Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТПР. Всё в 1 файле / Прикладные Инст сист.pdf
Скачиваний:
233
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
1.43 Mб
Скачать

Теперь возникает задача линейного программирования в следующей постановке: найти такие неотрицательные значения п + т переменных x1, x2,…, xn, у1, у2,…, ут , которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений (12.4) и одновременно обращали бы в минимум линейную функцию этих переменных (12.2). Это уже основная задача линейного программирования. Уравнения (12.4) заданы в форме, разрешенной относительно базисных переменных у1, у2,…, ут , которые выражены через свободные переменные x1, x2,…, xn. Общее количество переменных п + т, из них п первоначальных и т добавочных.

12.3. Примеры задач линейного программирования

Приведем примеры задач линейного программирования.

12.3.1. Транспортная задача

Важный тип задач линейного программирования представляет задача о перевозках. Называется она так потому, что цель этой задачи заключается в минимизации полной стоимости перевозок известного количества товаров со склада потребителю.

Мы будем рассматривать так называемую сбалансированную транспортную задачу – задачу о перевозках, в которой общий объем товаров, готовых к отправлению, в точности равен объему товаров, который готовы принять в пунктах назначения.

Перейдем к общей постановке сбалансированной транспортной задачи [5].

Математическая модель транспортной задачи. Пусть А1, А2,…, Ат – пункты отправления (производства) и В1, В2,…,Вп – пункты назначения (потребления). Заданы число единиц товара (объем производства) аi в пункте Аi и число единиц товара (размер спроса) bj в

m

n

 

пункте Bj в одних и тех же единицах, причем ai = bj

(задача сбалансирована), и cij

i=1

j=1

 

стоимость (расходы) перевозки единицы товара из пункта Аi в пункт Bj.

Обозначим через xij (искомое) число единиц товара,

пересылаемого из пункта Аi в

пункт Bj. Тогда общее количество товара, которое можно отправить из пункта

Аi в пункты

В1, В2,…,Вп, равно

 

n

 

xij = ai , i = 1,2,…,m,

(12.5)

j=1

 

a

 

m

 

xij = bj , j = 1,2,…,n,

(12.6)

i=1

общее количество товара, которое можно принять в пункте Bj из пунктов А1, А2,…, Ат . Объемы перевозок xij – неотрицательные числа. Это условие должно быть включено в

систему ограничений:

 

xij 0, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n.

(12.7)

Стоимость перевозки xij единиц товара из пункта Аi в пункт Bj равна cij

xij , а общая

стоимость всех перевозок

 

m n

 

z = ∑∑cij xij

(12.8)

i=1 j=1

 

В результате получаем задачу линейного программирования, которая сводится к минимизации суммарных затрат (12.8) при условиях (12.5) – (12.7):

65

m

n

 

z = ∑∑cij xij

min,

i=1 j=1

 

n

 

m

xij

= ai , i = 1,2,…,m, xij = bj , j = 1,2,…,n, все xij 0.

j=1

 

i=1

Во многих задачах баланс производства и потребления может быть нарушен и условия в виде равенства (12.5) заменяются условиями–неравенствами

n

 

xij ai , i = 1,2,…,m.

(12.9)

j=1

Задача, в которой требуется минимизировать сумму (4) при условиях (12.6), (12.7) и (12.9), называется несбалансированной транспортной моделью.

Несбалансированную модель можно свести к сбалансированной, если ввести фиктивный пункт назначения Вп+1 с объемом потребления

m

n

bn+1 = ai

bj .

i=1

j=1

Величина bn+1 определяет суммарный объем неотправленного (нереализованного) продукта. Размеры остатков xi,n+1 в разных пунктах производства (отправления) можно регулировать в зависимости от введенного штрафа ci,n+1 за единицу неотправленного

(нереализованного) продукта из пункта Аi.

Если суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления, то полное удовлетворения всех пунктов назначения невозможно. В этом случае перевозки организуются так, чтобы наиболее важные пункты удовлетворялись возможно полно, весь товар был вывезен и при этом суммарные издержки были минимальными.

Пусть

rj

величина ущерба (в денежных единицах), возникающего в результате

неудовлетворения запросов пункта Bj на одну единицу товара.

 

 

 

n m

n

Требуется минимизировать суммарные затраты ∑∑cij xij +

rj y j при условиях:

 

 

j=1i=1

j=1

m

 

n

 

xij

bj ,

xij = ai , xij 0, i = 1,2,…,m, j = 1,2,…,n,

 

i=1

 

j=1

 

m

y j = bj xij , j = 1,2,…,n.

i=1

Последние равенства означают, что y j – разность между потребностями пункта Bj и

поставками в этот пункт.

Теперь задача может быть сведена к сбалансированной транспортной задаче, если ввести

n

m

фиктивный пункт отправления Ат+1с объемом am+1= bj ai cm+1, j принять равным

j=1

i=1

rj .

66