Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

пространства Rn можно выделить сходящуюся подпоследователь­ ность точек.

О Ограничимся случаем пространства ЯУ В общем случае доказа­ тельство аналогично. Пусть ж ^ = (х[к\ х ^ ) — произвольная огра­ ниченная последовательность точек пространства Я2. Числовая

последовательность {ж^} ограничена. В силу теоремы БольцаноВейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследователь­

ность {ж^г"*')}. Тогда у последовательности точек х^кт^ последова­ тельность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейер- штрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности

{жз*"1'*} сходящуюся подпоследовательность {х^"'1'1}. У последова­ тельности точек {ж^т ^} сходится и последовательность первых ко­ ординат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек {ж^т ^} сходится в Я2. •

Следствие . Для того чтобы множество М С Я” было компак­ том, необходимо и достаточно, чтобы множество М было ограни­ ченным и замкнутым.

О Необходимость следует из результатов упр. 7 и 8. Докажем доста­ точность. Пусть множество М ограничено и замкнуто в пространст­ ве Я”. Возьмем произвольную последовательность точек {ж^} £ М. Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выде­ лить подпоследовательность {ж^"*')}, сходящуюся к точке а. В силу замкнутости множества М точка а £ М (см. упр. 6). •

Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приво­ дится; для случая Я” см., например, [2].

Л е м м а (Гейне-Бореля). Для того чтобы множество М в мет­ рическом пространстве X было компактом, необходимо и достаточ­ но, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке лем­ мы Гейне-Бореля. Система множеств {Ga, а £ Л} называется покры­ тием множества G, если G С (J Ga. Покрытие называется конеч-

а € Л

ным, если множество Л конечно, и открытым, если все множества Ga открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, ес­ ли это подмножество само образует покрытие.

7. Граница множества. Точка а метрического пространства X

называется граничной точкой множества М С X , если в любой

окрестности точки а есть как точки, принадлежащие множеству М , так и точки, не принадлежащие множеству М.

Граничная точка а множества М может не принадлежать мно­ жеству М.

Совокупность всех граничных точек множества М называется границей множества М и обозначается дМ. Например,

только такие объекты в Rn, при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и т. д.

Вэтой главе ограничимся тем, что введем в Rn такие не связанные

сметрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Множество в Rn будем называть выпуклым, если вместе с любы­ ми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

У п р а ж н е н и е 9. Д оказать, что шар в Rn есть выпуклое множество.

Кривая в R3 была определена в § 22. Это определение без сущест­ венных изменений переносится на Rn. Кривая в Rn задается парамет­ рическими уравнениями

жi = ifii(t), a ^ t ^ (i, i = 1 ,п,

где (pi(t) — непрерывные функции на отрезке [а, (3\.

Множество М С Rn называется связным, если любые две его точ­ ки можно соединить кривой Г, лежащей в множестве М. Открытое и связное множество в Rn называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в Rn, являющаяся объединением конечного числа отрез­ ков, называется ломаной в Rn.

У п р а ж н е н и е 10. Д оказать, что откры тое множ ество G С R'1 будет областью в том и только том случае, когда любые две его точки можно соединить ломаной L С G.

множество, для которого точка х° является внутренней. Проколотая

множество, принадлежащее метрическому пространству X . Если X = = Rn, то функция /: М —¥ R называется функцией многих переменных

и обозначается обычно следующим образом:

/(ж) = /(ж1 ,...,хп), же М.

Например, функция \J\ —х\ —х\ определена в единичном круге

пространства R2 с центром в точке (0,0), а функция 1п(ж| + ж|) опре­ делена в любой проколотой окрестности точки (0, 0).

Оп р е д е л е н и е 1. Пусть функция /(ж) определена в проколотой окрестности 0(х°) точки ж0 метрического пространства X . Говорят,

lim / ( х (к)) = А.

к-А-оо

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной (§ 9).

Если число А есть предел функции /(ж) при ж —>■ж0, то будем писать

А = lim /(ж).

X — 'г Х °

Если функция двух переменных /(ж ,у) определена в 0((а,Ь)), а

x - A a , y - A b

и называют иногда число А двойным пределом.

Аналогично, для функции п переменных наряду с обозначением

А= lim /(ж) будем использовать обозначение

А= lim / ( Xl,...,xn). х^х^,...,х„^хЧ

О Так как lim ip(x) = 0, то для любого е > 0 найдется шар Ss(x°)

х^>х°

такой, что для всех х £ Ss(x°) выполнено неравенство |</?(ж)| < е. Тем более для всех х £ Ss(x°) выполнено неравенство |/(ж)| < е, т. е.

lim f(x) = 0. •

х^>х°

Так как при любом ri £ N точки (хп,уп) и (х'п,у'п) не совпадают с точкой (0, 0), а последовательности точек (хп,уп) и (х'п,у'п) сходят­ ся к точке (0, 0), то, используя определение 2 предела, получаем, что функция f(x,y) не имеет предела при (х ,у ) -А (0, 0). ▲

не имеет предела при (х ,у ) -А (0, 0).

А Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательнос­

для функции, заданной в О(х0). Расширим определение предела, вве­ дя понятие предела по множеству.

Оп р е д е л е н и е 3. Пусть М есть подмножество области опреде­ ления функции /(ж), х° — предельная точка множества М. Будем говорить, что число А есть предел функции /(ж) по множеству М

при х -А ж0, если Ve > 0 3 5 > 0 такое, что Уж € ^ (ж 0) П М выполнено неравенство |/(ж)| —А\ < е . В этом случае пишут

А = lim /(ж).

Ж—5-Ж°, х е м

Пусть функция двух переменных /(ж, у) определена в проколотой

ке (0, 0) по любому направлению I = (cos a, sin а) существует и равен sin 2а.

А Так как при t > 0 выполнено равенство

f ( t cos а , t sin а) = 2 sin a cos а = sin 2а,

то

lim / (t cos a, t sin a) = sin 2a. ▲

t —s-0

ке (0, 0) по любому направлению I = (cos a, sin а) существует и равен нулю.

А При t > 0 справедливо равенство

Как показывают простые примеры, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, а из сущест­ вования и равенства повторных пределов не следует существование двойного предела.

X2 + у 2

-+ (0, 0) не существует, но оба повторных предела равны нулю, так как lim /(ж, у) = lim /(ж,у) = 0.

справедливо неравенство |/(ж,у)| ^ |ж|. В силу леммы 1 двойной пре­ дел этой функции при (х ,у ) -+ (0,0) равен нулю. Но при х ф 0 не существует

lim ж sin - ,

г/—>о у

а поэтому не существует и соответствующий повторный предел.

при (х, у) —¥ (хо,уо). Д оказать, что в том случае, когда в проколотой окрест­

Бесконечные пределы для функций многих переменных определя­ ются по той же схеме, что и для функций одной переменной. Напри­

мер, lim /(ж) = +оо, если для любого числа С > 0 найдется такое

х^>х°

число 6 > 0, что для всех х из проколотой окрестности О$(х0) точ­ ки х° выполнено неравенство /(ж) > С.

У п р а ж н е н и е 4. П ридать смысл следую щ им символам:

венство £2е_* < е. Но тогда Уж > ^ и i y > ^ справедливо неравенство

(х+у)

0 ^ (х ^ + у ^ )е {х+у><£. ▲

§ 25. Непрерывность функции многих переменных

1.Непрерывность функции в точке.

Оп р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция /(ж), определенная в

окрестности 0 (х°), непрерывна в точке ж0, если для любого е > 0 су­ ществует такая окрестность Ss(x°), что для любого х € Ss(x°) выполняется неравенство |/(ж) —/(ж0)| < е.

Эквивалентность двух определений следует из определения пре­ дела на языке окрестностей.

Пользуясь определением предела по множеству, можно дать со­ ответствующее определение непрерывности функции в точке по множеству.

Оп р е д е л е н и е 3. Пусть функция /(ж) определена на множест­ ве М С Rn, точка х° € М, причем х° — предельная точка мно­ жества М. Говорят, что функция /(ж) непрерывна в точке х° по множеству М, если

lim /(ж) = /(ж0). ж—s-ж0, хем

Если х° есть изолированная точка множества М, то функция /(ж) считается непрерывной в точке х° по множеству М.

Пр и м е р 1. Функция

непрерывна в точке (0, 0) по любому лучу, но не является непрерыв­ ной в точке (0, 0).

А Из результата примера 4 из § 24 следует, что функция f(x,y) не имеет предела при (х, у) (0, 0) и, следовательно, не является не­ прерывной в точке (0,0). Из результата примера 6 из § 24 следует, что в точке (0, 0) предел функции f(x,y) по любому направлению су­ ществует и равен нулю. Следовательно, функция f(x,y) непрерывна в точке (0, 0) по любому направлению. ▲

Основные теоремы о свойствах непрерывных в некоторой точке функций (например, теорема о непрерывности суммы непрерывных функций) доказываются для функций многих переменных так же, как и для функции одной переменной. Ниже будет доказано, что су­ перпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

2.Непрерывность сложной функции.

Те о р е м а 1. Пусть функции щ (х ) ,..., (рп(х) определены в некото­ рой окрестности точки х° G Rm и непрерывны в точке х°, а функция f(y) = f(yi,...,yn) определена в окрестности точки у0 = (tpi(x0),...

238 Гл. V. Функции многих переменных

...,(рп(хо)) и непрерывна в точке у0. Тогда в некоторой окрестности точки х° определена сложная функция

$ ( * ) = f ( T l ( x ) , - ; i P n ( x ) ) ,

Так как при любом i £ {1 функция уДж) непрерывна в точ­ ке х°, то для числа а найдется шар Ss.(x°) такой, что для всех х £ £ Ss.(x°) выполнено неравенство

Пусть 6 есть наименьшее из чисел Si,...,Sn. Тогда для любого х £ £ Ss(x°) и для любого i £ {1,...,п} выполнено неравенство (2). Следо­ вательно, для любого х £ Ss(x°) выполняется неравенство

которое означает, что точка (рi(x ),...,р п(х)) лежит в шаре ФДу0). Но для любого у £ So-fy0) определено значение функции /(y i, ...,уп). Зна­ чит, в Ss(x°) определена сложная функция Ф(ж) = f(p i(x ),...,p n(x)).

Покажем, что эта сложная функция непрерывна в точке (х°). При любом х £ Ss(x°) подставим в неравенство (1 ) вместо у £ So-fy0) точку (pi(x), ...,рп(х)). Получаем, что для любого х £ Ss(x°) выполнено не­ равенство |ф(ж) —ф(ж°)| < е, которое означает, что сложная функция Ф(ж) непрерывна в точке х°. •

У п р а ж н е н и е 1. Пусть функции рч{х) при i = 1, п непрерывны по мно­

ж еству М С Rm в точке х°, ф ункция f(yi,...,уп) определена на м ножестве

<р(М) = {(г/1, ...,уп): yi = I f i i ( x ) ,Уп = <рп ( х ) , х £ М} и непрерывна в точке y0 = ( ^ ( * ° ) , - , r f ) ) .

тот случай, когда множество М есть объединение бесконечного множ ества множ еств Ма.

Ук а з а н и е . См. упр. 2 из § 24.

3.Свойства функций, непрерывных на компакте. Функ­ ция /(ж) называется непрерывной на множестве М, если она непре­

рывна в каждой точке множества М по этому множеству, т. е. если в каждой предельной точке множества х° выполнено условие

lim f(x) = f(x°). (4)

х —>х°, х е м

Доказательства следующих двух теорем о свойствах функций, не­ прерывных на компакте в метрическом пространстве, практически не отличаются от соответствующих доказательств для функций од­ ной переменной, непрерывных на отрезке.

Т е о р е м а 2 (Вейерштрасса). Функция /(ж), непрерывная на ком­ пакте метрического пространства, ограничена на этом компакте.

Т е о р е м а 3 (Вейерштрасса). Функция /(ж), непрерывная на ком­ пакте метрического пространства, принимает на этом компакте свои наибольшее и наименьшее значения.

4. Равномерная непрерывность. Введем фундаментальное по­ нятие равномерной непрерывности функции на множестве.

Опре де ление . Говорят, что функция f(x) равномерно непрерыв­ на на множестве G метрического пространства X , если Ve > 0 3 6 > О такое, что для Уж, ж' G G таких, что р(ж, ж') < 6, выполнено неравен­ ство

|/(ж) - /(ж')| < е.

Функция, непрерывная на множестве, не обязательно будет равно­ мерно непрерывной на этом множестве. Прежде чем приводить при­ меры, построим отрицание: функция /(ж) не будет равномерно непре­ рывной на множестве G, если Зео > 0 такое, что для любого 6 > О существуют элементы ж, ж' G G такие, что р(ж, ж') < 6, но

|/(ж) - /(ж ')| >£о- Пр и м е р 2. Покажем, что функция /(ж) = ж2 не является равно­