- •1.1. Методы искусственного интеллекта в прикладных системах и системах принятии решений
- •1.2. Интеллектуальные информационные технологии в прикладных системах и системах принятия решений
- •1.3. Типология задач интеллектуализации систем
- •Лекция 2. Представление знаний в интеллектуальных системах
- •2.1. Модели представления знаний
- •2.2. Системы, основанные на правилах
- •2.3. Системы, основанные на автоматическом доказательстве теорем
- •2.4. Системы, основанные на автоматическом порождении (выдвижении) гипотез
- •Лекция 3. Структура и основные компоненты прикладных интеллектуальных систем
- •3.1. Прикладные системы, основанные на знаниях
- •3.2. Структура системы управления, основанной на знаниях
- •3.3. Структура интеллектуальных систем поддержки принятия решения
- •3.4. Обобщенная структура экспертной системы
- •Лекция 4. Классификация прикладных интеллектуальных систем
- •4.1. Классификация экспертных систем
- •4.2. Примеры прикладных интеллектуальных систем
- •Лекция 5. Основные понятия и определения теории принятия решений
- •5.1. Роли людей в процессе принятия решений
- •5.2. Альтернативы
- •5.3. Критерии
- •5.4. Основные этапы процесса принятия решений
- •5.5. Математические методы теории принятия решений
- •Лекция 6. Принятие решений с помощью статистической проверки гипотез
- •6.1. Статистические решения
- •6.2. Основные задачи статистических решений
- •6.3. Статистическая проверка гипотез
- •6.4. Ошибки решения
- •6.5. Решающее правило при проверке гипотез
- •Лекция 7. Байесовская и последовательная процедуры принятия решения.
- •7.1. Байесовские процедуры принятия решения
- •7.1.1. Байесовская процедура при проверке простой гипотезы
- •7.1.2. Байесовские процедуры в задаче классификации
- •7.2. Принятие решения с помощью последовательной процедуры Вальда
- •Лекция 8. Принятие решения методом дискриминантнного анализа
- •8.1. Классификация в случае, когда распределения классов определены полностью
- •8.1.1. Модель двух нормальных распределений с общей ковариационной матрицей (модель Фишера)
- •8.1.2. Модель двух нормальных распределений с разными ковариационными матрицами
- •8.1.3. Модель нескольких нормальных распределений с общей ковариационной матрицей
- •8.2. Классификация при наличии обучающих выборок
- •8.2.1. Подстановочный алгоритм в модели Фишера
- •8.2.3. Правила классификации
- •8.3. Ошибка решающего правила
- •Лекция 9. Древообразные классификаторы
- •9.1. Назначение древообразных классификаторов
- •9.1. Структура дерева классификации
- •9.3. Вычислительные задачи древообразных классификаторов
- •9.3.1. Определение качества предсказания
- •9.3.2. Выбор разбиений
- •9.3.3. Определение правила прекращения разбиения
- •Лекция 10. Деревья решений
- •9.1. Характеристики дерева решений
- •9.2. Построение дерева решений
- •Лекция 11. Методы прогнозирования
- •11.1. Анализ временных рядов
- •11.1.1. Модель временного ряда
- •11.1.2. Тренд, сезонная и циклическая компоненты
- •11.1.3. Декомпозиция временного ряда
- •11.1.4. Экспоненциальное сглаживание
- •11.2. Каузальные методы прогнозирования
- •11.3. Качественные методы прогнозирования
- •Лекция 12. Основная задача линейного программирования
- •12.1. Математическая модель основной задачи линейного программирования
- •12.2. Задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами
- •12.3. Примеры задач линейного программирования
- •12.3.1. Транспортная задача
- •12.3.2. Задача о назначениях
- •Лекция 13. Симплекс-метода решения задачи линейного программирования
- •13.1. Характеристика симплекс–метода
- •13.2. Табличный алгоритм замены базисных переменных
- •13.3. Отыскание опорного решения основной задачи линейного программирования
- •13.4. Отыскание оптимального решения основной задачи линейного программирования
- •Лекция 14. Многокритериальные методы принятия решений при объективных моделях
- •14.1. Объединение критериев
- •14.2. Метод главного критерия
- •14.3. Метод последовательных уступок
- •14.4. Метод целевого программирования
- •14.5. Метод, использующий принцип гарантированного результата
- •14.6. Метод равных наименьших относительных отклонений
- •14.7. Процедура STEM поиска удовлетворительных значений критериев
- •Лекция 15. Выбор Парето–оптимальных решений
- •15.1. Основные определения
- •15.2. Графическая интерпретация
- •15.3. Постановка задачи
- •Лекция 16. Оценка многокритериальных альтернатив с помощью теории полезности
- •16.1. Теория полезности
- •16.2. Принятие решения на основе значения ожидаемой полезности
- •16.3. Многокритериальная теория полезности (MAUT)
- •Лекция 17. Сравнение альтернатив методом аналитической иерархии
- •17.1. Основные этапы метода аналитической иерархии
- •17.2. Декомпозиция задачи
- •17.3. Попарное сравнение критериев и альтернатив
- •17.4. Свойства идеальной матрицы сравнений
- •Лекция 18. Приоритеты для критериев и альтернатив и выбор наилучшей альтернативы в методе анализа иерархий
- •18.1. Вычисление собственных характеристик обратно симметричной матрицы
- •18.2. Вычисление величины приоритетов
- •18.3. Определение наилучшей альтернативы
- •18.4. Проверка согласованности
- •18.5. Пример применения метода анализа иерархий
- •Лекция 19. Оценка многокритериальных альтернатив методами ELECTRE
- •19.1. Этапы подхода, направленного на разработку индексов попарного сравнения альтернатив
- •19.2. Свойства бинарных отношений
- •19.3. Метод ELECTRE I
- •19.4. Метод ELECTRE II
- •19.5. Метод ELECTRE III
- •Лекция 20. Основные понятия и математическая модель игровых методов обоснования решений
- •20.1. Основные понятия теории игр
- •20.2. Математическая модель игры
- •20.3. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса
- •Лекция 21. Методы решения игр
- •21.1. Решение игры в чистых стратегиях
- •21.2. Решение игры в смешанных стратегиях
- •21.3. Упрощение игр
- •21.4. Решение игры 2х2
- •21.5. Графический метод решения (2х2)-игр
- •Лекция 22. Игры 2 х п
- •Лекция 23. Решение игр т х 2 и т х п
- •23.1. Решение игр т х 2
- •23.2. Решение игр т х п
- •Лекция 24. Критерии принятия решений в условиях риска и неопределенности
- •24.1. Основные понятия. Математическая модель
- •24.3. Максиминный критерий Вальда
- •24.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
- •24.5. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
- •Литература
Лекция 12. Основная задача линейного программирования
Во многих областях деятельности возникают задачи оптимизации решений, для которых характерны следующие черты:
•показатель эффективности W представляет линейную функцию от элементов решения x1, x2, …;
•ограничения, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Такие задачи принято называть задачами линейного программирования.
12.1. Математическая модель основной задачи линейного программирования
Основной задачей линейного программирования (ОЗЛП) называется задача линейного программирования с ограничениями – равенствами. От задачи с ограничениями – неравенствами можно перейти к ОЗЛП и обратно.
Основная задача линейного программирования формулируется следующим образом [5, 21,28].
Имеется ряд переменных x1, x2,…, xn.
Требуется найти такие неотрицательные значения этих переменных, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений:
a11x1 + a12x2 +... + a1n xn = b1; a21x1 + a22x2 +... + a2n xn = b2;
.............................................
am1x1 + am2x2 +... + amnxn = bm,
(12.1)
и обращали бы в минимум линейную целевую функцию |
|
L = c1x1 + c2x2+…+ cпxn. |
(12.2) |
Если линейную функцию L нужно обратить в максимум, то вместо нее надо рассмотреть функцию L ´= – L.
Допустимым решением ОЗЛП называется любая совокупность переменных x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0, удовлетворяющую уравнениям (12.1).
Оптимальным решением будем называть то из допустимых решений, при котором линейная функция (12.2) обращается в минимум.
ОЗЛП необязательно должна иметь решение. Может оказаться, что:
1)уравнения (12.1) противоречат друг другу;
2)уравнения (12.1) имеют решение, но не в области неотрицательных значений x1, x2,…, xn (ОЗЛП не имеет допустимых решений);
3)допустимые решения ОЗЛП существуют, но среди них нет оптимального (функция
L в области допустимых решений не ограничена снизу).
Существование допустимых решений ОЗЛП. Прежде чем перейти к формулировке условий существования, приведем некоторые необходимые определения из линейной алгебры. Матрицей системы линейных уравнений (12.1) называется таблица, составленная из коэффициентов при x1, x2,…, xn. Расширенной матрицей линейных уравнений называется та же таблица, дополненная столбцом свободных членов bi . Рангом матрицы называется
наибольший порядок отличного от нуля определителя, который можно получить, вычеркивая из матрицы какие-то строки и какие-то столбцы.
Для совместности системы линейных уравнений (12.1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Этот общий ранг r называется рангом системы; он представляет число линейно независимых уравнений среди
63
наложенных ограничений. Ранг системы r не может быть больше числа уравнений т: r ≤ т и не может быть больше общего числа переменных п: r ≤ п.
Случай, когда r = п. Система уравнений – ограничений ОЗЛП имеет единственное решение x1, x2,…, xn. Если в этом решении хотя бы одна из величин x1, x2,…, xn отрицательна, это значит, что полученное решение недопустимо и, следовательно, ОЗЛП не имеет решения.
Если все решения x1, x2,…, xn неотрицательны, то найденное решение является
допустимым. Оно же является и оптимальным.
Случай, когда r < п. Тогда, если система совместна, у нее существует бесчисленное множество решений. При этом п – r переменным мы можем придавать произвольные значения (так называемые свободные переменные), а остальные r выразятся через них (эти r переменных называются базисными). Если среди решений нет ни одного, для которого все x1, x2,…, xn неотрицательны, то это значит, что ОЗЛП не имеет допустимого решения.
Если же существуют решения системы (12.1), для которых все x1, x2,…, xn неотрицательны, то каждое из них допустимо. Теперь необходимо найти среди допустимых решений оптимальное, т.е. такое решение x1, x2,…, xn , для которого линейная функция L (12.2) обращается в минимум.
Геометрически область допустимых решений (если она существует) представляет собой выпуклый k-мерный многогранник (k = п – т), т.е. часть пространства, для которой выполнены все условия: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0. Решение, лежащее в одной из вершин области допустимых решений, называется опорным решением, а сама вершина – опорной точкой.
Решение основной задачи линейного программирования обладает следующими свойствами при любых значениях числа переменных п и числа уравнений т < п:
1.Оптимальное решение, если оно существует, лежит не внутри, а на границе области допустимых решений, в одной из опорных точек, в каждой из которых по крайней мере k из переменных обращаются в нуль.
2.Для того, чтобы найти оптимальное решение, нужно, переходя от одной опорной точки к другой, двигаться в направлении уменьшения линейной функции L, которую требуется минимизировать.
12.2. Задача линейного программирования с ограничениями-неравенствами
Довольно часто ограничения в задаче линейного программирования задаются не уравнениями, а неравенствами.
Пусть имеется задача линейного программирования с п переменными x1, x2,…, xn, в которой ограничения имеют вид линейных неравенств:
a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn +b1 ≥ 0; a21x1 + a22x2 +... + a2nxn +b2 ≥ 0;
.............................................
am1x1 + am2x2 +...+ amnxn +bm ≥ 0.
(12.3)
Требуется найти такую совокупность неотрицательных значений x1, x2,…, xn, которая удовлетворяла бы неравенствам (12.3), и обращала бы в минимум линейную функцию
(12.2).
От поставленной таким образом задачи можно перейти к основной задаче линейного программирования. Введем обозначения:
y1 |
= a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn +b1, |
y2 |
= a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn +b2, |
.............................................
ym = am1x1 + am2x2 +...+ amnxn +bm,
(12.4)
где у1, у2,…, ут – некоторые новые, добавочные переменные. Согласно условиям (12.3), эти добавочные переменные так же, как x1, x2,…, xn, должны быть неотрицательными.
64