Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТПР. Всё в 1 файле / Прикладные Инст сист.pdf
Скачиваний:
233
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
1.43 Mб
Скачать

8.1. Классификация в случае, когда распределения классов определены полностью

8.1.1. Модель двух нормальных распределений с общей ковариационной матрицей (модель Фишера)

Предположения. Теоретические распределения в данном случае являются многомерными нормальными с функциями плотности

f (x, μi , Σi ) = (2π)p / 2 | Σi |1/ 2 exp((x −μi )T Σi1(x −μi ) / 2) , (8.1)

μi – вектор математического ожидания, Σ1 = Σ2 = Σ – общая ковариационная матрица,

|Σ| > 0, i = 1, 2; априорные вероятности классов

Ωi равны соответственно

pi ,

i = 1,

2 ( pi > 0, p1+ p2 = 1).

 

 

 

 

Правило классификации (при m = 2)

определяется с помощью неравенства [15]

u (x) = (x – (μ1 +μ2 )/ 2)T Σ–1 (μ2 μ1)

 

c

(8.2)

 

и формулируется следующим образом:

если значение функции классификации u (x) (8.2) для распознаваемого объекта с описанием x больше некоторого порогового значения c, то объект относят в первый класс, в противном случае – во второй.

Функция u (x) называется линейной дискриминантной функцией,

Нахождение порогового значения. Значение с в формуле (8.2) определяется как

с = ln( p2 / p1). При условии, что вероятности Р(i|j)

ошибочной классификации наблюдения,

принадлежащего классу j, в класс i

равны Р(2|1)

= Р(1|2), пороговое значение с можно

определить из соотношения

 

 

 

 

 

c

2 / 2

 

c + 2

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.3)

Φ

 

 

= Φ −

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Φ ( )

– функция стандартного нормального распределения, а

2 = (μ −μ

2

)T Σ1

(μ −μ

2

)

 

(8.4)

1

 

 

1

 

 

 

 

представляет собой квадрат расстояния Махаланобиса между теоретическими средними (центрами) классов. Решением (8.3) является значение с = 0.

8.1.2. Модель двух нормальных распределений с разными ковариационными матрицами

Предположения. Теоретические распределения в этом случае многомерные нормальные (8.1), | Σi | > 0, i =1, 2.

Правило классификации определяется с помощью неравенства [15]

u (x) = (x μ )T

Σ1

(x μ ) – (x μ

2

)T

Σ1

(x μ

2

) + ln( | Σ1| / | Σ2|) > c

1

1

1

 

2

 

 

и формулируется аналогично случаю модели с общей ковариационной матрицей:

если значение функции классификации u (x) для распознаваемого объекта с описанием x больше некоторого порогового значения c, то объект относят в первый класс, в противном случае – во второй

Функция u (x) называется квадратичной дискриминантной функцией, так как она представляет собой полином второго порядка от координат вектора х.

43