- •1.1. Методы искусственного интеллекта в прикладных системах и системах принятии решений
- •1.2. Интеллектуальные информационные технологии в прикладных системах и системах принятия решений
- •1.3. Типология задач интеллектуализации систем
- •Лекция 2. Представление знаний в интеллектуальных системах
- •2.1. Модели представления знаний
- •2.2. Системы, основанные на правилах
- •2.3. Системы, основанные на автоматическом доказательстве теорем
- •2.4. Системы, основанные на автоматическом порождении (выдвижении) гипотез
- •Лекция 3. Структура и основные компоненты прикладных интеллектуальных систем
- •3.1. Прикладные системы, основанные на знаниях
- •3.2. Структура системы управления, основанной на знаниях
- •3.3. Структура интеллектуальных систем поддержки принятия решения
- •3.4. Обобщенная структура экспертной системы
- •Лекция 4. Классификация прикладных интеллектуальных систем
- •4.1. Классификация экспертных систем
- •4.2. Примеры прикладных интеллектуальных систем
- •Лекция 5. Основные понятия и определения теории принятия решений
- •5.1. Роли людей в процессе принятия решений
- •5.2. Альтернативы
- •5.3. Критерии
- •5.4. Основные этапы процесса принятия решений
- •5.5. Математические методы теории принятия решений
- •Лекция 6. Принятие решений с помощью статистической проверки гипотез
- •6.1. Статистические решения
- •6.2. Основные задачи статистических решений
- •6.3. Статистическая проверка гипотез
- •6.4. Ошибки решения
- •6.5. Решающее правило при проверке гипотез
- •Лекция 7. Байесовская и последовательная процедуры принятия решения.
- •7.1. Байесовские процедуры принятия решения
- •7.1.1. Байесовская процедура при проверке простой гипотезы
- •7.1.2. Байесовские процедуры в задаче классификации
- •7.2. Принятие решения с помощью последовательной процедуры Вальда
- •Лекция 8. Принятие решения методом дискриминантнного анализа
- •8.1. Классификация в случае, когда распределения классов определены полностью
- •8.1.1. Модель двух нормальных распределений с общей ковариационной матрицей (модель Фишера)
- •8.1.2. Модель двух нормальных распределений с разными ковариационными матрицами
- •8.1.3. Модель нескольких нормальных распределений с общей ковариационной матрицей
- •8.2. Классификация при наличии обучающих выборок
- •8.2.1. Подстановочный алгоритм в модели Фишера
- •8.2.3. Правила классификации
- •8.3. Ошибка решающего правила
- •Лекция 9. Древообразные классификаторы
- •9.1. Назначение древообразных классификаторов
- •9.1. Структура дерева классификации
- •9.3. Вычислительные задачи древообразных классификаторов
- •9.3.1. Определение качества предсказания
- •9.3.2. Выбор разбиений
- •9.3.3. Определение правила прекращения разбиения
- •Лекция 10. Деревья решений
- •9.1. Характеристики дерева решений
- •9.2. Построение дерева решений
- •Лекция 11. Методы прогнозирования
- •11.1. Анализ временных рядов
- •11.1.1. Модель временного ряда
- •11.1.2. Тренд, сезонная и циклическая компоненты
- •11.1.3. Декомпозиция временного ряда
- •11.1.4. Экспоненциальное сглаживание
- •11.2. Каузальные методы прогнозирования
- •11.3. Качественные методы прогнозирования
- •Лекция 12. Основная задача линейного программирования
- •12.1. Математическая модель основной задачи линейного программирования
- •12.2. Задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами
- •12.3. Примеры задач линейного программирования
- •12.3.1. Транспортная задача
- •12.3.2. Задача о назначениях
- •Лекция 13. Симплекс-метода решения задачи линейного программирования
- •13.1. Характеристика симплекс–метода
- •13.2. Табличный алгоритм замены базисных переменных
- •13.3. Отыскание опорного решения основной задачи линейного программирования
- •13.4. Отыскание оптимального решения основной задачи линейного программирования
- •Лекция 14. Многокритериальные методы принятия решений при объективных моделях
- •14.1. Объединение критериев
- •14.2. Метод главного критерия
- •14.3. Метод последовательных уступок
- •14.4. Метод целевого программирования
- •14.5. Метод, использующий принцип гарантированного результата
- •14.6. Метод равных наименьших относительных отклонений
- •14.7. Процедура STEM поиска удовлетворительных значений критериев
- •Лекция 15. Выбор Парето–оптимальных решений
- •15.1. Основные определения
- •15.2. Графическая интерпретация
- •15.3. Постановка задачи
- •Лекция 16. Оценка многокритериальных альтернатив с помощью теории полезности
- •16.1. Теория полезности
- •16.2. Принятие решения на основе значения ожидаемой полезности
- •16.3. Многокритериальная теория полезности (MAUT)
- •Лекция 17. Сравнение альтернатив методом аналитической иерархии
- •17.1. Основные этапы метода аналитической иерархии
- •17.2. Декомпозиция задачи
- •17.3. Попарное сравнение критериев и альтернатив
- •17.4. Свойства идеальной матрицы сравнений
- •Лекция 18. Приоритеты для критериев и альтернатив и выбор наилучшей альтернативы в методе анализа иерархий
- •18.1. Вычисление собственных характеристик обратно симметричной матрицы
- •18.2. Вычисление величины приоритетов
- •18.3. Определение наилучшей альтернативы
- •18.4. Проверка согласованности
- •18.5. Пример применения метода анализа иерархий
- •Лекция 19. Оценка многокритериальных альтернатив методами ELECTRE
- •19.1. Этапы подхода, направленного на разработку индексов попарного сравнения альтернатив
- •19.2. Свойства бинарных отношений
- •19.3. Метод ELECTRE I
- •19.4. Метод ELECTRE II
- •19.5. Метод ELECTRE III
- •Лекция 20. Основные понятия и математическая модель игровых методов обоснования решений
- •20.1. Основные понятия теории игр
- •20.2. Математическая модель игры
- •20.3. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса
- •Лекция 21. Методы решения игр
- •21.1. Решение игры в чистых стратегиях
- •21.2. Решение игры в смешанных стратегиях
- •21.3. Упрощение игр
- •21.4. Решение игры 2х2
- •21.5. Графический метод решения (2х2)-игр
- •Лекция 22. Игры 2 х п
- •Лекция 23. Решение игр т х 2 и т х п
- •23.1. Решение игр т х 2
- •23.2. Решение игр т х п
- •Лекция 24. Критерии принятия решений в условиях риска и неопределенности
- •24.1. Основные понятия. Математическая модель
- •24.3. Максиминный критерий Вальда
- •24.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
- •24.5. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
- •Литература
Теперь возникает задача линейного программирования в следующей постановке: найти такие неотрицательные значения п + т переменных x1, x2,…, xn, у1, у2,…, ут , которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений (12.4) и одновременно обращали бы в минимум линейную функцию этих переменных (12.2). Это уже основная задача линейного программирования. Уравнения (12.4) заданы в форме, разрешенной относительно базисных переменных у1, у2,…, ут , которые выражены через свободные переменные x1, x2,…, xn. Общее количество переменных п + т, из них п первоначальных и т добавочных.
12.3. Примеры задач линейного программирования
Приведем примеры задач линейного программирования.
12.3.1. Транспортная задача
Важный тип задач линейного программирования представляет задача о перевозках. Называется она так потому, что цель этой задачи заключается в минимизации полной стоимости перевозок известного количества товаров со склада потребителю.
Мы будем рассматривать так называемую сбалансированную транспортную задачу – задачу о перевозках, в которой общий объем товаров, готовых к отправлению, в точности равен объему товаров, который готовы принять в пунктах назначения.
Перейдем к общей постановке сбалансированной транспортной задачи [5].
Математическая модель транспортной задачи. Пусть А1, А2,…, Ат – пункты отправления (производства) и В1, В2,…,Вп – пункты назначения (потребления). Заданы число единиц товара (объем производства) аi в пункте Аi и число единиц товара (размер спроса) bj в
m |
n |
|
пункте Bj в одних и тех же единицах, причем ∑ai = ∑bj |
(задача сбалансирована), и cij – |
|
i=1 |
j=1 |
|
стоимость (расходы) перевозки единицы товара из пункта Аi в пункт Bj. |
||
Обозначим через xij (искомое) число единиц товара, |
пересылаемого из пункта Аi в |
|
пункт Bj. Тогда общее количество товара, которое можно отправить из пункта |
Аi в пункты |
В1, В2,…,Вп, равно |
|
n |
|
∑xij = ai , i = 1,2,…,m, |
(12.5) |
j=1 |
|
a |
|
m |
|
∑xij = bj , j = 1,2,…,n, |
(12.6) |
i=1
общее количество товара, которое можно принять в пункте Bj из пунктов А1, А2,…, Ат . Объемы перевозок xij – неотрицательные числа. Это условие должно быть включено в
систему ограничений: |
|
xij ≥ 0, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n. |
(12.7) |
Стоимость перевозки xij единиц товара из пункта Аi в пункт Bj равна cij |
xij , а общая |
стоимость всех перевозок |
|
m n |
|
z = ∑∑cij xij |
(12.8) |
i=1 j=1 |
|
В результате получаем задачу линейного программирования, которая сводится к минимизации суммарных затрат (12.8) при условиях (12.5) – (12.7):
65
m |
n |
|
z = ∑∑cij xij |
→ min, |
|
i=1 j=1 |
|
|
n |
|
m |
∑xij |
= ai , i = 1,2,…,m, ∑xij = bj , j = 1,2,…,n, все xij ≥ 0. |
|
j=1 |
|
i=1 |
Во многих задачах баланс производства и потребления может быть нарушен и условия в виде равенства (12.5) заменяются условиями–неравенствами
n |
|
∑xij ≤ ai , i = 1,2,…,m. |
(12.9) |
j=1
Задача, в которой требуется минимизировать сумму (4) при условиях (12.6), (12.7) и (12.9), называется несбалансированной транспортной моделью.
Несбалансированную модель можно свести к сбалансированной, если ввести фиктивный пункт назначения Вп+1 с объемом потребления
m |
n |
bn+1 = ∑ai – |
∑bj . |
i=1 |
j=1 |
Величина bn+1 определяет суммарный объем неотправленного (нереализованного) продукта. Размеры остатков xi,n+1 в разных пунктах производства (отправления) можно регулировать в зависимости от введенного штрафа ci,n+1 за единицу неотправленного
(нереализованного) продукта из пункта Аi.
Если суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления, то полное удовлетворения всех пунктов назначения невозможно. В этом случае перевозки организуются так, чтобы наиболее важные пункты удовлетворялись возможно полно, весь товар был вывезен и при этом суммарные издержки были минимальными.
Пусть |
rj – |
величина ущерба (в денежных единицах), возникающего в результате |
|
неудовлетворения запросов пункта Bj на одну единицу товара. |
|
||
|
|
n m |
n |
Требуется минимизировать суммарные затраты ∑∑cij xij + |
∑rj y j при условиях: |
||
|
|
j=1i=1 |
j=1 |
m |
|
n |
|
∑xij |
≤ bj , |
∑xij = ai , xij ≥ 0, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n, |
|
i=1 |
|
j=1 |
|
m
y j = bj – ∑xij , j = 1,2,…,n.
i=1
Последние равенства означают, что y j – разность между потребностями пункта Bj и
поставками в этот пункт.
Теперь задача может быть сведена к сбалансированной транспортной задаче, если ввести
n |
m |
фиктивный пункт отправления Ат+1с объемом am+1= ∑bj – ∑ai ,а cm+1, j принять равным |
|
j=1 |
i=1 |
rj .
66