Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015
.pdf160 |
Гл. IV . Производная |
и ее приложения |
|
|
_п' мк) |
\ |
|
О Пусть ж € Us(xo), Рп(х) = |
° (х — Хо)к — многочлен Тей- |
||
|
к=о |
|
|
лора для функции /(ж). Обозначим |
|
|
|
|
r„(x) = /(ж) - |
Рп(х). |
(9) |
Так как многочлен Рп(х) удовлетворяет в силу леммы 1 условиям (1), то из равенства (9) следует, что
гп (х0) = г'п (х0) = ... = |
= 0. |
(10) |
Рассмотрим функции (р(х) = гп(х), ф(х) = (х —Жо)”+ 1 . Эти функции удовлетворяют условиям леммы 2, и поэтому для них выполняется равенство (5), т. е.
ф ) _ |
г п {х) |
_ г Г 1}Ю _ |
/ (Д+1)Ю |
|
П П |
ф(х) |
( х ^ х 0)п+1 |
(п + 1)! |
(п +1)! ’ |
’ |
1 ' |
так как Р ^ +1 \ х ) = 0, ф(п+1 Цх) = (п + 1)!. Из равенств (11) и (9) следует формула (8). •
£(П+1) /£\
З а м е ч а н и е 2. Ф ункцию г п (х) = |
iT| (* —жо)п+1 назы ваю т оста- |
|
(п + 1). |
точным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Формула (8) справед лива и при х = Х{).
Следствие . Если функции { р и ф дифференцируемы п раз при х ф Xq и удовлетворяют условиям ipW(xo) = ф^Цхо), к = 0,п —1 , (р^'Цх) > ф^'Цх) при X > X Q , то ps{x) > ф(х) при X > X Q .
О Для ri = 1 утверждение доказано в § 17 (следствие 4 из теоремы
Лагранжа). Обозначим f(x) = (р(х ) — ф(х). Тогда /^(ж о ) = 0 при к = = 0, п —1 , и по формуле (8) получаем
|
/(ж) = 1 |
(Ж- Ж0) " / (П)(0 . |
|||
Если X > Хо, ТО £ > Жо, |
(£) = +(-") (£) - |
Ф ^ (С) > 0, и поэтому /(ж) > |
|||
> 0, т. е. tp(ж) > ф(х) при X > X Q . • |
|
|
|||
|
Пр и м е р 1. Доказать, что: |
|
|
||
|
ф |
t € R; |
|
|
|
|
а) | sin t —t\ ф — для |
|
|
||
|
3 |
3 |
5 |
ж > 0. |
(1 2) |
|
б) ж — —< sin ж < ж —— + — при |
||||
|
3! |
3! |
5! |
|
|
А |
а) Применяяформулу |
(8) |
при те = 2 и жо |
= 0 к функции f(t) = |
|
= sin С получаем sint = t |
S1H ^t2, откуда следует, что | sint —t\ sC |
||||
t € |
R. |
то |
/(0) = f ^ ( 0 ) = |
0) = 0, /'(0) = 1, |
|
|
б) Если /(ж) = sin ж, |
||||
/^ (О ) = —1, f (n)(x) = (з т ж )^ = sin ^ж + п • |
Применяя форму- |
||||
§18. Формула Тейлора |
161 |
лу (8) при те = 5, Хо = 0, получаем
|
|
|
|
|
* 3 |
, х ° ■ ( с , |
с |
71 |
|
|
|
|
|
|
sm Ж= ж —— + — sm I £ + |
5 |
• — |
|
|
||||
|
|
|
|
|
3! |
5! |
V |
|
2 . |
|
|
откуда |
следует |
правое |
неравенство (1 2), |
так как, |
очевидно, |
||||||
Х Л _■ |
/ V . г |
7 Г \ |
^ Х Л |
при ж > 0. Используя формулу (8) для /(ж) = |
|||||||
j sin |
|
|
^ |
||||||||
5>" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin ж при те = 3, Хо = 0, докажем левое неравенство (1 2). ▲ |
|
||||||||||
2. |
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. |
||||||||||
Т е о р е м а |
2. Если существует f ( n\ x о), то |
|
|
||||||||
|
|
П |
-f{k) ( |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = |
— fc! |
° |
(х ~ Х°^к |
°((х ~ |
|
х |
ж°- |
(^ ) |
||
к=О
ОИз существования /( ”) (жо) следует, что функция /(ж) определена и
имеет производные до (те —1 )-го порядка включительно в ^-окрестности точки жц. Обозначим </?(ж) = г„(ж), *ф(ж) = (ж —Жо)п, где функция гп(ж) определяется формулой (9). Функции </?(ж) и *ф(ж) удовлетворяют условиям леммы 2, если заменить номер те + 1 на но мер те —1 (см. равенства (10)). Используя лемму 2 и учитывая, что
г ^ 1}(ж0) = 0, получаем
г»(ж ) _ |
г ^ Ю |
- г ^ Г У |
о ) |
п |
, |
( х - х 0) п |
n ! ( t - хо) |
’ |
[ |
J |
|
где £ = £(ж) и |
|
ж0 —5 < ж < £ < ж0. |
|
|
|
ж о < С < ж < ж о + 5 |
или |
(15) |
|||
Пусть ж —1 Жо, тогда из неравенств (15) следует, что £ —1 жо, и в
силу существования f^ (x o ) |
существует lim г.п |
ж ^ г ^ Ы |
|||
|
_ J n - 1), |
(ж0) |
I" 1 |
Ж-»Жо |
Ж— Жо |
|
|
|
|||
= lim |
- Г |
0, так как выполняются ра- |
|||
—---- ”--------------1—L= r W (ж0) = |
|||||
х ^ х о |
£ — Жо |
|
|
|
|
венства (10). Таким образом, правая часть формулы (14) имеет при ж —1 Хо предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, также равный нулю. Это означает, что гп(ж) =
= о((ж —Ж о ) ” ) , |
ж —1 Ж о , или /(ж) —Р „ ( ж) = о((ж — |
Ж о ) ” ) , откуда сле |
дует равенство (13). • |
|
|
З а м е ч а н и е |
3. Формулу (13) часто назы ваю т |
формулой Тейлора с |
остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора. Разлож ить функцию /(ж ) по формуле Тейлора в окрестности точки жо
до о((ж — жо)") — зн ачит представить ее в виде (13). |
|
|
Т е о р е м а 3. Если существует f t 71'1 (жо) и если при ж —1 Жо |
|
|
/(ж) = а0 + ai(x - ж0) + ... + ап(ж - ж0)” + о((ж - ж0)”), |
(16) |
|
то |
|
|
ак = — |
к = 0, п. |
(17) |
162 Гл. IV . Производная и ее приложения
О По теореме 2 справедлива формула (13), и так как по условию выполняется равенство (16), то
а0 + а\(х - ж0) + ... + ап(ж - |
ж0)” + о((ж - ж0)”) = |
= /(жо) + / '( жо)(ж - жо) + ... |
+ / (n)(s0) (ig~ f o)n + о((х - Жо)”). (18) |
Переходя к пределу при ж -Д Жо в равенстве (18), получаем ао = = / ( Жо). Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинако вые слагаемые ао и / ( жо) и разделив обе части полученного равенства на ж —Жо, имеем
а\ + а2(ж - |
ж0) + ... + ап(ж — ж0)” - 1 + о((ж —ж0)”-1) = |
||
= Г Ы + |
т |
(ж - жо) + ... + |
- жо)” - 1 + о((ж - жо)”- 1). |
Переходя в этом равенстве к пределу при ж -А жо, находим / '( жо) = = ai. Продолжая эти рассуждения, получаем равенства (17). •
З а м е ч а н и е 4. Теорема 3 означает, что представление в виде (16) функции, имеющ ей в точке хо производную п-го порядка, единственно: коэффициенты разлож ения (16) вы раж аю тся по формулам (17).
Пр и м е р 2. Разложить функцию — по формуле Тейлора в окрестности точки XQ = 0 до о(ж”).
А Воспользуемся равенством (1 + ж + ... + ж”)(1 —ж) = 1 —ж”+1, от-
1 |
гп(ж) = |
------- = о(ж”) при |
куда ------- = 1 + ж + ... + ж” + гп(ж), где |
||
1 — X |
|
1 —X |
х —1 0. Таким образом, |
|
|
—— = 1 + ж + ... + ж” + о(ж”). |
(19) |
|
1 —х |
|
|
Так как функция —-— бесконечно дифференцируема при ж ф 1 (имеет
1 —х производные любого порядка), то по теореме 3 формула (19) дает
искомое разложение. ▲
3. Разложение основных элементарных функций по фор муле Тейлора. Если Жо = 0 и существует /*”^(0), то равенство (13) принимает вид
/ ( ж) = £ / ^ М ж* + 0(ж"), ж ^ О . |
(20) |
к=0
Формулу (20) называют формулой Маклорена.
З а м е ч а н и е 5. П усть ф ункция /(ж ) бесконечно дифференцируема на интервале ( —1,1). Если эта ф ункция является четной, то ее производная — нечетная ф ункция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная ф ункция (§ 15, пример 9)). Отсюда следует, что для нечетной функции /
§18. |
Формула Тейлора |
163 |
выполняю тся условия f (2k\ 0 ) |
= 0, к € А/, а для четной функции / |
— усло |
вия /®2,г-1*(0) = 0, fc € А/, так |
как лю бая непрерывная нечетная |
ф ункция |
принимает при х = О значение нуль. |
|
|
П оэтому формулу (20) для бесконечно дифференцируемой четной ф унк ции можно записать в виде
= i l |
хЛ + Ф ы+1), |
х ^ О , |
(21) |
к=о |
|
|
|
а для нечетной функции — в виде |
|
|
|
= |
1 ” 1‘ + ° (1“ г'>’ |
* - > * • |
( Я ) |
4=0 |
|
|
|
В формуле (21) остаточны й член записан в виде о(*®2п+1*), а не в виде о(х2п),
так как для четной функции / выполняется условие /®2п+1*(0) = 0, и поэ-
f (2П) (0) |
9 |
том у член многочлена Тейлора, который следует за слагаемым -------— |
х~п., |
(2я)! |
|
равен нулю. Аналогично рассм атривается вопрос о записи остаточного чле на формулы (22).
а) Показательная функция. Если /(ж) = ех, то /(0) = 1 и /^ (О ) = 1 при любом те. Поэтому формула (20) для функции ех записывается в виде
|
|
|
Of*2 |
rf* 3 |
ff* П" |
|
|
|
ж ^ 0 , |
(23) |
|
ех = 1 + ж + | г + |г + ... + ^ т +о(ж"), |
|||||||||||
или |
|
|
2 |
! |
3! |
в! |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х ^ |
0. |
|
|
|||
|
|
ех = ^ |
+ о(ж"), |
|
|
||||||
|
|
|
|
к=О |
|
|
|
|
|
|
|
б)Гиперболические |
функции. Так как |
/(ж) = |
shx — нечетная |
||||||||
функция, /( 2*+1)(ж) |
= |
dix, |
/( 2fc+1)(0) |
= |
1 |
при |
к = 0, 1 , 2,..., |
то |
|||
по формуле (22) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
5 |
|
|
|
2 п + 1 |
|
|
|
|
|
|
sh s = s + | j - + |
|j- + |
... + |
у п + \)\ |
+ °(x2n+2h |
х ^ 0 , |
(24) |
|||||
ИЛИ |
|
-IL |
~2k+1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+о(ж2”+2), |
ж ^ 0. |
|
|||||||
|
shx = |
|
— — |
|
|||||||
|
|
4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично по формуле (21) находим |
|
|
|
|
|
||||||
сЬж = |
1 + |
2 |
|
4 |
+ ... + |
2 п |
|
|
|
х —У0, |
(25) |
2! |
|
4! |
+ о(х2п+1), |
||||||||
|
|
|
|
(2п)! |
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
L |
„ 2 4 |
|
|
|
Ж—У0. |
|
|
|
сЬж = У^ 7— т + о(ж2”+1), |
|
|||||||||
|
|
|
ь а |
(2fc)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
164 |
|
Гл. IV . Производная и ее приложения |
З а м е ч а н и е |
6. Т ак как s h * = е х — е ~ х , c h * = ех + е ~ х , то форму |
|
лы (24) и |
(25) |
можно получить, используя равенство (23) и равенство |
е -х = У |
к\ |
+„(*«), ,г _* (,. |
' |
|
|
к=О
в) Тригонометрические функции. Функция /(ж) = sin* является
Н 6Ч 6Т Н 0Й ,
/( 2”+1)(ж) = sin (ж + ^ ( 2n + 1 )),
откуда
/( 2»+!)(0) = sin ( | + тт ) = С08 7ГП = (-1)".
Поэтому по формуле (22) находим |
2п+1 |
|
||
3 |
5 |
|
+ о(х2п+2), ж ^ О , (26) |
|
sin ж = ж - |
+ ( - 1 )” (2^ + |
|||
|
|
2к+1 |
+ 0(ж2п+2), ж^О . |
|
Sm x = |
Y ( ^ l ) k T4 |
к + 1 )! |
||
|
' (2 |
|
|
|
к= 0
Аналогично, /(ж) = cos ж — четная функция, ф(2пЦ0) = cos (^2п ) = = (—1 )п, и по формуле (2 1) получаем
2 |
4 |
2 п |
(27) |
совж = 1 ^ |
+ ... + |
(^1)” -^уу + о(ж2”+1), ж ^ О , |
|
ИЛИ |
п |
2к |
|
|
|
coSx = Y Y l ) k L Y + °(Ж2”+1), ж —У0.
к=О
г) Степенная функция. Пусть /(ж) = (1 + ж)а , гдеa £ R. Тогда /№(ж) = а(а —1 )...(а —(к —1))(1 + х)а~к, откуда получаем/ W (0) = = а(а —1)...(а —(к —1)). Обозначим
С° = 1 , Ск = |
a ( a ^ 1)- (“ ^ (fc^ |
1)), к £ N. |
(28) |
Тогда по формуле (20) получим |
|
|
|
|
П |
|
|
(1 + х)а = |
Y CaXk + о(хп), |
Ж^О. |
(29) |
|
к=О |
|
|
Отметим важные частные случаи формулы (29). |
|
||
1) |
1—ж |
(30) |
—' = 1 + ж + ж2 + ... + ж” + о(ж”), ж ^ О , |
|
|
|
§18. |
Формула |
Тейлора |
|
|
|
165 |
|||
или |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ L _ = у |
хк + ф |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 —• хX |
к=О' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (30) была получена другим способом в п. 2 (пример 2). |
|
|||||||||||
2) |
= 1 ^ х |
+ х 2 + ... + (~1)пх п + о(хп), |
х ^ О , |
(31) |
||||||||
ИЛИ |
|
|
п |
|
|
|
|
|
х —У0. |
|
|
|
|
—1— = У |
( - 1 )кхк + о(хп), |
|
|
|
|||||||
|
1 |
+ * |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
Логарифмическая функция. Если f(x) |
= 1п(1 + х), |
то /(0) |
= 0, |
||||||||
|
f (k){x) = |
( - ^ |
( f c - 1)! |
|
/W(Q) = |
|
_ |
1}, |
|
|||
|
|
(1 + х)К |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и по формуле (20) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1п(1 + ж) = ж |
2 |
3 |
+ ...+ |
/ |
1 чгг—1 |
|
х ^ О , |
(32) |
||||
- у + |
у |
^ - ^ |
хп + о(хп), |
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы(1 |
+ х) = у |
(- |
Чк |
|
+о(хп), х ^ О . |
|
|
||||
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя в формуле (32) х на —х, получаем |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
гг.2 |
гг. |
3 |
|
гг.П" |
+о(хп), |
|
х 0, (33) |
||
|
1п(1 - х) = -X - у |
- |
у |
- |
|
|
|
|||||
или
пк
1п(1 - х) = - Y , \ + о(хп), х -►0.
к= 1
Пр и м е р 3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точ
ки Хо = 0 до о(хп) функцию f(x), |
если: |
|
||
а) !{х) = |
0) !{х) = S T T |
|
||
в) /(а:) = In J-E-f; |
Г) JOt) = (i + 3)e-!'. |
|
||
А а) Применяя формулу (29) при а = —1, получаем |
||||
|
П |
c k -I ,9хк + о(хп), |
х ^ О , |
|
- j — |
= Y |
|||
УГ+Т |
к=О |
- 1/2 |
К |
’ |
ГД 6 |
|
|
|
|
С к = |
|
|
|
= (—1)^ 1 • 3...(2fc —1) |
_ 1 / 2 |
к\ |
2к к\ |
' |
166 |
|
|
|
Гл. IV . Производная |
и ее приложения |
|
|
|||||||||
Обозначим (2к —1)!! = |
1 • 3...(2к —1), тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||
- л |
|
= |
- |
1 + Ё М ) ‘Д г |
1)П х“ + °(1*1- |
'т ^ ° - |
(34) |
|||||||||
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (34) при п = 3 находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
= 1 ^ - ж + - ж 2 — —ж^ + о(х3), |
|
х —У0. |
(35) |
||||||||||
VI + * |
|
2 |
|
8 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
||||
б) Так как— -— |
= |
— —1 |
|
|
, то, применяя формулу (31), полу- |
|||||||||||
|
|
|
Зж + 2 |
2( 1 + | |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
П |
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— — |
= V ^ l ) * 5^ — ж* +о(хп), |
|
ж ^ О . |
|
||||||||||
|
|
3* + 2 |
к=О |
; |
2*+! |
|
V |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) Используя равенство In |
ж - 5 |
|
5 |
+ In |
1 ~ ~ |
|
|
|||||||||
|
|
= In - |
|
§- и формулу (33), |
||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ~ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l n ^ l | = l n ^ |
+ V ^ - f 4 r ^ 4 r ) |
+ о ( х п), |
х ^ О . |
|
||||||||||||
х ^ 4 |
4 |
^ |
|
к |
44* |
|
5к / |
|
|
|
J |
|
|
|||
|
|
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Так как /(ж) = же-2®+ Зе-2ж, то, применяя формулу (23), по |
||||||||||||||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
1 |
/ |
I\kcyk |
|
|
|
|
ч |
JL |
( -л\кок |
|
|
||||
/ — |
|
|
”- 1 |
|
|
|||||||||||
f ( x ) = x ( J 2 |
|
|
h |
сЧ |
|
^ - 1 |
j |
|
- |
|
ж^О, |
|||||
|
|
ж*+о(жп |
)] + |
3 ^ |
|
fc, |
ж*+о(ж"), |
|||||||||
/с=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/с=0 |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д ж ) = 3 + ^ |
( |
J |
|
g fc + ^ £ L - J |
|
|
Д |
+ о(ж” ), ж ^ О , |
||||||||
т. е. |
|
к= 1 |
|
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"( л \fc-lofc-l
|
/ ( ж ) = 3 + ^ - — — |
(к - |
6)хк + о(ж”), |
ж —У0. |
▲ |
||||||
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и м е р |
4. Разложить по формуле Маклорена до о(ж2”+1) функ |
|||||||||
цию |
|
|
|
/(ж) = cos4ж. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. |
тт |
|
|
|
9 |
1 + cos 2ж |
|
|
|||
А |
Используя равенство cos^ ж = ----- |
|
, получаем |
|
|||||||
|
cos |
4 |
ж = |
l / l , o |
о , |
1 + cos 4ж \ |
3 , 1 |
о , 1 |
1 |
||
|
|
- 1 + 2 cos 2ж Н------- - |
= |
- + |
- cos 2ж + |
- cos 4ж, |
|
||||
|
|
|
|
4 V |
|
2 |
/ |
8 |
2 |
8 |
|
откуда по формуле (27) находим
п/ i \кп2к —1
С084ж = 1 + ^ ^ ^ — (1+ 22к~2)х2к + о(ж2”+1), ж —>■0. ▲
к= 1
§18. Формула Тейлора |
167 |
За ме ч а н и е |
7. Если существует f l-n+1)(о) и известно разложение функ |
||||||
ции |
|
|
„ |
|
|
|
|
|
|
/'(*) = J 2 bkXk + о ( х п), |
|
|
|
||
f(k+l)(Q\ |
k=Q |
|
|
|
|
||
где Ьк = ---------, то |
|
|
|
|
|
|
|
к! |
|
|
|
|
|
|
|
/Ы = /( 0) + £ 7 1 ® I* + о(1 -«) = |
|
|
|
|
|||
“ |
|
= Д » ) + Ёк=0 у |
3 |
1 ‘ 1‘ + ‘’ ( 1 * " ) ’ |
|
||
т. е. |
|
п |
|
|
|
|
|
f ( x ) = f ( 0 ) + ^ 2 ]^ |
i x k+1+ o ( x n+1)., |
х -* 0. |
|
||||
|
|
&=0 |
|
|
|
|
|
Пр и м е р 5. Разложить по формуле Маклорена до о(ж2”+1) функ |
|||||||
ции: |
|
|
_____ |
|
|
|
|
а) arctg ж; |
б) arcsin ж; в) 1п(ж + л/ 1 |
+ ж2). |
|
|
|||
А а) Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arctg ж)' = Y ^ T - ’ |
|
|
|
||
то, используя формулу (31) и замечание 7, получаем |
|
||||||
|
|
П |
|
|
|
ж ® 0, |
|
—Ц |
= У ( ^ 1 )кх2к + о(х2п+1), |
|
|
||||
1 |
+ ж2 |
к=0' |
|
|
|
|
|
откуда |
|
AL |
„2fc+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж -¥ 0. |
(36) |
||
arctgж = У Д —1) ' ' — - + о(ж2”+2), |
|||||||
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
Из формулы (36) при п = 2 находим |
|
|
|
|
|||
|
arctg ж = ж —Д |
+ Д + о(ж6), |
ж -А 0. |
(37) |
|||
|
|
О |
с) |
|
|
|
|
б) Используя замечание 7, равенство (34) и формулу (arcsin ж)' =
1 |
получаем |
|
|
|
|
|
л/1 —Х : |
|
|
|
|
||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + Ё |
(2 2р^?)!!ж2"fefc! |
+ о(ж2д+1)> |
|
|
откуда |
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin ж |
ж - |
^ Ё |
Ё ) ж2*!+1 |
+ °(ж2"+2)’ х ^ 0 . |
(38) |
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
Из формулы (38) при п = 2 находим
1 |
3 |
(39) |
arcsinж = ж+ -ж 3 |
+ — ж5 + о(ж6), ж -А 0. |
168 Гл. IV . Производная и ее приложения
в) |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1п(ж + |
л/ l + |
x 2) ) 1 = |
1 |
|
|
|
то, используя замечание 7 и разложение (34), получаем |
|
|
|||||||
|
т г Ь - 1 + £ |
И |
|
> |
|
'т " ° - |
|
||
откуда |
|
к=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ы(ж + /Т У Т 3) = Ж + V" |
2 Кк \(2 к + 1) |
+ 0 (ж2 „ + 2 ) , |
|
||||||
|
|
|
|
' |
|
|
|
||
Из формулы (40) при п = 2 находим |
|
|
(40) |
||||||
|
|
|
|||||||
|
1п(ж + л/\ |
+ ж2) = ж - |
у + |
ж5 + о(ж6), ж ^ О . |
▲ |
(41) |
|||
Пр и м е р |
6. Разложить по формуле Маклорена до о(ж6) функции: |
||||||||
а) |
tgж; |
б) |
Фж. |
|
|
|
|
|
агх + |
А а) |
Функция |
tgж |
является |
нечетной, |
и поэтому |
tgж = |
|||
+ азж3 + «5ж5 + о(ж6), ж —У0, где а\ = 1 , так как tgж ~ ж при ж —¥ 0. Используя равенство sin ж = cos ж tgж и разложения (26), (27), полу чаем
ж- 1г+ S+ о(ж6) = |
+ азх3 + аъХ5+ о(ж6))О- i. + ii+ о(ж5))• |
||||||||||||
Приравнивая коэффициенты при ж3 и ж5, находим —- |
= ^ - + аз, |
||||||||||||
1 |
1 |
а3 . |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
6 |
2 |
|
5! = 4! “ |
21 |
5’ откуда аз = |
з ’ ° 5 = |
15’ и П0ЭТ0МУ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
^» з |
2 |
|
|
ж —У0. |
|
(42) |
|
|
|
|
tg ж = ж + — + — ж3 + о(ж3), |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
1a |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
Так как th ж — нечетная функция, то th ж = а±х + а^х3 + ж5 + |
|||||||||||
+ о(ж6), где ai = |
1 (Шж ~ ж при ж —1 0). Применяя формулу вЬж = |
||||||||||||
= |
сЬжЙж и используя разложения (24), (25), получаем |
|
|
||||||||||
ж + |у + |
+ |
о(ж6) = |
(ж + а3ж3 + а5ж5 + о(ж6)) (^ + |[ +^[+ о(ж5)^ , |
||||||||||
откуда,сравнивая коэффициенты при ж3 и ж5, находим аз |
=— |
= |
|||||||||||
= |
—. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
г 3 |
|
2 |
с |
о |
|
|
|
||||||
|
15 |
|
|
|
|
|
▲ |
|
(43) |
||||
|
|
|
|
Йж = ж — —+ — ж +о(ж) . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
1a |
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
8. |
Прием, использованный |
для |
нахождения разложе |
||||||||
ний (42) и (43), назы ваю т методом неопределенных коэффициентов (см. [11, |
|||||||||||||
с. 389, 390]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
З а м е ч а н и е |
9. |
Разлож ение |
функции /(ж ) по формуле Тейлора |
(16) |
||||||||
заменой х — хо = t |
обычно сводится к разложению функции g(t) = f( xo |
+ 1) |
|||||||||||
по формуле М аклорена (20).
§18. Формула Тейлора |
169 |
П р и м е р |
7. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки |
||||||||
ж0 = - 2 |
до о((ж + 2)”) функцию /(ж) = —— —. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
х 1 + Ъх |
|
|
А Так |
как |
/(ж) |
= - I -------------), |
то, полагая ж = |
t —2, |
получаем |
|||
|
|
|
5 |
\ х |
х |
5 / |
|
|
|
Лх) = 9(0 = К |
г Ь - г Ь ) |
= ^ |
“ <Г А Т у “ 1(ГТТГ 1 • Пр‘" |
||||||
меняя формулы (30) и (31), находим |
|
|
|||||||
|
|
|
|
_ |
\к+1 |
|
|
|
|
|
|
|
V5 • ? |
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\&+ 1 |
|
|
|
|
|
—2- А |
f ( x) = E { |
i^ |
^ |
^ |
) ( |
x + 2)k + 0((x + 2'r h |
х |
|||
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
Рассмотрим предел при ж —^ 0 отношения |
/(ж) |
) : , где /(0) = <?(0) = 0, |
|
т. е. предел типа -0. |
У\х ) |
|
|
Будем предполагать, что |
|
/ ( 0) = / '( 0) =... = f in- v (0) = |
о, /(")(0) # 0. |
Тогда разложение функции / по формуле Маклорена (20) имеет вид
|
/(ж) = аж” + о(ж”), |
ж —1 0, |
|
где |
а ф 0. |
(44) |
|||
Аналогично, предполагая, что |
|
|
|
|
|
||||
д{0) = р'(0) = - |
= 5 (го- 1}(0) = 0, |
д{т){0) # |
0, |
||||||
по формуле (20) находим |
|
|
|
|
|
|
|
||
р(ж) = Ьхт + о(хт), |
х —1 0, |
|
где |
Ь ф 0. |
|
||||
Из равенств (44) и (45) следует, что |
|
|
|
|
|||||
|
|
/(ж ) _ |
а х п + о(х п ) |
ж |
—1 0. |
|
|
||
|
|
д(х) |
Ьхт + о(х т ) ' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f (х') |
(X |
|
|
|
|
f (х') |
|
Если то = те, то lim iAA = |
Ь |
Если п > то, то lim iAA = Q- если же |
|||||||
|
ж-Ю р(ж) |
|
|
|
ж-Ю р(ж) |
|
|||
г |
/(*) |
= оо. |
|
|
|
|
|
|
|
те < то, то lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж-»о р(ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|