Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТПР. Всё в 1 файле / Прикладные Инст сист.pdf
Скачиваний:
243
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
1.43 Mб
Скачать

Лекция 12. Основная задача линейного программирования

Во многих областях деятельности возникают задачи оптимизации решений, для которых характерны следующие черты:

показатель эффективности W представляет линейную функцию от элементов решения x1, x2, …;

ограничения, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.

Такие задачи принято называть задачами линейного программирования.

12.1. Математическая модель основной задачи линейного программирования

Основной задачей линейного программирования (ОЗЛП) называется задача линейного программирования с ограничениями – равенствами. От задачи с ограничениями – неравенствами можно перейти к ОЗЛП и обратно.

Основная задача линейного программирования формулируется следующим образом [5, 21,28].

Имеется ряд переменных x1, x2,…, xn.

Требуется найти такие неотрицательные значения этих переменных, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений:

a11x1 + a12x2 +... + a1n xn = b1; a21x1 + a22x2 +... + a2n xn = b2;

.............................................

am1x1 + am2x2 +... + amnxn = bm,

(12.1)

и обращали бы в минимум линейную целевую функцию

 

L = c1x1 + c2x2+…+ cпxn.

(12.2)

Если линейную функцию L нужно обратить в максимум, то вместо нее надо рассмотреть функцию L ´= – L.

Допустимым решением ОЗЛП называется любая совокупность переменных x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0, удовлетворяющую уравнениям (12.1).

Оптимальным решением будем называть то из допустимых решений, при котором линейная функция (12.2) обращается в минимум.

ОЗЛП необязательно должна иметь решение. Может оказаться, что:

1)уравнения (12.1) противоречат друг другу;

2)уравнения (12.1) имеют решение, но не в области неотрицательных значений x1, x2,…, xn (ОЗЛП не имеет допустимых решений);

3)допустимые решения ОЗЛП существуют, но среди них нет оптимального (функция

L в области допустимых решений не ограничена снизу).

Существование допустимых решений ОЗЛП. Прежде чем перейти к формулировке условий существования, приведем некоторые необходимые определения из линейной алгебры. Матрицей системы линейных уравнений (12.1) называется таблица, составленная из коэффициентов при x1, x2,…, xn. Расширенной матрицей линейных уравнений называется та же таблица, дополненная столбцом свободных членов bi . Рангом матрицы называется

наибольший порядок отличного от нуля определителя, который можно получить, вычеркивая из матрицы какие-то строки и какие-то столбцы.

Для совместности системы линейных уравнений (12.1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Этот общий ранг r называется рангом системы; он представляет число линейно независимых уравнений среди

63

наложенных ограничений. Ранг системы r не может быть больше числа уравнений т: r т и не может быть больше общего числа переменных п: r п.

Случай, когда r = п. Система уравнений – ограничений ОЗЛП имеет единственное решение x1, x2,…, xn. Если в этом решении хотя бы одна из величин x1, x2,…, xn отрицательна, это значит, что полученное решение недопустимо и, следовательно, ОЗЛП не имеет решения.

Если все решения x1, x2,…, xn неотрицательны, то найденное решение является

допустимым. Оно же является и оптимальным.

Случай, когда r < п. Тогда, если система совместна, у нее существует бесчисленное множество решений. При этом п r переменным мы можем придавать произвольные значения (так называемые свободные переменные), а остальные r выразятся через них (эти r переменных называются базисными). Если среди решений нет ни одного, для которого все x1, x2,…, xn неотрицательны, то это значит, что ОЗЛП не имеет допустимого решения.

Если же существуют решения системы (12.1), для которых все x1, x2,…, xn неотрицательны, то каждое из них допустимо. Теперь необходимо найти среди допустимых решений оптимальное, т.е. такое решение x1, x2,…, xn , для которого линейная функция L (12.2) обращается в минимум.

Геометрически область допустимых решений (если она существует) представляет собой выпуклый k-мерный многогранник (k = п т), т.е. часть пространства, для которой выполнены все условия: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0. Решение, лежащее в одной из вершин области допустимых решений, называется опорным решением, а сама вершина – опорной точкой.

Решение основной задачи линейного программирования обладает следующими свойствами при любых значениях числа переменных п и числа уравнений т < п:

1.Оптимальное решение, если оно существует, лежит не внутри, а на границе области допустимых решений, в одной из опорных точек, в каждой из которых по крайней мере k из переменных обращаются в нуль.

2.Для того, чтобы найти оптимальное решение, нужно, переходя от одной опорной точки к другой, двигаться в направлении уменьшения линейной функции L, которую требуется минимизировать.

12.2. Задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами

Довольно часто ограничения в задаче линейного программирования задаются не уравнениями, а неравенствами.

Пусть имеется задача линейного программирования с п переменными x1, x2,…, xn, в которой ограничения имеют вид линейных неравенств:

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn +b1 0; a21x1 + a22x2 +... + a2nxn +b2 0;

.............................................

am1x1 + am2x2 +...+ amnxn +bm 0.

(12.3)

Требуется найти такую совокупность неотрицательных значений x1, x2,…, xn, которая удовлетворяла бы неравенствам (12.3), и обращала бы в минимум линейную функцию

(12.2).

От поставленной таким образом задачи можно перейти к основной задаче линейного программирования. Введем обозначения:

y1

= a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn +b1,

y2

= a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn +b2,

.............................................

ym = am1x1 + am2x2 +...+ amnxn +bm,

(12.4)

где у1, у2,…, ут – некоторые новые, добавочные переменные. Согласно условиям (12.3), эти добавочные переменные так же, как x1, x2,…, xn, должны быть неотрицательными.

64