрока В можно найти, если на графике
поменять местами игроков А и В, а вместо максимума нижней границы рассмотреть минимум верхней границы (рис.21.2).
I |
|
|
II |
A2 |
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
a21 |
|
a12 |
A1 |
v |
|
A2 |
|
|
|
|
a11 |
|
|
a22 |
o |
Q 0 |
q1 |
1 x |
I |
q2 |
II |
Рис. 21.2. Верхняя граница выигрыша игрока В при стратегиях А1, А2
Лекция 22. Игры 2 х п
Для построения решений 2 х п- и т х 2- игр существует графический метод.
Пусть a11 a12 |
... a1n |
– платежная матрица 2 х п- игры. |
a21 a22 |
... a2n |
|
Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока А. Согласно теореме о двойном описании игры (теорема 2 лекц. 21), нахождение цены игры и оптимального
значения р0 для игрок А равносильно решению уравнения |
|
|||||||
v = min |
( a |
р0 + a |
2k |
(1 – р0)) = max min |
( a |
р + a |
2k |
(1 – р)). |
1≤k ≤n |
1k |
|
p 1≤k ≤n |
1k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Максимум функции
min ( a1k р + a2k (1 – р)) (22.1)
1≤k ≤n
проще всего найти, построив ее график.
Для этого поступают следующим образом.
Предположим, что игрок А выбрал смешанную стратегию Р = {р, 1 – р}, а игрок В – k-ю чистую стратегию, k = 1, 2, …, п. Тогда средний выигрыш игрока А в ситуации {Р, k} оказывается равным
(k) : w = a1k р + a2k (1 – р).
На плоскости (р, w) уравнение (k) описывает прямую. Тем самым каждой чистой стратегии игрока В на этой плоскости соответствует своя прямая.
Поэтому сначала на плоскости (р, w) последовательно рисуются все прямые
(k) : w = a1k р + a2k (1 – р), k = 1, 2, …, п (рис. 22.1).
104
График функции (22.1) – это ломаная, огибающая снизу все семейство построенных прямых, соответствующих стратегиям игрока В. Поэтому ее принято называть нижней огибающей. Нижняя огибающая является графиком минимальных выигрышей игрока А.
Верхняя точка построенной нижней огибающей определяет цену игры v и оптимальную стратегию Р0 игрока А: Р0 = {р0, 1 – р0}.
w |
|
|
0 |
1 |
p |
w
v
0 |
p0 |
1 p |
Рис. 22.1. Нижняя огибающая семейства стратегий игрока В, цена игры v и оптимальная стратегия р0 игрока А
Пример 22.1 [28]. Рассмотрим игру, заданную 2 х 6-матрицей
|
6 |
4 3 1 −1 0 |
|
|
−2 |
−1 1 0 5 4 |
. |
|
|
Решение.
1-й шаг. Анализ игры на наличие седловой точки.
Нижняя цена игры равна –1, верхняя – равна 1. Седловая точка отсутствует. Решение нужно искать в смешанных стратегиях.
2-й шаг. Вычисление средних выигрышей игрока А. При этом предполагается, что игрок
В выбирает только чистые стратегии. Из таблицы
Получаем |
|
|
|
|
(1) |
: w = |
6р – |
2(1 – р), |
|
(2) |
: w = |
4р |
– |
(1 – р), |
(3) |
: w = |
3р |
+ |
(1 – р), |
(4): w = р,
(5): w = –р + 5(1 – р),
(6) : w = |
4(1 – р). |
р |
6 |
4 |
3 |
1 |
–1 0 |
1 – р |
–2 |
–1 |
1 |
0 |
5 4 |
3-й шаг. Построение нижней огибающей.
Строим на координатной плоскости (р, w) все шесть прямых, уравнения которых были получены на втором шаге (рис.22.2), и находим их нижнюю огибающую.
105
w |
(1) |
|
(2)
(3)
|
(4) |
|
|
1 |
|
0 |
р |
|
(6) |
||
|
||
|
(5) |
Рис. 22.2. График нижней огибающей для шести чистых стратегий игрока В
4-й шаг. Отыскание цены игры и оптимальной смешанной стратегии игрока А.
При построении нижней огибающей определяем, на пересечении каких двух из шести прямых лежит ее наивысшая точка. В данном случае прямые (4) и (5), заданные уравнениями w = р и w = –р + 5(1 – р) соответственно. Решая систему уравнений
w = р,
w = –р + 5(1 – р),
получаем
р0 = 5/7, w0 = 5/7 (рис.22.3). |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
p0 |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 22.3. Цена игры и оптимальная стратегия игрока А |
|
|
|
|||
Следовательно, цена игры v |
и |
оптимальная |
стратегия |
Р0 |
игрока |
А соответственно |
равны: |
|
|
|
|
|
|
v = 5/7, Р0 = {5/7, 2/7}. |
|
|
|
|
|
|
Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока В. В зависимости от формы нижней огибающей может представиться несколько случаев.
А. Нижняя огибающая имеет ровно одну наивысшую точку (р0, w0).
1) Если р0 = 0 (оптимальная стратегия игрока А – чистая стратегия А2), то игроку В выгодно применять чистую стратегию, соответствующую прямой, проходящей через точку (0, w0) и имеющей наибольший отрицательный наклон (рис. 22.4).
106
w |
|
|
w0 |
|
|
0 |
1 |
p |
Рис. 22.4. Нижняя огибающая при условии, что оптимальная стратегия игрока
Аявляется чистой стратегией А2
2)Если р0 = 1 (оптимальная стратегия игрока А – чистая стратегия А1), то оптимальной для игрока В является чистая стратегия, соответствующая прямой, проходящей через точку (1, w0) и имеющей наименьший положительный наклон (рис. 22.5).
w |
|
|
|
w0 |
|
0 |
1 |
p |
Рис. 22.5. Нижняя огибающая при условии, что оптимальной стратегией игрока
Аявляется чистая стратегия А1
3)Если 0 < р0 < 1, то в наивысшей точке нижней огибающей пересекаются по меньшей мере две прямые, одна из которых (k-я) имеет положительный наклон, а другая (l-я) – отрицательный (рис. 22.1), и оптимальная смешанная стратегия игрока В получается, если положить
qk = q, ql = 1 – q, q j = 0, j ≠ k, l,
где q – решение уравнения
a1k q + a1l (1 – q) = a2k q + a2l (1 – q).
Б. Нижняя огибающая содержит горизонтальный участок, соответствующий чистой стратегии k0 игрока В. Эта стратегия и является оптимальной для него (рис. 22.6).
107