Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

от нуля, — положительным вещественным числом. Число вида

где хотя бы одно из чисел ао, oti, 0,2 , ••• отлично от нуля, будем назы­ вать отрицательным вещественным числом.

Если а = ao,aia,2...an..., Ъ= —ao,aia2—an..., то число Ь называют

противоположным числу а, а число а — противоположным числу Ь. Если дробь (2) является периодической, то ее называют рацио­ нальным числом, а если эта дробь не является периодической, то ее называют иррациональным числом. Множество всех десятичных дро­ бей вида (2) называют множеством вещественных чисел и обознача­ ют R, а его подмножество, состоящее из непериодических десятичных

дробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают J. Приведем примеры иррациональных чисел.

1) а = 0,1234567891011... (5)

Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные подряд, начиная с единицы.

2) Ь = 27,1010010001000010... (6)

Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 102 = 100, 103 = 1000, Ю4 = 10000 и т. д.

У п р а ж н е н и е 2. П оказать, что числа а и Ь, заданные равенствами (5) и (6), являю тся иррациональными.

в) Десятичные приближения вещественных чисел. Поставим в со­ ответствие неотрицательному вещественному числу (3) конечные де­ сятичные дроби

и будем называть их п-ми десятичными приближениями числа а = = ao,aia,2...an... соответственно с избытком и недостатком. Если а

— отрицательное вещественное число вида (4), то для него п-е деся­ тичные приближения с избытком и недостатком определяются соот­ ветственно равенствами

Десятичные приближения найдут применение при определении ариф­ метических операций на множестве R (§ 3).

У п р а ж н е н и е 3. П оказать, что для любого вещ ественного числа его десятичны е приближения обладаю т следую щ ими свойствами:

г) а п < а т для любых п и т , .

4. Сравнение вещественных чисел.

а) Сравнение неотрицательных чисел. Два неотрицательных ве­ щественных числа

а = a0,a ia 2...a„... и (3 = Ь0, bib2 -..bn...

называют равными и пишут а = [3, если ар = Ър при к = 0,1, 2, т. е.

Дадим определение соотношений а < (3 и а > (3. Говорят, что чис­ ло а меньше числа (3, и пишут а < (3, если либо ао < Ьо, либо ао = Ьо и существует такой номер те, что сц = Ъ\, а2 = Ь2, •••, «n-i = bn_i, но ап < Ьп, т. е.

{а < /3} {а0 < Ьо} V {Зте G А/: а*, = Ър, к = 0 ,те —1; ап < Ъп}.

Запись к = 0, те —1 означает, что равенство ар = Ър выполняется при значениях к от 0 до те —1 включительно, так что те — наименьший номер, для которого это равенство не выполняется и имеет место неравенство ап < Ъп. Аналогично

{« > Д?} -ФФ- {а0 > Ь0} V {Зте £ N : ар = Ър, к = 0, те —1; ап > Ъп}.

Из определения равенства а = (3 и неравенств а < (3 и а > (3 сле­ дует, что для любых неотрицательных вещественных чисел а и (3 выполняется одно из трех условий: а = [3, а < (3, а > (3.

Отметим еще, что для любого неотрицательного вещественного числа а справедливо неравенство а ^ 0.

б) Сравнение произвольных вещественных чисел. Назовем моду­ лем вещественного числа а вещественное число, обозначаемое симво­ лом |ск|, представимое той же бесконечной десятичной дробью, что и число а, но взятое со знаком +. Таким образом, если

а = ±ao, aia 2...an..., то |а| = ao,aia2...an...,

откуда следует, что |а| — неотрицательное вещественное число при любом а.

Введем теперь правило сравнения двух вещественных чисел а и (3 для случая, когда хотя бы одно из этих чисел отрицательно (правило сравнения неотрицательных чисел введено выше).

Если а — неотрицательное, (3— отрицательное число, то считают, что а > (3.

Если оба числа а и (3 отрицательны (а < 0, (3 < 0), то будем счи­ тать, что:

1) а = [3, если |п| = \(3\,

2) а < [3, если \(3\ < |а|.

Таким образом, правило сравнения сформулировано для любых вещественных чисел.

По условию /3 £ J, и, значит, /3 не может быть конечной десятичной дробью (бесконечной периодической дробью с периодом 0). Поэтому найдется номер, больший р (обозначим его р + то) и такой, что

Покажем, что рациональное число г = ao,ai...ap-ibp...bp+m- i (0)

J1 е м м a 2. Пусть 6 £ R, 6' £ R и пусть существуют такие пос­ ледовательности рациональных чисел {хп} и {уп}, что для всех п £ N справедливы неравенства

О Пусть равенство (13) не выполняется; тогда из условия (11) следу­ ет, что 6 < S1. В силу следствия из леммы 1 существуют рациональные числа г и г такие, что

откуда в силу транзитивности правила сравнения получаем

Используя неравенства (15), (12), (16) и свойства неравенств для ра­ циональных чисел, получаем

^ < г' - г < уп - х п «С

Неравенство (17) должно выполняться при фиксированном т Е А/ и при любом n G А/. Однако при п — т неравенство (17) не выполняется. Поэтому неравенство S < S' не может иметь места, т. е. справедливо равенство (13). •

6. Геометрическая интерпретация вещественных чисел.

Рассмотрим прямую I (рис. 1.2), выберем на ней начало отсчета (точ­

ку О) и масштабный отрезок ОЕ длины 1. Числу 0 поставим в соответствие точку О, числу 1 — точку Е, числу —1 — точку Е ' , симметричную точке Е относительно О. Положительному числу

Эту прямую будем называть числовой прямой или числовой осью.

Из аксиом геометрии и свойств вещественных чисел следует, что между множеством вещественных чисел R и числовой прямой I уста­ навливается взаимно однозначное соответствие: каждому веществен­ ному числу соответствует единственная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует некоторое вещественное число. Поэтому в дальнейшем будем отождествлять множество R с множеством точек числовой прямой, а вещественные числа часто будем называть точками.

Условимся о следующих обозначениях для некоторых наиболее употребительных числовых множеств:

Точки а и b называют концами отрезка, интервала, полуинтервала (а — левым концом, b — правым); отрезок [а, Ь], интервал (а, 6), по­ луинтервалы [а, 6) и (а, 6] называют конечными промежутками (или промежутками), а точки х такие, что а < х < Ь, — их внутренними точками.

Наряду с конечными промежутками рассматривают также беско­ нечные промежутки:

а) интервалы (а,+оо) = {ж: х > а} и (—оо, а) = {х: х < а};

б) полуинтервалы

[а, +оо) = {ж: ж ^ а} и (—оо, а] = {х: х ^ а};

в) (—оо,+оо) = {ж: ж G R} — множество вещественных чисел. Напомним также, что если каждый элемент множества А являет­ ся элементом множества Б, то пишут А С В или В D А и говорят, что

Аявляется подмножеством множества В. Например, J С /?, Q С R.

Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, кото­

рые принадлежат хотя бы одному из множеств А и Б, называется

объединением множеств А и В и обозначается Л и Б .

Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, кото­

рые принадлежат как множеству А, так и множеству В, называется

пересечением множеств А и В и обозначается АП В.

Например, если А = [1,3], В = (2, 5), то A U В = —[1, 5), А П В =

=(2,3] (рис. 1.3). Отметим, что

J U Q = R, J П Q = 0 ,

где 0 — пустое множество, т. е. множество, не содержащее элемен­ тов.

§2. Точные грани числовых множеств

1.Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Множест­ во X вещественных чисел (X С R) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число С такое, что все элементы мно­ жества X не превосходят С, т. е.

Всякое вещественное число С, обладающее свойством (1), называ­ ют верхней гранью числового множества X .

Аналогично множество X С R называется ограниченным снизу, если

Всякое число С', удовлетворяющее условию (2), называют нижней гранью числового множества X .

Если числовое множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, т. е. {X — ограниченное множество} <£> ^ {ЗС' е R ЗС е R: Уж G х -> С' ^ ж <СС}.

П р и м е р 1. Записать ],4 с помощью кванторов, если

А= {С — верхняя грань множества X С R}.

АПо условию А = {Уж £ X —1 ж ^ С}. Используя правило построения отрицания (§ 1 , пример 2), получаем

вие (1), а число С является верхней гранью множества X . Ясно, что любое число, большее С, также является верхней гранью мно­ жества X . Таким образом, ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних граней, среди которых особую роль играет наименьшая. Речь идет о числе М , обладающем следующими свойствами:

а) М — верхняя грань множества X;

б) любое число М' меньшее М, не является верхней гранью мно­ жества X .

Это число М будем в дальнейшем называть точной верхней гра­ нью множества X . Сформулируем определение точной верхней грани с помощью символов. Чтобы подчеркнуть важность вводимого поня­ тия (и будем так поступать в дальнейшем), поставим перед ним слово

Точная верхняя грань числового множества X обозначается supX (читается “супремум”). Таким образом,

{М = supX} -ФУ{Уж е X ->■ ж ^ М} Л {Уа < М Зха G X : х а > а).

У п р а ж н е н и е 3. Записать с помощью кванторов утверж дения:

а) число М не является точной верхней гранью числового множ ества X ; б) число гп не является точной нижней гранью числового множ ества X .

Показать, что inf У = —su p X .

3.Существование точной верхней (нижней) грани.

Те о р е м а 1. Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует supX; если непустое множество

грани. По условию множество X не пусто, т. е. содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

1 ) множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число; 2) все элементы множества X отрицательны.

Пе р в ый случай . Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху и по­ этому выполняется условие (1). Пусть С = со,CiC2 -..cn...; тогда Со — неотрицательное целое число, причем С < Со + 1, где Со + 1 = щ G N. Следовательно,

тое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве

есть наибольший элемент аоОбозначим

Х 0 = {х € X : х = ао, {а„}}.

Множество Хо состоит из всех тех элементов множества X , у кото­ рых целая часть равна ао; множество Хо непустое, причем X D ХоПусть Ei — множество первых десятичных знаков элементов мно­ жества ХоТак как множество Е\ конечно (его элементами могут быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и непусто, то существует <н = = max ai — наибольший из первых десятичных знаков элементов

множества Хо-

Пусть Xi = {х € X : х = ао,<Н(Т2...}; тогда X D Х0 D Х\. Обозна­

чим а,2 = max 02 наибольший из вторых десятичных знаков элементов x(E.Xi

множества Xi,

Х2 = {х € X i: 02 = а2} = {х € X : х = ао,<йа2(Тз...}.

Продолжая эти рассуждения, построим последовательность {X*} непустых множеств и последовательность десятичных знаков {а*,} такие, что X D Хо D Х \ D ... D X k^i D X*. D ...,

ак = max ак, xEXk—i

Х к = {х G Xfc_ i : а* = а*} = {ж € X : ж = a0,ai...afc(Tfc+i —}•

Рассмотрим десятичную дробь ж = ао,<н... = ао,{а„}. Покажем, что х = supX, т. е. что

Возьмем произвольное число ж G X и пусть ж = ао,{а„}. Чтобы проверить выполнение условия (6), рассмотрим три возможных слу­ чая:

Из (8) следует, что ао < (То и поэтому ж < ж. Если выполнено усло­ вие (9), то ак = ак при к = 0,1, 2,..., откуда, по определению числа ж, справедливо равенство ж = ж. Наконец, из (10), согласно определению множества Хто и числа ж, следует, что

ж —ад, оц... am—iam... <Сад;ОН... om—iam(0К ж,

и поэтому ж < ж. Таким образом, неравенство (6) доказано. Проверим условие (7). Если ж' < 0, то (7) имеет место при любом

ж G X, так как все элементы множества X неотрицательны.

Пусть 0 ^ ж' < ж и ж' = а!0, {а!п}. Тогда либо а'0 < ао, либо а'к = ар при к = 0, то —1 ,а'т < ат. В первом случае в качестве ж можно взять любой элемент множества Хо, так как из условий а'0 < ао и ж £ Хо следует, что

ж' < ж = а0,а1 ...ап... ^ ж, т. е. х 1 < ж ^ ж и ж £ Х0 С X.

Во втором случае условию (7) удовлетворяет произвольный элемент х £ Х то, так как

х —ао, а^... ат—iam... <1 ао, а\... ат—\атат-$-\... —х х.

Таким образом, х 1 < ж ^ ж, где ж £ Х т С X. Условие (7) проверено. Итак, условия (6) и (7) выполняются, т. е. х = supX. Тем самым доказано существование точной верхней грани в предположении, что

все элементы множества X неотрицательны.

Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный эле­ мент Хо г? 0, то множество {X = х £ X : х ^ Хо} состоит из неотри­ цательных чисел, причем supX = supX (упр. 2). Поэтому непустое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Вт ор ой случай . Если все элементы множества X отрицатель­ ны, то произвольный элемент х £ X записывается в виде

Пусть вд — наименьшее из чисел ао в записи (11) для всех х £ X, aj — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых ao = aj); aj) — наименьший из вторых десятичных зна­ ков тех элементов множества X, у которых ao = ag, ai = aj и т. д. Ука­ занным способом определяется число х* = —ag, a^.-.a* ... = ^a(5,{a*}. По аналогии с первым случаем доказывается, что число х* является точной верхней гранью множества. •

О Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества У в силу (12), то по теореме 1 существует sup У. Аналогично из ограниченности непустого множества У сни­ зу любым элементом множества X следует существование inf У. По определению точных граней