Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТПР. Всё в 1 файле / Прикладные Инст сист.pdf
Скачиваний:
229
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
1.43 Mб
Скачать

где U(х), Ui (x) – функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1; wi – коэффициенты важности (веса) критериев, 0 < wi < 1; коэффициент k > –1. Многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов wi , k, а также однокритериальные функции полезности Ui (x) .

Лекция 17. Сравнение альтернатив методом аналитической иерархии

17.1. Основные этапы метода аналитической иерархии

Метод анализа иерархий, разработанный Т. Саати [19] является одним из наиболее известных методов выбора наилучшей альтернативы из множества предложенных. В основе метода аналитической иерархии (АИ) лежит идея сравнения заданных альтернатив. Использование данного метода предполагает представление экспертами исследуемой проблемы в виде иерархий критериев и подчиненных им альтернатив.

Постановка задачи, решаемой с помощью метода АИ, заключается в следующем. Заданы общая цель (или цели) решения задачи; т критериев оценки альтернатив; п альтернатив. Требуется выбрать наилучшую альтернативу.

Суть метода анализа иерархий состоит в следующем.

1.Первый этап заключается в декомпозиции задачи в трехуровневую иерархию «цели – критерии – альтернативы».

2.На втором этапе ЛПР выполняет попарные сравнения элементов каждого уровня иерархии. Результаты сравнений переводятся в числа, указывающие степень превосходства одного элемента над другим.

3.Вычисляются коэффициенты важности (величины локальных приоритетов) для критериев и альтернатив. При этом проверяется согласованность суждений ЛПР.

4.Подсчитывается количественный индикатор важности (глобальный приоритет) каждой из альтернатив и определяется наилучшая альтернатива.

17.2.Декомпозиция задачи

Очень часто при анализе интересующей нас структуры число элементов и их взаимосвязей настолько велико, что затрудняет воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы. Одним из таких делений является иерархическое.

Иерархии представляют собой определенный вид системы, основанный на предположении, что ее элементы могут группироваться в не связанные множества. При этом элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой другой группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы третьей группы.

Первым требованием при анализе функционирования системы является построение иерархии, воспроизводящей функциональные отношения. Для этого сначала перечисляются все элементы, относящиеся к иерархии. Затем они распределяются по группам в соответствии с влиянием между группами. Так возникают уровни иерархии. Определяются цели, ради которых решается задача, и строится иерархия.

Допустим, что при рассмотрении некоторой проблемы, решение которой сводится к выбору из множества альтернатив, группа экспертов пришла к соглашению о декомпозиции этой проблемы в трехуровневую иерархию «цели – критерии – альтернативы», представленную на рис. 17.1.

Пример [12]. Предположим, комиссия по выбору места строительства аэропорта предварительно отобрала из нескольких возможных четыре варианта: А, В, С, D. Тогда структура решаемой задачи может быть представлена в виде, показанном на рис. 17.2.

84

Цель

K1

...

Kj

...

Km

 

 

 

 

 

A1

...

Ai

...

An

Рис. 17.1. Декомпозиция решаемой задачи в трехуровневую структуру

17.3. Попарное сравнение критериев и альтернатив

На данном этапе осуществляется формирование матрицы относительной важности критериев по отношению к цели. Элементы данной матрицы (табл. 17.1) представляют собой попарные отношения важности j-го и l-го критериев, которые вырабатываются экспертами и выражаются ими в числовой форме с использованием специальной шкалы относительной важности.

Цель

Цель строительства аэропорта: прием и отправка большого числа пассажиров

Критерии

Стоимость

 

Количество людей,

строительства

 

подвергающихся шуму

 

 

 

Время в пути от аэропорта до центра города

Альтернативы

Площадка А

 

Площадка В

 

Площадка С

 

Площадка D

 

 

 

 

 

 

 

Рис 17.2. Иерархическая схема проблемы выбора места для аэропорта

Таблица 17.1

Матрица попарных сравнений критериев по важности

Цель

K1

Ks

Km

K1

1

а1s

а1m

Kj

аj1

аjs

аjm

Km

аm1

аms

1

85

После сравнений критериев формируются матрицы попарных сравнений альтернатив

на предпочтительность по каждому критерию [2, 11, 28]. Элементы этих матриц представляют собой попарные отношения предпочтительности i-й альтернативы над k-й альтернативы для каждого критерия, которые также вырабатываются экспертами и выражаются ими в числовой форме по той же шкале относительной важности.

Таблица сравнений (табл. 17.1) строится по следующим правилам:

если элементы А и В одинаково важны, заносим в клетку (А, В) таблицы сравнений число 1;

если элемент А умеренно превосходит В – число 3; если элемент А существенно важнее В – число 5; если элемент А значительно важнее В – число 7;

если элемент А по своей значимости абсолютно превосходит В – число 9.

Числа 2, 4, 6, 8 используются для облегчения компромиссов между оценками, слегка отличающимися от основных чисел. Рациональные дроби используются в случае, когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений.

17.4. Свойства идеальной матрицы сравнений

Для вычисления локальных приоритетов и проверки согласованности суждений ЛПР необходимо знать ряд свойств идеальной матрицы сравнений [28]. Возьмем отношения

весовых коэффициентов а =

wi

для i-го и k-го элементов и запишем их в виде квадратной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

wk

 

матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

w

 

 

w

 

 

 

 

1

1

 

...

 

1

 

 

 

 

w2

wn

 

 

w1

 

 

 

 

w2

w2

... w2

 

 

 

А = w

w

 

 

w

.

 

 

 

1

2

 

 

n

 

 

 

....................

 

 

w

w

...

w

 

 

 

 

n

n

n

 

 

 

w

w

 

 

w

 

 

 

 

1

2

 

 

n

 

 

Проанализируем некоторые свойства этой идеальной матрицы сравнений.

1.

Для любого i

справедливо равенство а

ii

= 1: а = wi = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ii

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Для любых i

и k справедливо равенство аki = 1/ аik. Действительно, из того, что

а

= wk и а

ik

=

 

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ki

 

wi

 

 

 

wk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следует равенство

 

 

 

 

 

аki

аik = wk ·

 

wi

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wi

 

 

wk

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Для любых i, k и l справедливо равенство аik аkl = аil. В самом деле,

а

ik

а

kl

=

wi

 

wk =

wi = а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wk

wl

 

wl

il

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вектор

 

w =

w1

 

 

 

вектором матрицы А с собственным

 

....

является собственным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

значением λ = п. Собственным вектором квадратной матрицы А называется такой ненулевой вектор-столбец, при умножении на который матрицы А получается вектор-столбец, пропорциональный исходному вектору х, т.е. Ах = λх. Число λ называется собственным

86

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.