Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

ция / имеет в точке а предел, равный —оо, и пишут lim /(ж) = —оо,

ж —>а

а множество U£(—оо) называют е-окрестностью символа —оо. Например, если /(ж) = lgx2 (рис. 10.7), то lim /(ж) = —оо, а если

/(ж) = Ду (рис. 10.8), то Игл/(ж) = +оо.

х—>-0

в) Предел в бесконечности. Если

Vs > 0 36 >0: У хе U5(+оо) -+ /(ж) <ЕUe(A),

то говорят, что число А есть предел функции /(ж) при ж, стремящемся

любого £ > 0 выполняется при любом ж > 6, где 6 = -, т. е. при любом

то говорят, что число А есть предел функции /(ж) при ж, стремящем­ ся к бесконечности, и пишут lim /(ж) = А. Например, если /(ж) =

Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконеч­ ности. Например, запись lim /(ж) = —оо означает, что Ve > 0 35 >

х—>+ оо

>0: Va; € Ug(+оо) —¥ /(ж) € и е(—оо). Аналогично определяются бес­ конечные пределы при ж Ч о о и ж - 4 ^оо.

Упражнение 5. Сформулировать с помощью логических символов и окрестностей (или неравенств) следующие утверждения:

a) lim /(ж) = оо; б) lim /(ж) = +оо.

свойствах речь идет о конечном пределе функции в заданной точке. Под точкой понимается либо число а, либо один из символов а —0, а + 0, ^оо, +оо, оо. Предполагается, что функция определена в неко­ торой окрестности или полуокрестности точки а, не содержащей са­ му точку а. Для определенности будем формулировать и доказывать свойства пределов, предполагая, что а — число, а функция определена в проколотой окрестности точки а.

а) Локальные свойства функции, имеющей предел. Покажем, что функция, имеющая конечный предел в заданной точке, обладает не­ которыми локальными свойствами, т. е. свойствами, которые спра­ ведливы в окрестности этой точки.

Св о й с т в о 1. Если функция /(ж) имеет предел в точке а, то су­ ществует такая проколотая окрестность точки а, в которой эта функция ограничена.

ве Us (а). •

Св о й с т в о 2. Если lim /(ж) = А, причем А ф 0, то найдется та-

х —±а

кая проколотая окрестность точки а, в которой значения функции / имеют тот же знак, что и число А.

О Согласно определению предела по заданному числу е = \А\ > О

можно найти такое число 6 > 0, что для всех ж G Us (а) выполняется

f (x) < у < 0 для ж е Us(a). •

О Для доказательства этого свойства достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и соответствующими свой­ ствами пределов последовательностей (§ 4, теорема 4, следствие 2). •

неравенства м еж ду ф ункциям и при переходе к пределу, вообще говоря, не сохраняется.

ченную в некоторой проколотой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая при х а функция.

Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно малой и ограниченной функции, либо с помощью определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей. Из свойства 2) следует, что произведение конечного числа бесконечно малых при х —Уа функций есть бесконечно малая при х а функция.

З а м е ч а н и е 5. Из определения предела функции и определения беско­ нечно малой функции следует, что число А является пределом функции f ( x ) в точке а тогда и только тогда, когда эта ф ункция представляется в виде

г) Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

Если функции f(x) и д(х) имеют конечные пределы в точке а,

причем lim f(x) = A, lim д(х) = В, то:

84 Гл. III. Предел и непрерывность функции

О Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и свойствами пределов по­ следовательностей (§ 5, п. 3). Другой способ доказательства — ис­ пользование замечания 5 и свойств бесконечно малых функций. •

Отметим частный случай утверждения (11):

lim (Cf(x)) = С lim /(ж),

т.е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.

5.Пределы монотонных функций. Понятие монотонной функ­ ции было введено в § 9 (п. 7). Докажем теорему о существовании односторонних пределов у монотонной функции.

Т е о р е м а 2. Если функция / определена и является монотонной на отрезке [а,Ь], то в каждой точке X Q G ( а,Ь) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках а иЪ — соответственно

В силу условия (12) множество значений, которые функция / прини­ мает на промежутке [а,хо), ограничено сверху, и по теореме о точной верхней грани существует

а<^х<хо

86 Гл. III. Предел и непрерывность функции

О Не о б х о д и мо с т ь . Пусть lim /(ж) = А; тогда

Если ж', ж" — любые точки из множества Us(a), то из (18) следует, что

|/(ж') - Дж")| = |(/(ж') - А) - (f(x") - А)\ «С

«С|/(ж') - А\ + |/(ж") - А\ < | + | = е,

т. е. выполняется условие Коши (17).

До с т а т о ч н о с т ь . Докажем, что если 3<5о: Us (а) С D ( f ) и выпол­ няется условие (17), то существует предел функции / в точке а. Вос­ пользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть {хп} —

произвольная последовательность такая, что х п G Us (а) и lim х п = а.

х —>оо

Докажем, что соответствующая последовательность значений функ­ ции {/(жп)} имеет конечный предел, не зависящий от выбора после­ довательности {хп}.

Если выполняется условие (17), то для каждого е > 0 можно найти число 5 = 5е > 0 такое, что

Так как lim х п = а, то, задав число S = 6(e) > 0, указанное в

х —>оо

условии (19), найдем в силу определения предела последовательности номер щ = Ne такой, что

Уте > Ne —1 0 < \хп —а\ < 5.

Это означает, что для любого ri ^ Ne и для любого тег Ne выполня­

ются условия х п € Us{a), х т € Us (а) и в силу (19) |/(жп) —/ ( х т)\ < е. Таким образом, последовательность {/(жп)} является фундаменталь­ ной и согласно критерию Коши для последовательности (§ 8) имеет конечный предел. В силу леммы этот предел не зависит от выбора по­ следовательности {хп}, сходящейся к точке а. Следовательно, функ­ ция /(ж) имеет конечный предел в точке а. •

Замечание 7. Теорема 3 остается в силе, если точку а заменить од­ ним из символов а — 0, а + 0, —о о , + о о ; при этом условие (17) должно вы­ полняться в окрестности этого символа.

§11. Непрерывность функции

1.Понятие непрерывности функции.

Опре де ление . Функция /(ж), определенная в некоторой окрест­ ности точки а, называется непрерывной в точке а, если

х —va