Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

170

Гл. IV . Производная и ее приложения

П р и м е р

8. Найти lim ----------

ж-»о sin* —sh*

А

Используя формулы (24),

(26), (31) и(42), получаем

tg х —

*

* 3

,,

9,

/ Ч,

4

Q

,

Q.

1-- 2 =

Х + ~о---- ж(1 —х")+ о(х ) =

- х + о(х

)

1 + * 2

/ 3^

1

*

/

, * \ ,

я:

,

/ ЗЛ

sm х — sh

х = х — -—

ж + —

+ о ( ж) = —— +

о ( х '

о ч

о I

3

Следовательно, искомый предел равен —4. ▲

Пр и м е р

9. Найти lim е(1

+ х У 1/х - 1

x-t-О

х

А

Воспользуемся равенством

(1+ ж )-1/® =

1п(1+*). По фор­

муле (32) получаема(

——1п(1 + ж) = —1 + ^ + о(х). Используя форму-

лу (23), находим

е(1 + х ) - 1/х -

1 =

е • е - 1+х' 2+о(-х)

-

1 =

ех/2+о{х) -

1 = | + о(ж).

Поэтому искомый предел равен i . ▲

Пр и м е р

10. Найти

r

ln(* + V I +

* 2) +

;

1

- ch (V 3*)

V

'

V I+ 2*

lim ----------------

— !------------------ .

х ^ О

t h x —X COS X

А

Пусть f ( x )

и д(х)

— соответственно числитель и знаменатель дро­

би. Тогда, используя формулы (43) и (27), получаем

д(х) =

* -

—

+ о(ж 4 ) - х ( 1 -

—

+

о(ж 3 )')

=

—

+

о(ж 4 ).

3

\

2 /

6

Поэтому числитель f ( x )

следует разложить до о( х 3). Применяя фор­

мулы (41), (35) и (25), находим

f ( x ) = * - ^ + о(ж 3 ) +

( l - ж +

|

ж2 -

| ж3 + о(ж3 ) ) -

-

( l

+ |

ж2 + о ( ж3) ) = ~ ж3 + о(ж3).

предела при х -А

Жо функции

(1 + f(x))9^x\ где f(x) —1 0 и д(х) —1

-А оо при х -А Хо-

Если Хо = 0

и разложение функции / по формуле

§19. Правило Лопиталя

173

^

°

+0 9{Х)

lim

f i x )

f'(x )

(5)

Ц Ц =

lim Ц Ц .

х - > а+ о g ( x )

х - >а +о g ' { x )

О Пусть

х

€ (а, Ь). Доопределим

функции f(x) и д(х)

в точке а,

полагая

/(а) = д(а) = 0.

(6)

Тогда из условий (2) и (6) следует, что функции f u g

непрерывны

f(x) = Дж) - f{a) = /'(£)

(7)

д(х)

д(х)-д(а)

д'(0

'

[ J

Если

х

а + 0, то £ ^ а

+ 0,

и

в

силу условия

(4)

существует

lim

/'(Л

= А. Поэтому из равенства

(7) следует, что справедли-

X

s -ю + о

д (С)

во утверждение (5). •

З а м е ч а н и е

1. Доказанная теорем а (с соответствую щ им и изменения­

ми ее условий) остается справедливой при

х —¥ а — 0

и х

—¥ а,

где

а —

конечная точка.

Э та теорем а остается

в

силе и для

случая, когда

а =

+оо

(или

а =

= —оо), если

lim

f ( x )

=

lim д(х) = 0, д'(х) ф 0 при х > хо и сущ ествует

х—*+оо

х—*+оо

lim

f ' ( x )

=

.

и в этом

случае

. .

f i x )

.

Д оказательство этого

;

л ;

lim

;

: =

А.

ж->+оо

д (х)

ж->+оо д(х)

1

утверж дения, основанное на использовании

замены

переменного х = — и

теоремы 1, содерж ится, например, в [2, т. 1, § 12, теорем а 3].

2.

Неопределенность вида —.

Т е о р е м а

2.

Пусть функции /(ж) и д(х)

дифференцируемы

при

х > а, причем д'(х) ф 0 при х > а,

lim /(ж) = оо,

lim

д(х) = оо

(8)

X —> +

СЮ

X —> + СЮ

и существует конечный

Ит

1 Ш

= А.

(9)

х—^-f”Oo д (х)

Тогда существует

lim

, равный А, т. е.

Г

/(*)

=

1-

f'(X)

(1 ПА

lim

-фф

lim

д'(х)

(10)

х ^ + о о д(х)

х^ +о о

О Из условий (8) следует, что

Нп|

> а:

Уж > а\ -А |/(ж)| > 1,

\д(х)\

> 1,

(1 1)

174

Гл. IV . Производная и ее приложения

А - £ < t n < А + -

(12)

л

2

g'{t)

2

'

fix 0)

< 1

,

gix0)

< 1

(13)

fix)

2

’

5(ж)

2

ществует 8 такое, что при всех х > 8 выполняется неравенство

А - £ < Щ < А + £.

(14)

f(x) - /(ж0) _

/'(£)

(15)

д(х) -

д(хо)

д’ (0 '

Преобразуем левую

часть

равенства

(15), используя условия

(11)

и (13):

fix) -

/(ж0) _

f(x)

( ф ) ) - \

(16)

где

д(х) -

д(хо)

д(х)

0( ,

( ) _ 1-9(хо)/д(х)

_

iP[X)-

l - f f(xo0)/f(x)x ) - ~L + P(X)-

^

Заметим, что /3((5{х) -—+>0 при Xх -—+> +0оо0 в силу Лусловий (8). Поэтому

Vs > 0

38 ^

82 :

Vx > 8 -+ \(3(х)\

<

{ щ

Щ Т Ф -

§19. Правило Лопиталя

175

( а - 1 ) (1 + т ) <

< ( л + 1 ) (i + т ) .

(20)

Используя неравенство (18), получаем

(-* - § ) ( ! + /В Д ) = Л - § + (.4

-

0 .3 ( 1 ) 3

> Л - | - ( И + | ) \ т \ > А - \ ~ \ = А - е .

Аналогично находим

(л + | ) (1 + (3(х)) «СЛ +

|

+ (|Л| + | ) Щх)\ < А + е.

З а м е ч а н и е

3. Согласно теорем ам 1 и 2 правило Л опиталя служ ит

для раскры тия неопределенностей вида -

или — . Неопределенности видов

О

оо

О • оо ,

о о — о о , 0°,

оо °, 1°° часто удается

свести и к неопределенностям

О

оо

типа -

или — с помощью различных преобразовании.

lim

= 0, если а > 0.

Um * ££=

Пт

lim

—

= 0.

▲

1г->+ос ха

1г->+ос аха 1

1г->+ос

аха

Пр и м е р

3. Найти

lim

х а In х, где а > 0.

х—^Н~0

ОО

А Преобразуя неопределенность вида 0 • оо к виду — и применяя

правило Лопиталя, получаем

00

lim х а In х = lim

=

lim

1^Х „ = —

lim

ха = 0. ▲

ж-н-о

ж-»+о х~а

ж-»+о —a*_sa+1i

а

ж-»+о

Пр и м е р

4. Доказать, что

lim

Х^~

а > 0,

а >

1 .

— = 0, если

х^+оо ах

§20. Исследование функций с помощью производных

177

/(Ж ) - /(Ж 0) > 0

. д .

Ж — Жо

"

Так как левая часть (3) имеет при ж -А Жо предел, равный / '( жо), то из

неравенства (3) по свойству сохранения знака нестрогого неравенства

при предельном переходе получаем

/ '( жо) ^ 0

для любого жо € (а,Ь).

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Пусть выполняется условие (1) и пусть

х±,

Ж2 — произвольные точки интервала (а,Ь), причем Жг < Ж2- Применяя

к функции /(ж) на отрезке [жг,Ж2] теорему Лагранжа, получаем

/ ( ж2) - /(жг) =

/'(С)(ж2 - Жг),

где /'(£)

^ 0, так как £ € (а, Ь). Отсюда следует, что

Ужг,Ж2 € (а,Ь):

Ж2 > Х\ —¥ /(жг) ^ f(xi).

(4)

Это означает, что функция /(ж) является возрастающей на интерва­

ле (а, Ь). •

условие строгого возрастания (убывания) функ­

б)

Достаточное

ции.

Т е о р е м а 2. Если для всех ж € (а, Ь) выполняется условие

/'(ж)

> 0,

(5)

то функция /(ж) строго возрастает на интервале (а,Ь), а если для

есеж ж €

(а, Ь) справедливо неравенство

/'(ж)

< 0,

(6)

по теореме 2

СП2Ж

функции вЬж и Л ж являются строго возрастающими

на R. ▲

§20. Исследование функций с помощью производных

179

fix) —fixci)

—ф'(хЛ <

для всех х £ Us(xo) выполняется неравенство ELJ.— ±А—1

х — Х о

у

=

х2,

у= х3(рис. 9.8), у = |ж| (рис. 14.4),

у = la) 1/2(рис. 14.6),

у

=

у/х

(рис.14.5), причем для функций у

= х2, у = |ж|, у = |ж|3/2

если

(11)

35 > 0 : Уж G US (XQ) ->■ /(ж) < / ( ж0).

3(5 > 0 : Уж € US (XQ) ->■ /(ж) > / ( ж0).

(1 2)