Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТПР. Всё в 1 файле / Прикладные Инст сист.pdf
Скачиваний:
233
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
1.43 Mб
Скачать

надо взять тот элемент этого столбца, для которого отношение к нему свободного члена минимально.

Лекция 14. Многокритериальные методы принятия решений при объективных моделях

Варианты решений характеризуются различными показателями эффективности, называемыми критериями. Один критерий C выдвигается тогда, когда цель действий единственна. В лекц. 12 мы рассмотрели задачу, где требовалось так выбрать решение, чтобы минимизировать (максимизировать) один-единственный показатель эффективности. На практике часто встречается ситуация, когда эффективность приходится оценивать не по одному, а сразу по нескольким показателям C1, C2,…,Ck. Одни из этих показателей желательно сделать больше, другие – меньше. При этом экстремальное значение критерия должно быть не хуже допустимого, устанавливаемого требованиями по эффективности.

В зависимости от цели и условий проведения деятельности, связанной с ПР, критерием эффективности могут быть различные величины; критерии могут быть заданы и неявно в форме предпочтений на множестве альтернатив.

Критерий можно представить

скалярной, векторной функцией и системой ограничений,

одним лишь набором ограничений,

качественными требованиями,

предпочтениями, задаваемыми ЛПР на множестве возможных способов или вариантов действий и т.д.

Решения, принимаемые по одному критерию или предпочтению, называют простыми; решения, принимаемые по нескольким критериям и/или предпочтениями, – сложными.

Примеры критериев:

прибыль о реализации продукции предприятия;

рентабельность капитальных вложений;

производительность труда при условии обеспечения заданного качества изделий;

вероятность обнаружения неисправности электронной схемы в течение установленного времени;

среднее время ожидания в очереди на прием к врачу;

вероятность правильного обнаружения сигнала или распознавания объекта. Существует класс задач принятия решений, в которых модели имеют объективный

характер, но качество решения оценивается по многим критериям. Эти задачи могут быть названы многокритериальными задачами с объективными моделями.

Вобщем случае не существует решения, которое обращало бы в максимум один

критерий C1 и одновременно в максимум (или минимум) другой критерий C2. Тем более такого решения не существует для нескольких критериев. Компромисс между критериями может быть найден только на основе предпочтений ЛПР. Средством решения многокритериальных задач с объективными моделями являются процедуры, которые представляют собой процесс взаимодействия ЛПР и компьютера. Каждый шаг такой процедуры состоит из фазы анализа выполняемой ЛПР, и фазы расчета, выполняемой компьютером.

В[12] предложена классификация процедур выбора наилучшего решения, основанная на характере информации, получаемой от ЛПР на фазе анализа. Первая группа процедур – прямые процедуры, в которых ЛПР непосредственно назначает веса критериев и корректирует их на основе получаемых решений. Для второй группы процедур ЛПР выполняет сравнение многокритериальных решений. Третья группа требует от ЛПР наложения ограничений на значения критериев и, следовательно, на область допустимых

72

значений. Процедуры этой группы называются процедурами поиска удовлетворительных решений.

Математическая модель. Пусть D – произвольное множество, элементы которого называются допустимыми решениями или альтернативами, C1, …, Cт – числовые функции

(целевые функции, критерии), заданные на множестве D. Требуется найти оптимальное решение из множества D, максимизирующее функции C1, …, Cт на множестве D:

С (x) = (C1(х), …, Cт(х)) → max, х D.

Нормирование критериев. При решении многокритериальной задачи довольно часто выполняется нормирование – приведение критериев к единому масштабу и безразмерному виду. Для этого используется замена абсолютных значений критериев их

1)

 

безразмерными относительными величинами

 

 

 

 

(x) = Ck (x) , C* =

 

C (x);

C

k

max

 

 

Ck*

k

k

 

 

 

 

 

 

x D

 

 

2)

 

относительными значениями отклонений от оптимальных значений критериев Ck*

 

 

 

 

(x) = Ck* Ck (x) ,

C* =

 

C (x).

C

k

max

 

 

Ck*

 

k

k

 

 

 

 

 

 

x D

 

14.1. Объединение критериев

Ввиду того, что оценка вариантов сразу по нескольким критериям затруднительна, можно объединить несколько критериев в один обобщенный критерий [5]. В качестве такого критерия берут дробь. В числителе дроби находятся те критерии C1, …, Cт, которые желательно увеличить, а в знаменателе – те, которые желательно уменьшить:

С =

С1... Сm

.

 

 

Сm+1... Сk

 

Известен также обобщенный критерий в виде взвешенной суммы отдельных критериев:

С = а1C1 + а2C2 +… + аkCk,

(14.1)

 

 

k

 

где аi весовые коэффициенты важности критериев, 0 ≤ аi 1; ai = 1.

(14.2)

i=1

Коэффициенты важности критериев задаются ЛПР. Теперь можно решить задачу

k

максимизации критерия С = aiCi → max.

i=1

14.2.Метод главного критерия

В некоторых случаях задачу с несколькими критериями удается свести к задаче с одним критерием [5,26], если выделить только один главный критерий C1 и стремиться обратить его в максимум, а на остальные критерии C2, C3,… наложить ограничения вида

C2 ≥с2; …; Cт ≥ ст; Cт+1 ≤ ст+1; …; Ck ≤ сk.

При такой постановке задачи все критерии, кроме главного, переводятся в разряд заданных условий. Варианты решения, не укладывающиеся в заданные границы, сразу же отбрасываются. Задача будет иметь вид:

C1 → max, Ci ≥ сi, i = 2,..., m.

14.3. Метод последовательных уступок

Предположим, критерии расположены в порядке убывающей важности: сначала основной C1, затем вспомогательные C2, C3,… . Будем считать, что каждый из них нужно обратить в максимум. Процедура построения компромиссного решения сводится к

73

следующему. Сначала ищется решение, обращающее в максимум главный критерий C1. Затем назначается, исходя из практических соображений и точности, некоторая уступка C1, которую мы согласны допустить для того, чтобы обратить в максимум второй критерий C2.

Налагаем на критерий C1

ограничение, чтобы он был не меньше, чем C*

C1, где C*

 

1

1

максимально возможное значение C1, и при этом ограничении ищем решение, обращающее

в максимум C2:

 

 

C2 → max, C1 ≥ C*

C1.

 

1

 

 

Далее снова назначается уступка в критерии C2, ценой которой можно максимизировать C3, и т.д.

14.4. Метод целевого программирования

В соответствии с этим методом оптимальным считается решение, дающее наиболее

~

близкое приближение значения каждого критерия к определенной величине С0 , называемой

~ ~ ~

идеальной точкой. Пусть С = ( С1 , …, Ст ) – вектор целевых значений, а = (а1,…, а) –

вектор весов, удовлетворяющих условиям (14.2). Тогда задача целевого программирования имеет вид:

~

m

~

p 1/ p

→ min, х D,

 

d(С (x), С) =

(ai | Ci (x) Ci |

)

 

 

i=1

 

 

 

~

где d(·) – расстояние (мера отклонения)

 

С (x) от С, 1 ≤ р ≤ ∞.

14.5. Метод, использующий принцип гарантированного результата

Пусть C* ,

i = 1,..., m, – оптимальные значения на D каждого из критериев в

i

 

 

 

 

 

отдельности или некоторая система нормативов (контрольных показателей). Оптимальным считается решение, которое максимизирует наихудшее значение отношения реально

достигнутого показателя Ci к его контрольному значению Ci* : mini CCi (i*x) max, х D.

Обозначим λ = min Ci (x) . Тогда можно сформулировать следующую задачу:

i Ci*

λ → max, λ – Ci (x) ≤ 0, х D.

Ci*

Оптимальное значение λ0 = max λ, 0 ≤ λ0 ≤ 1. Чем меньше λ0, тем противоречивее критерии.

14.6. Метод равных наименьших относительных отклонений

Оптимальным считается решение, при котором относительные отклонения критериев Ci от их максимальных значений Ci* наименьшие при условии их равенства для всех критериев (i = 1,..., m):

ρ = ρi = Ci* Ci (x) → max, х D.

Ci*

74

14.7. Процедура STEM поиска удовлетворительных значений критериев

Процедура STEM [12] предназначена для решения многокритериальной задачи линейного программирования. Поиск наилучшего решения осуществляется путем поочередного нахождения приемлемого значения по каждому из критериев. Процедура состоит из следующих шагов.

1. Проводится оптимизация по каждому критерию отдельно, при этом все значения остальных критериев заносятся в табл. 14.1.

Таблица 14.1

Относительные значения критериев

Критерий

C1

C2

Cт

C1

1

2

т

 

 

С1

 

С1

C2

1

1

т

 

С2

 

 

С2

Cт

С1т

Ст2

1

В таблице Сij – значение i-го критерия при оптимизации по j-му критерию. После

нормирования все диагональные элементы таблицы равны нулю, а внедиагональные элементы – меньше единицы. Любой столбец содержит значения соответствующего критерия, достигаемые при оптимизации по всем критериям. Кроме того, в таблице представлена информация, характеризующая область допустимых значений. Если значения каких-то двух столбцов близки для каждой из строк, то два соответствующих критерия сильно зависимы. Можно также выявить и противоречивые критерии: высокая оценка по одному сопровождается низкой оценкой по другому.

2. На основании табл. 14.1 вычисляются индексы критериев. Пусть αi – среднее

значение, взятое по всем элементам i-го столбца (кроме единицы). Тогда λi (индекс i-го критерия) вычисляется из соотношений:

λi

 

1−αi ;

m

 

=

λi = 1.

(14.3)

λ j

 

1−α j

i=1

 

Индекс критериев может быть назван коэффициентом внимания, которое следует уделять критерию при поиске решения. Предположим, что все элементы i-го столбца в табл. 14.1 близки к единице. Тогда среднее значение тоже близко к единице, а 1−αi мало и

соответствующий индекс тоже мал. Это означает, что значение данного критерия при оптимизации по другим критериям близко к наилучшему. Для критерия, сильно зависящего от изменений других критериев ( αi мало), должны соответствовать большие значения

индекса.

3. Производится оптимизация по глобальному критерию

m

 

Сгл = λiCi,

(14.4)

i=1

где λi определяются из (14.3).

ЛПР анализирует вектор значений критериев, найденный при оптимизации по критерию (14.4). Если ЛПР считает, что все компоненты вектора имеют удовлетворительные значения, то решение получено. Если нет, то ЛПР указывает один критерий с наименее удовлетворительным значением. Далее ЛПР назначает для критерия с наименее

удовлетворительным значением пороговое значение li, при достижении которого можно

75