Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

|г(/?) —г(а)|2 ^ |г(/?) —г(а)| • |г'(£)|(/3 —а),

откуда, разделив обе части неравенства на |г(/3) —г(а)| > 0, получим неравенство (26). •

Замечание 2. Для вектор-функции г(t) справедлива локальная фор­ мула Тейлора

п(к) /j. \

доказательства формулы (29) достаточно воспользоваться локальной фор­ мулой Тейлора для компонент вектор-функции г(t).

§22. Кривые

1.Понятие простой кривой. Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат Oxyz, и пусть на отрез­

ке [а,(3\ заданы непрерывные функции х = x(t), у = y(t), z = z(t).

Тогда говорят, что задано непрерывное отображение от­

О Й = г (t) = (x(t), y(t), z(t)).

Если считать, что переменное t есть время, то уравнения

определяют закон движения точки M(t), а множество точек M(t), соответствующих всевозможным значениям t из отрезка [а,/3], мож­ но рассматривать как след (путь) точки, движущейся по закону (1 ).

Предположим, что любым двум различным значениям t\ и t-2 из отрезка [а, (3\ соответствуют различные точки M (t\) и M fa ) про­ странства, и обозначим через К множество всех точек М(х, у, z) пространства, координаты которых определяются формулами (1 ).

Будем говорить, что точка M fe ) £ К следует за точкой M (t\) £ £ К или точка М (ti ) предшествует точке М (^), если а ^ t\ < t-2 ^ (3.

Введенное правило следования точек устанавливает порядок на мно­ жестве К. Упорядоченное указанным способом множество К будем называть простой кривой Г и записывать уравнение этой кривой либо в координатной форме

Условимся переменное t в уравнениях (2), (3) называть параметром кривой Г. Точки М(а) и М((3), соответствующие значениям а и (3 параметра кривой Г, будем называть начальной точкой (началом) кривой и конечной точкой (концом) кривой.

Согласно определению простой кривой отображение (1) являет­ ся взаимно однозначным: каждому значению t £ [а, (3\ соответствует единственная точка М (t) £ Г, и наоборот, каждой точке М £ Г соот­

Обычно в этом случае опускают уравнение z = Он записывают урав­ нение кривой в виде

Например, уравнением

Г = {х = Rcost, у = Rsint, 0 ^ t ^ 7г},

где R > 0, задается полуокружность радиуса R, лежащая в верхней полуплоскости (у ^ 0) и “пробегаемая” против часовой стрелки. Гра­ фик функции у = f(x), непрерывной на отрезке [а, (3\, можно рассмат­ ривать как простую плоскую кривую Г, заданную уравнением

Г = {х = t, у = f(t), a ^ t ^ / 3 } .

2. П араметризуемые кривые. Если существуют два различ­ ных значения t\ и t-2 из отрезка [а,(3\ таких, что M(t\) = M (t2), то отображение (1 ) отрезка в трехмерное пространство не является вза­ имно однозначным.

Предположим, что отрезок [а,(3\ можно разбить на отрезки А*, =

является взаимно однозначным и, следовательно, определяет простую кривую

Т к = { х = x ( t ) , у = y ( t ) , г = z ( t ) , t G А к }.

Тогда будем говорить, что уравнения (2) задают параметризуемую кривую Г или что кривая Г параметризована при помощи уравне­ ний (2), где под кривой Г понимают упорядоченную совокупность (Fi, ...,Г„) простых кривых таких, что конечная точка кривой Г*, сов­ падает с начальной точкой кривой Гfc+i, к = 1,п —1. В этом случае

пишут Г = Г1Г2...Г„, а каждую из кривых Г*, называют частью кривой Г или простой дугой кривой Г.

З а м е ч а н и е 2. Одна и та же кривая Г мож ет быть параметризована различным и способами. Мы будем рассм атривать только такие парамет­ ризации, которые получаю тся из данной параметризации (2) путем пред­ ставления парам етра t в виде непрерывной строго возрастаю щ ей функции другого параметра.

Это означает, что если наряду с представлением кривой Г через пара­ метр t уравнением (3) эта кривая представлена через параметр s уравне­ нием

то должно вы полняться условие: s = s(t) — непрерывная строго возраста­ ю щ ая ф ункция на отрезке [а, /3], причем

В этом случае на отрезке [ai,/3i] определена непрерывная и строго воз­ растаю щ ая ф ункция t = t(s), обратная к функции s = s(t), и для всех s G [ai,/3i] выполняется равенство

Пусть параметризуемая кривая Г задана уравнением (3), и пусть

= ж(£2), У\ = y(ti) = 2/(^2), ^1 = z(ti) = z(£2), является точкой само­ пересечения (кратной точкой) кривой Г.

Если равенство r(£i) = г(£2) выполняется при t\ = а, £2 = /3, то кривую Г называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, отличных от точки Mi (х (а), у (a), z (а)), бу­ дем называть простым контуром.

Например, кривая

Г = {х = cost, у = sin£, 0 ^ £ ^ 27г}

является простым контуром. При изменении £ от 0 до 27т точка M(cos£,sin£) “описывает” единичную окружность, двигаясь против часовой стрелки. Точка плоскости Оху с координатами (1,0) являет­ ся одновременно начальной и конечной точкой кривой Г.

сательной к кривой F в точке М0.

У т в е р ж д е н и е 1. Если г '(to) ф 0, то существует касательная к кривой Г в точке MQ, и уравнение этой касательной можно записать в виде

а в канонической форме уравнение касательной записывается в виде

4. Понятие гладкой кривой. Пусть кривая Г задана уравнени­ ем (3), где r(t) — дифференцируемая на отрезке [ск, /3] функция, тогда говорят, что Г — дифференцируемая кривая.

Если г'(to) ф 0, то точку Мо € Г, где оШо = r(to), называют не­ особой точкой кривой Е; если же г'(to) = 0, то говорят, что MQ — особая точка кривой Е.

Пусть г(t) = (x(t),y(t),z(tj), тогда r'(t0) = (х'(t0), у'(t0), z'(t0j), и

поэтому точка Мо является неособой точкой кривой Е тогда и только тогда, когда (х'фо))2 + (y'(tо))2 + (z'(to))2 > 0. Из определения неосо­ бой точки и утверждения 1 следует, что во всякой неособой точке кривой Е существует касательная.

Если функция r'(t) непрерывна на отрезке [ск, /3], то будем гово­ рить, что кривая Е, заданная уравнением (3), непрерывно дифферен­ цируема.

Условимся называть кривую гладкой, если она является непрерыв­ но дифференцируемой и не имеет особых точек. Следовательно, кри­ вая Е, заданная уравнением (3), является гладкой, если функция г'(t) непрерывна и r'(t) ф 0 при всех t € [ск, /3]. Если кривая составлена из конечного числа гладких кривых, то такую кривую будем называть

кусочно гладкой.

см атриваю тся функции s(t), непрерывно дифференцируемые и такие, что s'(t) > 0.

В этом случае на отрезке [ск, /3] определена непрерывно дифференциру­ емая ф ункция t = t(s), обратная к функции s = s(t), причем t'(s) > 0 и вы полняется равенство (6).

Набор точек tk будем называть разбиением отрезка [а,(3\ и обозна­ чать Т = {tk, к = 0,гг}, а соответствующий набор точек М к = M (tk),

ной 2?п.

Так как длина к-го звена ломаной ^ п, т. е. длина отрезка Мк- \М к^

равна \r(tk) —r(tk~i)\, то длина ап ломаной 2?п равна

п

Если существует точная верхняя грань множества длин ломаных, вписанных в кривую Г, то эта грань называется длиной кривой Г. Кривая, имеющая длину, называется спрямляемой.

У т в е р ж д е н и е 2. Если спрямляемая кривая Г точкой М' разби­

О Пусть Р' и Р" — произвольные ломаные, вписанные соответствен­ но в Ti и Г2, тогда Р = Р 'Р " — ломаная, вписанная в Г, причем

где сг, сг',сг" — длины ломаных Р, Р' и Р"соответственно. Так как Г — спрямляемая кривая, то сг ^ S, и поэтому

<т; ^ S, <т" ^ S.

По теореме о точной верхней грани существуют super', super", т. е.

и Гз — спрямляемые кривые. Из равенства (13) следует, что o' + а" ^ S, и поэтому sup(<r' + а") = super' + super" ^ S, т. е.

Докажем, что в (14) вместо знака неравенства можно поставить знак равенства. Предположим противное, т. е. допустим, что Si + S2 < S. Обозначим Sq = S —(Si + S2), тогда £о > 0.

По определению точной верхней грани для заданного числа £о > > 0 можно указать такую ломаную Рп, вписанную в кривую Г, что S < ап + Sq. Пусть кривая Г задана уравнением (3). Будем считать, что вершины М к (к = 0, те) ломаной Рп соответствуют разбиению Т отрезка [а,(3\, указанному выше, а общая точка М ' кривых IS и Г2 соответствует значению параметра t1 € [tk- i , t k], где к — одно из

чисел 1, 2, ..., те.

Рассмотрим ломаную Р , полученную из ломаной Рп заменой звена Mk-iMk двумя звеньями Мк- \М ' и М 'М к (остальные звенья этих ломаных совпадают). Так как длина отрезка Мк- \М к не превосходит суммы длин отрезков Мк- \М ' и М 'М к, то ап V сг, где а — длина ломаной Р , ап — длина ломаной Рп.

Заметим, что ломаная Р составлена из ломаных Р' и Р ", вписан­ ных соответственно в кривые Pi и Г2. Поэтому

Упражнение 1. Доказать, что кривая Г, составленная из спрямля­ емых кривых Г1 и Гг, спрямляемая, причем выполняется равенство (12).

Упражнение 2. Доказать, что длина кривой Г не зависит от ее пара­ метризации.

Т е о р е м а 1. Если кривая Г, заданная уравнением (3), непрерывно дифференцируема, то она спрямляемая, а для ее длины S справедливо неравенство

О Пусть Т = {tk, к = 0,те} — разбиение отрезка [а,(3\. По теореме Лагранжа для вектор-функции получаем

Из непрерывности вектор-функции r'(t) на отрезке [ск, /3] следует не-

В качестве С можно в силу теоремы Вейерштрасса взять число (17)

Так как |г'(т^)| ^ С , то из (11) и (16) следует, что

п

C (tk ~ * * - 0 = С (@~

к= 1

где число С определяется формулой (17). Итак, множество длин лома­ ных, вписанных в Г, ограничено сверху, от­ куда по теореме о точной верхней грани следует, что Г — спрямляемая кривая, и выполняется неравенство (15). •

цируема, и пусть s(t) — длина той части кривой Г, которая соответствует измене­ нию параметра от а до t.

О Пусть t0 + At Е [a, P], Mq и M — точки

кривой Г, соответствующие значениям to и to + At параметра кривой (рис. 22.4). Тогда длина дуги MQM равна |As|, где

Следовательно, неравенство (21) можно записать в виде

Функция r'(t) непрерывна на отрезке [а,/3], и поэтому функция |г'(£)| также непрерывна на этом отрезке. Согласно теореме Вейерштрасса

существует точка £ € Р такая, что max|r'(£)| = |г'(£)|. tEP

Пусть A t 0, тогда |г'(£)| —^ |г'(^о)| в силу непрерывности функ­ ции |г'(£)| при t = to. Поэтому правая часть неравенства (22) имеет при A t 0 предел, равный |г'(£о)|-

Кроме того, по определению производной вектор-функции сущест-

= |г'(£о)|, т. е. справедливо равенство (18). Таким образом, доказано, что переменная длина дуги непрерывно дифференцируемой кривой Г, т. е. функция s(t), дифференцируема на отрезке [ск,/3] и выполняется равенство

ная уравнением (3), является гладкой. Тогда функция r'(t) непрерыв­ на на отрезке [а, (3\, г'(t) ф 0, и поэтому |г'(£)| > 0. Из равенства (23)

следует, что — > 0 для всех t € [си,/3]. Поэтому непрерывно диф­

ференцируемая функция s = s(t) является строго возрастающей. По теореме об обратной функции на отрезке [0, S], где S — длина кри­ вой Г, определена функция t = t(s), причем t(s) — непрерывно диф­ ференцируемая строго возрастающая функция и

= W ) > °-

Таким образом, функция t = t(s) является допустимым преоб­ разованием параметра (замечания 3, 4), и уравнение кривой Г можно записать в виде

г = г (t(s)), 0 ^ s ^ S.

Если параметром кривой Г является переменная длина ее дуги s, то s называют натуральным параметром, а уравнение кривой Г

где a > 0, b > 0.

Д Кривая Г является гладкой, так как вектор-функция г(t) = (acost, asint, bt) непрерывно дифференцируема и

|r'(t)| = д / (—a sin t)2 + (a cos t)2 + b2 = л / а2 + Ь2 > 0.

По формуле (23) находим

откуда заключаем (§ 17, следствие 2 из теоремы Лагранжа), что

О В самом деле, из формулы (23) при t = s следует равенство (25). •

вектор г '(to) параллелен касательной к кривой Г в точке М0. Пусть М — произвольная точка нормальной плоскости & (рис. 22.5),

ой = г. Тогда вектор Мл10 = г —r(to) перпендикулярен вектору