Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТПР. Всё в 1 файле / Прикладные Инст сист.pdf
Скачиваний:
242
Добавлен:
15.09.2014
Размер:
1.43 Mб
Скачать

признать этот критерий имеющим удовлетворительное значение: Ci li. Это условие

добавляется к совокупности линейных равенств и неравенств, определяющих область D допустимых значений переменных. Таким образом, возникает уже новая область допустимых значений. Следующий шаг начинается с расчетов при новой области допустимых значений и т.д. При достижении удовлетворительных для ЛПР значений по всем критериям процедура поиска решения останавливается.

Лекция 15. Выбор Парето–оптимальных решений

15.1. Основные определения

Метод основан на выделении из области допустимых решений D области компромиссов, в которой невозможно одновременное улучшение всех критериев.

Приведем необходимые определения.

Точка у D доминирует (улучшает) х D, если Ci (у) ≥ Ci (х), i = 1,..., m, и существует i0

= {1,..., m}, такое, что Ci0 (у) > Ci0 (х).

Точка х D называется оптимальной по Парето (эффективной), если не существует у D, улучшающей х.

Область согласия Dс D не содержит недоминируемых точек (любая точка из Dс может быть улучшена).

Эффективная область (область компромисса) Dэ D содержит все эффективные точки. В этой области ни один критерий не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного из других.

15.2. Графическая интерпретация

Рассмотрим на плоскости (U, V) множество Ω (рис.15.1) [28]. Каждая его точка обладает одним из следующих свойств:

1)все точки, ближайшие к этой точке, принадлежат множеству Ω (такая точка называется внутренней точкой множества Ω),

2)сколь угодно близко от этой точки расположены как точки множества Ω, так и точки, множеству Ω не принадлежащие (такие точки называются граничными точками множества Ω).

Граничная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству Ω. Мы будем рассматривать только такие множества, которым принадлежат все точки границы. Множество всех граничных точек множества называется его границей ∂Ω.

76

V

.

.

U

Рис. 15.1. Множество точек, соответствующих области допустимых решений

Пусть М – произвольная точка множества Ω, внутренняя или граничная, и (U, V) – ее координаты. Можно ли, оставаясь в множестве Ω, переместиться из точки М в близкую точку так, чтобы при этом увеличились обе ее координаты? Если М – внутренняя точка, то это возможно. Если же М – граничная точка, то такое возможно не всегда (рис.15.2). Из точек М1, М2 и М3 это сделать возможно, но уже из точек вертикального отрезка АВ можно переместиться, увеличивая лишь координату V (координата U при этом остается неизменной). Перемещая точку горизонтального отрезка PQ вправо, мы увеличиваем координату U (координата V при этом сохраняет свое значение). Перемещение вдоль дуги BQ способно лишь увеличить одну из координат при одновременном уменьшении другой.

V

 

P .

. Q

M3 .

.

.

 

.

M1

.

 

M2

 

.

 

 

B

A

M4

O

U

Рис.15.2. Три класса точек множества Ω

Тем самым точки множества Ω можно разбить на три класса.

1. К первому классу относятся точки, которые можно сдвинуть так, чтобы одновременно увеличились обе координаты и при этом точки оставались в множестве Ω (в этот класс попадают все внутренние точки множества Ω и часть его граничных точек).

77

2.Второй класс образуют точки, перемещением которых по множеству Ω можно увеличить только одну из координат при сохранении значения второй (вертикальный отрезок АВ и горизонтальный отрезок PQ на границе множества Ω).

3.В третий класс попадут точки, перемещение которых по множеству Ω способно лишь уменьшить хотя бы одну из координат (дуга BQ границы ∂Ω).

Множество точек третьего класса называется границей (множеством) Парето данного множества Ω.

15.3. Постановка задачи

Пусть на плоскости (х, у) задано множество ω (рис. 15.3) и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции U = Ф(х, у) и V = Ψ (х, у).

Рассмотрим следующую задачу [28]. На множестве ω найти точку (х0, у0), в которой Ф (х0, у0) = max и Ψ (х0, у0) = max.

Обычно это записывается так:

Ф(х, у) → max и Ψ (х, у) → max, (х, у) ω.

В общем случае поставленная задача решения не имеет.

Изобразим на плоскости (U, V) все точки, координаты которых вычисляются по формулам

U = Ф(х, у) и V = Ψ (х, у), (х, у) ω.

Y

X

Рис. 15.3. Множество ω исходных точек на плоскости (х, у)

Обозначим полученное множество через Ω. Из рис. 15.4 видно, что наибольшее значение U (Umax) и наибольшее значение V (V max) достигаются в разных точках, а точка с координатами (Umax, V max) лежит вне множества Ω.

78

V

Vmax

Umax U

Рис. 15.4. Множество Ω точек на плоскости (U, V)

Тем самым в исходной постановке задача неразрешима – удовлетворить обоим требованиям одновременно невозможно. Следовательно, нужно искать компромиссное решение. Среди известных нам (см. лекц. 14) следует отметить два:

1)метод уступок,

2)метод идеальной точки.

Оба метода используют множество Парето, составленное в данном случае из допустимых точек задачи, которые не могут быть сдвинуты в пределах допустимого множества с улучшением сразу по двум критериям. Улучшая значения одного из критериев, мы неизбежно ухудшаем значения другого.

Метод последовательных уступок заключается в том, что ЛПР, работая в режиме диалога со специалистом, анализирует точки на границе Парето до тех пор, пока не согласится с некоторой компромиссной точкой.

Метод идеальной точки состоит в отыскании на границе Парето точки, ближайшей к точке утопии, задаваемой ЛПР. Обычно ЛПР формулирует цель в виде желаемых значений показателей, и часто в качестве координат целевой точки выбирается сочетание наилучших значений всех критериев. Обычно эту точку невозможно реализовать при заданных ограничениях, поэтому ее называют точкой утопии.

Мы рассмотрели задачу, в которой Ф(х, у) → max, Ψ (х, у) → max.

На практике встречаются случаи, когда требования задаются по иному:

Ф(х, у) → max, Ψ (х, у) → min

или

Ф(х, у) → min, Ψ (х, у) → min.

В этих случаях удобно поступать следующим образом. Принимаем во внимание, что функция Θ = – Ψ обладает следующим свойством: она достигает наибольшего значения в точности в тех точках, где функция Ψ принимает наименьшее значение, и наоборот. Иными словами, условия

Ψ → min и Θ → max

Равносильны. Поэтому, поменяв в случае необходимости знак у критерия на противоположный, мы можем свести любую двухкритериальную задачу к уже рассмотренной:

Ф(х, у) → max, Ψ (х, у) → max.

79