Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

4. П ривести пример функции, непрерывной на отрезке [а, Ъ], дифферен­ цируемой на интервале (а, Ъ) и не имеющ ей правой производной в точке а.

имеющей локальный экстрем ум в точке хо € (а, Ъ) и такой, что ее произ­ водная в любой окрестности точки хо принимает как положительные, так и отрицательны е значения.

8 . П оказать, что для функции f ( x ) = х 2sin — при х ф 0, /(0 ) = 0:

х

а) точка х = 0 не является ни точкой экстрем ум а, ни точкой возраста­ ния или убывания;

ки х = 0.

9. П оказать, что ф ункция f ( x ) = х 2 ^2 + cos —^ при х ф 0, /(0 ) = 0 имеет

строгий м иним ум в точке х = 0, но не является убываю щ ей в интервале (—5,0) и не является возрастаю щ ей в интервале (0,5) при любом 8 > 0.

10. П оказать, что если ф ункция f(x) непреры вна на отрезке [а,Ъ], то она является выпуклой вверх на этом отрезке тогда и только тогда, когда для

с минуса на плюс при переходе через точку хо. Д оказать, что на интервалах

функции f ( x ) , а если п — четное число, то в окрестности точки хо ф унк­

что найдется точка хо такая, что f " ( x 0) = 0.

ма на интервале (а,Ь), где а > 0. Д оказать, что сущ ествует точка £ € (а,Ь) такая, что

тт - ы

а—о

19. П усть ф ункция /( * ) непрерывна на отрезке [0,1], дифференцируема на интервале (0,1) и удовлетворяет условиям /(0 ) = 5, /(1 ) = 3, f'(x) ^ —2 для всех х € (0,1). Д оказать, что /( * ) — линейная на отрезке [0,1] функция.

20. П усть ф ункция f(x) удовлетворяет на R условиям f(x) > 0, f'(x) >

> 0, Д 2*(х ) > 0, Д 3*(х) > 0. Д оказать, что сущ ествует число а > 0 такое, что при любом х > 0 справедливо неравенство f(x) > ах2.

21. Д оказать, что нормаль к эвольвенте в точке Р является касательной к эволю те в центре кривизны , соответствую щ ем точке Р.

22. П оказать, что если кручение x(s) = 0 во всех точка* кривой Г, то Г — плоская кривая.

ГЛАВА V

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§23. Пространство Rn

1.Метрическое пространство. Будем множество X называть

метрическим пространством, если каждой паре элементов х и у этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число р(х,у), называемое расстоянием между элементами х и у, такое, что для любых элементов х, у, z множества X выполнены следующие условия:

Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию р(х,у), определенную на множестве пар точек метрическо­ го пространства X , р — метрикой, а условия 1°)-3°) — аксиомами метрики.

Например, определяя расстояние между вещественными числа­ ми а и (3 при помощи формулы р(а, (3) = \(3 — а\, получаем метри­ ческое пространство, которое обозначается через R.

Рассмотрим множество пар вещественных чисел х = (xi, Х2). Если х = (xi,X2 ), а у = (г/i,г/2), то полагая

р(х, у) = ((Ж1 - t/i)2 + (х2 ~ у2)2)1/2,

получаем метрическое пространство, которое обозначается через RA Для проверки аксиом 1°)-3°) воспользуемся тем, что между мно­ жеством точек евклидовой плоскости и множеством пар веществен­ ных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответ­ ствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координа­ тами точек). При такой геометрической интерпретации пространст­ ва Я" доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.

На одном и том же множестве можно различными способами опре­ делять расстояние между элементами и получать тем самым раз­ личные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и сле­

ную систему координат, то между этим пространством и простран­ ством Я3 устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства Я3. Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в Я2.

2.Метрическое пространство Яп. Точками пространства Я”

Свойства 1°) и 2°) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее про­ верить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши

справедливое для любых вещественных чисел ai, bi, ..., аП1 bn.

Упражнение 2. Доказать неравенства

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, ис­ пользуется только метрическое пространство Rn. Но те свойства пространства Rn, при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного мет­ рического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательст­ ва будут проводиться для произвольного метрического пространства.

3. Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве. Пусть {ж^} — последовательность точек метричес­ кого пространства X . Говорят, что последовательность точек {ж^}

сходится к точке а (имеет предел а) и пишут lim ж ^ = а, если

к-* ОО

lim р(х^к\а) = 0. Последовательность точек {ж^} называется огра-

к-Доо

ниченной, если ЗС £ R и За £ X такие, что для любого к £ N выпол­ нено неравенство р(х^к\а) С.

Докажем несколько простых свойств сходящихся последователь­

ника для любого к £ N выполнено неравенство

0 «Ср(а,Ь) «Ср(а,х(к)) + р(х(к],Ь).

Так как числовые последовательности р(а,х(к)) и р(х^к\Ь) беско­ нечно малые, то р(а, Ъ) = 0. Поэтому а = Ъ. •

Шаром радиуса г с центром в точке а £ X будем называть сле­ дующее множество точек метрического пространства X:

Sr(a) = {ж: ж £ X, р(х,а) < г}.

Упражнение 3. Доказать, что для сходимости последовательности точек метрического пространства к точке а необходимо и достаточно, что­

бы любой шар Sr(a) содержал все точки последовательности {ж^Д, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Л е м м а 3. Для того чтобы последовательность точек {ж^}

метрического пространства Я”, где ж ^ = (х[к\ ..., xffi), сходилась к

226 Гл. V. Функции многих переменных

пределу а = (ai,..., ап), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

Обратное утверждение для произвольного метрического прост­ ранства неверно. Фундаментальная последовательность может и не быть сходящейся.

Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится.

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности пространство R вещественных чисел полное.

Те о р е м а 1. Пространство Rn полное.

ОПусть {ж«} — фундаментальная последовательность точек в Rn.

то числовые последовательности {ж,-*'*} фундаментальны при i = 1 ,п. В самом деле, Ve > 0 3 N такое, что для любых к. то iy Л" выполнено неравенство р(х^к\х ^т'1) < е . Но

\х(к) - жгМ I «Ср{х(к), х (т) ) < £ , i = Его.

Числовая последовательность {ж-^} в силу критерия Коши являет­ ся сходящейся при i = 1, п. По лемме 3 сходится и последовательность точек { х ^ } в Rn. •

4. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве. Шар радиуса г с центром в точке а определяется как множество Sr(a) = {ж: х е X, р(х,а) < г}.

Шар в R есть интервал (а —г, а + г), шар в R2 — круг (х\ —ад)2 + + (х2 —Q-2)2 < г2, шар в /?п — множество

3 5е(ж°) С М, т. е. точка ж принадлежит множеству М вместе с не­ которым шаром с центром в точке х. Совокупность всех внутренних точек множества М называется его внутренностью и обозначается int М. Очевидно, что int М С М. Если int М = М, т. е. все точки множества М внутренние, то множество М называется открытым в метрическом пространстве X . Пустое множество считается откры­ тым по определению.

Пр и ме р 1. Шар в метрическом пространстве — открытое мно­ жество.

Д Действительно, пусть

х Е S£(x), то р(х,х) < £. В силу неравенства тре­ угольника получаем

р(х, а) ^ р(х, ж) + р(х, а) < е + р(х, а) =

— С —р(ж, а) + р{ж, а) = С.

Следовательно, ж Е Sc (а)- Так как ж — про­ извольная точка шара S£(ж), то 5е(ж) С Sc (а). Итак, любая точка ж шара Sc (а) принадлежит ему вместе с некоторым шаром S£(ж). Поэтому Sc (а) есть открытое множество. А

Т е о р е м а 2. Открытые множества в метрическом пространст­ ве обладают следующими свойствами:

1 ) все пространство X и пустое множество 0 — открытые множества;

2) объединение любого множества открытых множеств — откры­ тое множество;

3) пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.

228 Гл. V. Функции многих переменных

О Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть G = (J Ga,

a G А

где Ga — открытые множества. Пусть точка об G. Тогда существует а € А такое, что a € Gy. Но множество Gy открытое. Поэтому сущест­ вует шар Se(a) С Ga- Тем более, Se(a) С G. Итак, а — внутренняя точка множества G. В силу произвольности точки а множество G

открытое.

П

Докажем 3). Пусть G = f) G,, где G, — открытые множества. г=1

Возьмем любую точку a € G. Тогда a € G, при i = 1,п. Так как множества G, открытые, то существуют шары Se.(a) С Gi- Пусть

е = min £j. Тогда Se(a) С Gi, i = 1 ,ri. Поэтому

и, следовательно, G есть открытое множество. •

У п р а ж н е н и е 4. П оказать, что пересечение бесконечного множ ества откры ты х множеств может не бы ть откры ты м множеством.

5. Предельные точки. Зам кнуты е множества. Пусть X — метрическое пространство. Окрестностью точки х° G X будем назы­ вать любое множество 0 (х°), для которого точка х° является внут­ ренней. Например, шар Se(x°) является окрестностью (шаровой) точки х°.

Точка х° называется предельной точкой множества М С X , если в любой окрестности точки х° есть точки множества М, отличные от точки х°. Предельная точка множества М может принадлежать множеству М , а может и не принадлежать. Например, все точки ин­ тервала (а, Ъ) будут его предельными точками. Концы интервала а и Ъ— тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества М, не являющаяся предельной точкой множест­ ва М, называется изолированной точкой множества М. Если х° есть изолированная точка множества М, то существует такая окрестность 0 (х°), в которой нет точек множества М, отличных от точки х°. Каждая точка множества М является или предельной точкой мно­ жества М, или изолированной точкой множества М.

Множество М С X называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [а, Ь] замкнут в Я, а ин­ тервал (а, Ъ) не является замкнутым множеством в R.

Множество, которое получается, если присоединить к множест­ ву М все его предельные точки, называется замыканием М и обозна­ чается М.

ве зам кнуто тогда и только тогда, когда оно содерж ит пределы всех сходя­ щихся последовательностей своих точек.

Т е о р е м а 3. Для того чтобы множество F в метрическом прост­ ранстве X было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его до­ полнение X \ F было открытым.

О Не о б х о д и мо с т ь . Пусть множество F С X содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение G = X \ F есть от­ крытое множество. Если это не так, то существует точка a € G, не являющаяся внутренней точкой множества G. Тогда в любой окрест­ ности 0(a) точки а есть точки, не принадлежащие G, т. е. принад­ лежащие множеству F. Поэтому а есть предельная точка множест­ ва F. Так как F замкнуто, то a € F. С другой стороны, a € G = X \ F и, следовательно, а F . Полученное противоречие доказывает, что все точки G = X \ F внутренние, т. е. G — открытое множество.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть теперь X \ F = G — открытое мно­ жество. Покажем, что F замкнуто. Пусть а — предельная точка F. Предположим, что а F . Тогда a € G, а так как G — открытое мно­ жество, то найдется окрестность 0(a) С G. Но тогда 0(a) f) F = 0 , следовательно, а не может быть предельной точкой множества F. Поэтому множество F содержит все свои предельные точки, т. е. F замкнуто. •

Т е о р е м а 4. Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

1 ) все пространство X и пустое множество 0 замкнуты-,

2) пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто-, 3) объединение конечного числа замкнутых множеств есть замк­

а€ Л

Всилу закона двойственности (легко проверяемого)

X \ F = (J ( X \ F a).

а € Л

Однако в силу теоремы 3 множества X \ Fa открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение X \ F есть открытое множест­ во. В силу той же теоремы 3 множество F замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). •

6. Компакт в метрическом пространстве. Множество М в

метрическом пространстве X называется компактом в X , если из любой последовательности точек хп € М можно выделить подпосле­ довательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству М. Например, отрезок [а, Ь] есть компакт в Я, а промежуток [а, Ь) не яв­ ляется компактом в R.

Упражнение 7. Доказать, что неограниченное множество в метри­ ческом пространстве не может быть компактом.