Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

110

Гл. III. Предел и непрерывность функции

arch+* = 1п(х + л/ х2 —1),

х ^

1,

arch_* = 1п(х —л/х2 —1 ),

х ^

1 .

7. Степенная функция с любым вещественным показате­

лем. В п. 3 была рассмотрена степенная функция вида х г, где г £ Q.

ха = е аЫх.

(42)

Функция х а непрерывна

при х > 0 как суперпозиция показатель­

ной функции е* и функции

t = a In ж, которые являются непрерыв­

ными. Из равенства (42) и свойств показательной и логарифмичес­

кой функций следует, что функция ха строго возрастает при а > 0 и

строго убывает при а < 0 на промежутке (0,+оо). Из формулы (42)

и равенства In е* = t следует, что

\пха = а\пх, a £ R,

х > 0.

З а м е ч а н и е 5. Если а €

0 , то ф ункция х а

мож ет иметь смысл и при

* < 0. Например, функции х~,

у/х определены на R, а функции 1/х'', 1 / 1/х

определены при всех х £ R, кроме х = 0.

я

г /(*)

г

часто встречается случаи, когда требуется наити

lim

( , где / и

х —¥а д { х )

х —>а

х —±а

= 0. В этом случае вычисление предела называют

раскрытием

§13. Вычисление пределов функций

111

}{х)

fi(x)

,

,.

f(x)

fi(a)

. . , ес-

то ^фф =

;

, при х Ф

а, откуда следует, что lim

,

. =

д(х)

gi(x)

r

J

J ’

Х^ад(х)

дфа)’

ли дг(а) ф 0.

Аналогично, если / и д — бесконечно большие функции при х -+ а,

т. е. lim f(x)

= оо,

lim д(х) = оо, то говорят, что их частное

и

х —Фа

х —Фа

9{%)

разность f(x)

—д(х) представляют собой при х -+ а неопределенности

0 0

IT

вида — и оо —оо соответственно. Для раскрытия неопределенностей

таких00типов обычно преобразуют частное или разность так, чтобы

к полученной функции были применимы свойства пределов. Напри-

П

мер, если /

и д — многочлены степени те, т. е. f(x) = Е акхк, д(х) =

= 2_.ЬкХ

к

, где ап фО,Ъп ф 0

к=0

, то, разделив числитель и знаменатель

k=o

f(x)

на х п, найдем

дроби

;

'

,

1

, од

5(*)

Пт Щ

= Ит

ап + ап—1

— I-... Н— -

------------ Ж----------= р .

х ^ о о д ( х )

Ьп

+ Ь п _ Р

+

... + Д 1

Ьп

X

х п

Пр и м е р

1. Найти

lim F(x), если:

ж—

ч

ч

2х2 + * — 3

,

а) F (l)

= # - 2I + r

“ = 1;

б )F{ .r) = y E E ^ zM

E E l.

а = 4;

\

т-i/

\

, R-r — sin х

,

а =

0;

в)

F (х) =

—----

X s

г) F(x) = фх2 + х + 1 —фх2 — х + 1,

а = +оо.

А

а)

Разложив числитель и знаменатель на множители, получим

EV

\

(2х + 3 ) ( х - 1 )

..

ч

..

2* + 3

5.

В (х) = т—^

' ------—г, откуда

lim В (х) = lim —---------- =

v J

( х — 1 ) ( х 2 + х — 1)

J

х - я

у J

х - Я Ж 2 + Ж - 1

ip(x) =

б)

Умножив числитель

и

знаменатель

на

функцию

=

фх + 21 + 5фх —3

и

используя

формулу

х 3 —64 = (х — 4)'ф(х),

где 'ф(х) = х 2 + 4х + 16, получим

..

ч

..

* + 21 - 25(* -

3)

..

^ 2 4

24

1

lim В (х) =

lim —----- г—-+——+■ =

lim ———— = ---- ——— = ------ .

х-»4

x-s-4 (х —4)ip(x)tp(x)

x-s-4 tp(x)ij)(x)

<р{А)-ф{А)

20

112

Гл. III. Предел и непрерывность функции

Чm

n / Ч sill X

1 —COS X

1

,

.. . 1

х

в)

1 ак как b (х) = ---------- г-----------, где

1 —cos х = 2 sm

—, то, ис-

х

х 1

cos

х

si nx

-

2

пользуя первый замечательный предел п т

=

X

1 и непрерывность

косинуса, получаем

х—^0

sin -

"

lim F(x) = lim

7

x

\'

-2 'j

2 cos®

2 ’

ir-s-o

ir-s-o

г)

Преобразуем F(x), умножив и разделив эту функцию на ip(x) =

= 's/ х 2 + х

+ 1 + 's/х 2 —х + 1. Получим F(x) =

, , , откуда, разделив

числитель и знаменатель на х, находим

р(х)

F(®) =

2

l / l Н

1

j + i / l ------ 1— j-

у

X

X-

у

X

X -

Используя непрерывность функции s/t при t = 1, получаем

lim

F(x) =

2

=

1 .

▲

1

+ 1

X—z+oo

lim ifi(x) = b,

lim f(y) = A,

x —s-a

y —>b

lim f(<p(x)) = lim /(у).

(1 )

х —¥а

y —rb

Уп = F{xn),

п —>оо

lim уп = Ь, где

тогда по определению предела функции

уп € Ue(b). Так как существует lim f(y)

= А, то

п —too

у-*ь

lim f(ip(xn)) =

lim f (yn) = A.

П —¥ OO

П —¥ OO

Это означает, что lim f(ip(x)) = А,

т. e. справедливо равенство (1). •

Пр и м е р

x —>a

2. Доказать, что:

ч

arcsin x

-

/ЛЧ

а)

lim----------=

1 ;

(2 )

х - > 0

х

б)

lim

=

1 .

(3)

я->0

X

114

Гл. III. Предел и непрерывность функции

i + —J— < i + -

^

i

п

+

( и)

П + 1

X

Из (10) и (11) в силу монотонности показательной и степенной функ­

ций получаем

1

хП /

1 \ Ж (

1 \ п+1

1

j

(1 2)

Н — ) <

( 1

Н— ) <

( 1

Н— J

п + 1

а из (12), (6) и (9) следует, что

Ve > 0 3Ne: Уж ^ Ne -+ е —е < ^1 + —^ < е + е.

По определению предела это означает, что теорема справедлива в слу­

чае, когда х -> +оо.

Докажем, что

lim

( l

+ I)*

= e.

(13)

x - t —oo \

X J

Положим х = —1 — t,

тогда

t -> +оо

при х -> ^оо

и

Р Р

Р

Р Р

Ч

Р

)

*

( Р

откуда следует, что справедливо равенство (13), так как

^1 +

-+

Yim {1 + а{х))1/а{х) = е.

(14)

X—>1Го

В частности,

lim (l + i P

= e .

(15)

ж-»О

О

Для доказательства утверждения (14) достаточно воспользоваться

соотношением (4) и теоремой 1. •

З а м е ч а н и е

1. Если а ( х ) ф 0, /Э(х) ф 0 в некоторой проколотой окрест­

ности точки хо,

lim

а( х) = lim /3(х) =

0 и сущ ествует

lim

= А, то

31-+Х0

31—>310

X—>310 Р \ Х )

lim (1 + a { x ) f /fi{x)

= е х .

(16)

X—>310

В частности,

lim (1 + р а ( х ) ) 1/а{х] = е ф

(17)

X—>310

если р

= const,

а (х )

-+ 0 при i - Я о и

а (х )

ф 0 для х €

U s(xо).

О

Для

доказательства утверж дения

(16)

следует воспользоваться ра­

а Х

— ^

=

linm -

qj

= In а. Отметим важ-

мулу (18), получаем lim

X

f-

v

’

X^o

у^о loga(l + у)

ный частный случай формулы (20):

рХ _

1

=

1 .

а

(2 1)

limПт -1

i

Пр и м е р

яж->0

X

7. Доказать, что

1 .

(22)

Пт ^

*

=

ж-Ю

А Так как sh® =

ех —е^х

=

е2х —1

х—, то, применяя формулу (21), по­

лучаем

,.

,------------е

ч

ч

sh®

,.

е

—1 1 ..

▲

lim

х

= lim ------------= 1 .

ж- m

ж- m

2®

ех

Пр и м е р

8. Доказать, что

Ит (1 +д0а

= а

(23)

ж-m

х

для любого a € R, а ф 0.

_ 1 . На мно­

А Рассмотрим функцию у =

(1 + х)а —1 = е

жестве (—1 ,+og) существует обратная к ней функция х = х(у),

при­

чем у —1 0 при х —1 0. Из равенства

(1 + х)а = 1 + у следует,

что

aln (l + х) = 1п(1 + у). Поэтому ^ + х^----- - = -

= — р —

«1п(1 + ®)^

откуда,

используя равенство

(19),

х

х

1п{1 “I- у)

X

получаем

соотношение (23). ▲

f(x) = g(x)h(x),

lim h(x) = 1,

(24)

X —> X o

f(x) ~ д(х)

при

х —¥ Хо,

или, короче, /

~ д при х —1 XQ.

„

.

s i

n

®

,.

sin®

,

тт

.

Например, sm

х ~ х при х —¥U, так как sm

х = х

, a lim

® 9

= 1;

4

о

4

о

9

®

ж -Щ

JL

JL

a

1•

JL

—— - ~ х" при

х —¥ оо, так как —— - =

х"

1

lim —— - =

®2 + 1

®2 +

1

®2 +

ж—^оо ®2 +

1

= lim — Ц - = 1 .

ж^оо х +

X2

У п р а ж н е н и е

1. П оказать, что отношение эквивалентности функций

обладает свойствами:

д при

® —1 ®о, то д ~

а) сим м етричности, т. е. если /

~

/ при ® —1 ®о;

б) транзитивности, т. е. если

/ ~

д

и

д ~

ip

при

® —1 ®о,

то /

~ ip

при ® —¥ хо-

§13. Вычисление пределов функций

117

У п р а ж н е н и е

2. П оказать, что если / ~ у и /i ~ у\

при х —1 жо,

то f f i ~ 55i при х

—1 хо-

да* когда

lim

/(ж )

= lim

д{х)

=

л

д(х)

Дж)

1 .

х ^ х о

х ^ х о

но большими при х -А Хо-

Пределы, найденные в примерах 2, 5-8, позволяют составить сле­

дующую таблицу функций, эквивалентных при х -А 0:

sin х ~ х

ех —1 ~ х

tg х ~ х

sh х ~ х

агсвтж~ж

1п(1+ ж) ~ж

arctg ж ~ х

(1 + х)а —1 ~ ах

Этисоотношения остаются в силепри х

-A XQ,

еслизаменить

в

них х

нафункцию а(х)

такую, что а(х) -А 0 при

х -A XQ. Например,

sin х 2 ~

х 2

при

х —У0,

вЬ(ж —I )3 ~ (х —I)3

при

х —У1 .

Пр и м е р

9. Доказать, что

1 —cos .г ~

2

2

прих —У0.

J' .clix — l ^ ' ^ -

А

су

су*

х

а) Пользуясь тем, что 1 —cos ж = 2 sin" —и sin —~ —при ж -¥ 0,

2

при ж —¥ 0.

получаем 1 —cos ж ~ J[

су*~9

б)

су*

су*

су*

Так как с Ьж^1 = 2вЬ- ' - и

sh - ~ -

при ж -А 0, то ch ж —1 ~ —

при ж —У0. А

б)

З ам ена функций эк вивал ент ны ми при вычислении пределов.

Т е о р е м а

3. Если /

~ /1

и g ~ дг при ж -A XQ, то из существова ­

ния предела функции Aji-j- при х —t XQ следует существование предела

функции Д 4

при х —УXQ и справедливость рав енства

9

lim

4 4

=

Ит

(25)

Ж-»Жо

у(х )

Х - * Х

0 51 (X)

О

По условию / ~ /1 и 5 ~ 5i при ж -A Xq. Это означает, что /(ж) =

= fi(x)h(x) и д(ж) = gi(x)hi(x),

где

lim

h(ж) =

1 и lim h\(ж) =

1 .

X—^XQ

X—^XQ

Так как существует

lim

—4

и h±(x)

—1 1 при ж -А жо, то най-

х->хо

51

(ж)

118

Гл. III. Предел и непрерывность функции

функции f i ,

gi , h i ,

причем g i ( x )

ф 0

и h i ( x )

ф

О, откуда следует,

что в этой окрестности определена функция g(x )

= g i ( x ) h i ( x ) такая,

что д( х ) ф 0.

Следовательно, в

некоторой проколотой окрестности точки XQ

.

/(ж )

и

определена функция

У

f i x }

=

h(x) f a x ) '

д{х)

Ы(х) дфх)'

Так как существует

lim

;

, a

lim

h(x) =

1,

lim h \ ( x ) = 1, то

X —>1Го g i { %

)

Х —± Х о

Х —± Х о

сущ ествует

lim 4 4

и справедливо равенство

(25). •

х ^ х 0 д{х)

arcsin х(ех — 1)

тт

тт „

1 -

Пр и м е р

10. Наити

lim --------- --------

ж-»-о cos х — cos 3*

А Так как

arcsin ж ~

х,

е х — 1 ~ х,

совж^совЗж = 2 sin х sin 2ж,

sin ж ~ ж, вт2ж ~ 2ж, то arcsin х ( е х

—1) ~ ж2, cos ж —совЗж ~ 4ж2 при

/(ж) = д(х ) а ( х ) ,

lim а ( х ) = 0,

(26)

Х —¥ Х о

/(ж) = о (д ( ж)),

ж - 1 ж0,

(27)

или, короче, / = о(д), ж —¥ XQ.

есть о

малое от д

Эта запись читается так: “/

при ж, стрем я ­

щемся к Жо” . В частности, запись /(ж ) =

о(1), ж -А жо, означает, что

/(ж ) является бесконечно малой функцией при ж -A X Q . Если д ( ж) ф 0

в некоторой проколотой окрестности

точки жо, то соотнош ение (27)

м ож но записать в виде

lim

4 4

= 0

х ^ х 0 д{х)

или в виде

lim

° М = 0.

х - * х о

д

Следует иметь в виду, что функции /

и д, о которых идет речь в

§13. Вычисление пределов функций

119

tg х s i n *

бесконечно малые более высокого порядка, чем х.

Поэ-

тому справедливы равенства

х 2 =

о(х),

co sa rsh 2х = о(х), t g 3arsin — = о(х), х — 0.

Символ о(х)

в этих равенствах служит для обозначения множес­

°(Сд) = о(д)

° (9 п )° (9 т) = о(дп+т ),

п

£

А/,

то £

N

Со(д) = о(д)

9 п 1о{д)

= о(дп),

п

£

N

о(д) + о(д) = о(д)

(о(д))п

= о(дп ),

п

£

N

о(о(д)) = о(д)

о(дп)

= о(дП—1 \

п

£

N,

д ф 0

в Us(xo)

где а(х) —¥ 0 при х —¥ Хо- Но тогда

f(x) = д(х)Са(х) = д(х)а i(x),

где ai(x) —1 0 при х —1 Хо, т. е. / =

о(д), х —1 хо-

•

У п р а ж н е н и е

3. Д оказать, что

если т € N, п

£ N, а д(х) —1 0 при

х —1 хо, то:

а) о(дп) =

о(дт) при т

п;

б) о!

Cugk I

= о ( д ) ,

—

постоянные.

Наряду с символом о(д) в математике употребляют символ 0(g).

Запись

f(x)

= 0 (д(х)),

х -Л хо,

(28)