Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТПР. Всё в 1 файле / Прикладные Инст сист.pdf
Скачиваний:
299
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
1.43 Mб
Скачать

Нахождение решения задачи линейного программирования распадается на два этапа:

1)отыскание опорного решения;

2)отыскание оптимального решения, минимизирующего линейную функцию L.

13.3. Отыскание опорного решения основной задачи линейного программирования

Пусть имеется ОЗЛП с ограничениями–равенствами, форме:

y 1

= b1 (α11x1 12x2 +... 1nxn ),

 

 

y

2

= b

 

(α

 

x

 

x

+...

 

x

),

 

 

 

2

 

 

21 1

 

 

22 2

 

 

2n

n

 

 

y 3

= b3

(α31x1

32x2 +...3nxn ),

 

 

... y

..

..=....b...

 

....(..α..

...x..

..

+....α...

....x..

..

+.

 

x

).

 

m

 

 

 

 

 

 

n

 

 

m1 1

 

 

m2 2

 

 

mn n

 

 

записанными в стандартной

(13.5)

В каждой вершине ОДР (опорном решении) по крайней мере п переменных должны обращаться в нуль. Получим опорное решение, полагая в (13.5) все свободные переменные равными нулю. Тогда имеем

xi = 0, i = 1,… п, y1 = b1; y2 = b2; ym = bm.

(13.6)

Если все свободные члены b1, b2, …, bm в уравнениях (13.5) неотрицательны, значит,

опорное решение уже получено. Рассмотрим случай, когда среди b1, b2, …, bm есть отрицательные. Это значит, что решение (13.6) не является опорным. Для его нахождения будем обменивать свободные и базисные переменные в уравнениях (13.6), пока не придем к опорному решению или не установим, что его не существует.

Существует ряд способов выбора разрешающего элемента, обеспечивающего приближение к границе ОДР. Рассмотрим один из них [5].

Пусть имеет одно из уравнений (13.5) с отрицательным свободным членом. Ищем в этой строке отрицательный элемент αij. Если такого элемента нет, это признак того, что система (13.6) несовместима с условиями неотрицательности переменных.

Предположим, что отрицательный элемент есть. Тогда выбираем столбец, в котором он находится, в качестве разрешающего. Теперь надо выбрать в этом столбце сам разрешающий элемент. Рассмотрим все элементы данного столбца, имеющие одинаковый знак со свободным членом. Из них выбираем в качестве разрешающего тот, для которого

отношение к нему свободного члена минимально.

13.4.Отыскание оптимального решения основной задачи линейного программирования

После отыскания опорного решения необходимо оптимизировать решение, т.е. отыскать такое опорное решение, которое обращает в минимум линейную функцию

L = с0 – (γ1x1 + γ2x2+…+ γпxп).

Для нахождения оптимального решения симплекс–методом нужно выполнить следующие шаги [5].

1.Если все свободные члены (не считая строки L) в симплекс–таблице неотрицательны, а в строке L (не считая свободного) нет ни одного положительного элемента, то оптимальное решение достигнуто.

2.Если в строке L есть положительный элемент, а в столбце, соответствующем ему, нет ни одного положительного элемента, то линейная функция L не ограничена снизу, и оптимального решения не существует.

3.Если в этом столбце есть положительные элементы, то следует произвести замену одной из свободных переменных на одну из базисных, причем в качестве разрешающего

71