Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

100 Гл. III. Предел и непрерывность функции

Функция

У = COS Ж, 0 ^ Ж^ 7Г,

непрерывна и строго убывает. Обратная к ней функция, которую обо­

значают

у = arccosx, ж Е [—1,1],

непрерывна и строго убывает. График этой функции изображен на рис. 12.5. По свойствам взаимно обратных

0 ^ ^ —<т^7ги cos ^ —a^j = sin а = ж. Отсюда согласно определению арккосинуса следует, что ^ —а = агссовж. Равенство (10) доказано. А

непрерывна и строго возрастает. График этой функции изображен на рис. 1 2.6.

Отметим, что в силу свойств взаимно обратных функций имеем tg ( arctg ж) = ж, ж Е /?,

arctg (tg х) = х,

arctg(—ж) = —arctg ж, ж £ R.

Функцию, обратную к функции

У = ctgx, 0 < X < 7Г,

обозначают у = arcctgx. Эта функция определена на /?, непрерывна и строго убывает. Ее график изображен на рис. 12.7.

У п р а ж н е н и е 3. Доказать, что для всех х £ R справедливо равенство

7Г arctg х + arcctg х = —.

3. Степенная функция с рациональным показателем. Сте­ пенная функция с натуральным показателем, т. е.

у = жп, ж £ /?,

где п £ Л/, непрерывна на /?. Если п = 2k + 1, то эта функция стро­ го возрастает на /? (§ 9, пример 9) и поэтому обратима. На рис. 12.8

необратима. Однако ее сужение на множество [0,+оо), т. е. функция у = х2к, к е N, х £ [0, +оо), обратима и обратной к ней является функ­ ция у = 2^/х. На рис. 9.10 изображены графики взаимно обратных функций у — ж2, ж £ [0, +оо), и у — л/х.

Очевидно, функция у = Х2к, fee N, х £ (—оо, 0), т. е. сужение функ­ ции х2к на множество (—оо,0), также обратима, и обратной для нее является функция у = —2^[х. На рис. 9.11 изображены графики функ­ ций у = ж2, ж ^ 0, и у = —у/х.

Если ж > 0, то при любом п £ N функция хп обратима, а обратная к ней функция обозначается ж1//п или ^/ж. Функция у = ж- п , п £ Л/,

102 Гл. III. Предел и непрерывность функции

определена и непрерывна при ж ф 0 и записывается в виде у = 1 / х п.

строго возрастает, если т > 0, и строго убывает, если т < 0. Поэтому функция жг непрерывна при ж > 0, строго возрастает, если г > 0, и строго убывает, если г < 0.

Перечислим некоторые свойства рациональных степеней вещест­ венных чисел:

Свойства (12)—(16) легко проверяются, если воспользоваться свойствами целых степеней и тем, что при а > 0, b > 0 из ап = Ьп,

то из равенств (17) следует равенство (1 2).

4.Показательная функция.

Заметим, что соотношения (19) и (20) справедливы и в случае, ког­ да 0 < а ^ 1 .

—1/р < г < 1/р. Тогда в силу монотонности функции аг при а > 1 (неравенство (16)) получаем

а - 1/р < а г < а1/р.

Таким образом, для любого е > 0 существует число 6 = 1/р > 0 такое, что для всех рациональных чисел г, удовлетворяющих условию |r| < 6, выполняются неравенства

{г„} сходится, то последовательность {аг"}, где а > 1 , также схо­ дится.

О Из сходимости последовательности {г„} следует ее ограничен­ ность, т. е.

Так как сходящаяся последовательность удовлетворяет условию Ко­ ши (§ 8), то по найденному в соотношении (22) числу 6 > 0 можно подобрать номер

т. e. {ar"} — фундаментальная последовательность. В силу критерия Коши она сходится. •

104 Гл. III. Предел и непрерывность функции

б) Определение показательной функции. Пусть х — произвольная точка числовой прямой, и пусть {г„} — последовательность рацио­

Если а > 1, то предел (25) существует в силу утверждения 6. Если

0 < а < 1, то аг" = , где Ъ= - > 1, откуда следует, что существует

предел (25) и при а £ (0,1), так как lim ЪГп = Vх > 0 (см. доказанное

п —too

ниже неравенство (29)). При а = 1 предел (25) существует и равен 1, так как 1г = 1 для любого г £ Q. Заметим, что определение показа­ тельной функции является корректным, т. е. предел (25) не зависит от выбора последовательности рациональных чисел, сходящейся к х, в силу леммы из § 10 (п. 6).

О Пусть {г„} и {рп} — последовательности рациональных чисел та­

Так как в силу равенства (14) аГп+Рп = аГшаРш, то, переходя в по­ следнем равенстве к пределу при п -б- оо, получаем равенство (26). • Из этой формулы, в частности, следует, что для любого х £ R

В самом деле, пусть г £ Q и г < х. Рассмотрим последовательность

рациональных чисел {г„} такую, что lim гп = х и гп > г при п £ N.

п —too

Тогда аг" > аг в силу (16), откуда, переходя к пределу, получаем ах ^ аг, где аг > 0. Итак, ах ^ аг > 0, т. е. выполняется неравенство (29).

Чтобы доказать неравенство (28), умножим обе части его на а~х1 > 0 и, пользуясь свойством 1 , получим неравенство

аХ1-Х1 у |_ х.2 > .Г I .

равносильное неравенству (28). Полагая Ж2 — Xi = х, получим нера­ венство

Итак, для доказательства утверждения (28) достаточно доказать рав­ носильное ему утверждение (30).

Пусть г £ Q таково, что 0 < г < х, и пусть {г„} — последователь­

ность рациональных чисел, удовлетворяющая условиям lim гп = х

п—>оо

и гп > г для п € N. Тогда, используя неравенства (16) и (13), име­ ем аг" > ar > 1 , откуда, переходя к пределу при ri —1 оо, получаем ах ^ ar > 1. Свойство 2 доказано. •

Св о й с т в о 3. Функция у = ах, где а > 1, непрерывна на R.

О Пусть Жо — произвольная точка множества R, Ау = аХо+Ах —

—ах° = ах°(аАх —1). Нужно доказать, что аАх —¥ 1 при Аж —¥ 0 или

Пусть {хп} — произвольная последовательность вещественных чисел

такая, что lim хп = 0. В силу свойств вещественных чисел найдутся

п—>оо

последовательности рациональных чисел {г„} и {г'п}, удовлетворяю­ щие при п € N условию

Оа)ПустьЖ2 = г € <3,Xi G R, и пусть {г„} —последовательность

Так как lim rrn = rxi, то по определению показательной функции

п—>оо

существует lim arr" = arXl. п—>сю

Аналогично определяется функция у = loga ж, где 0 < а < 1. Эта функция, график которой изображен на рис. 12.14, является непре­ рывной и строго убывающей на промежутке (0, +оо).

Пусть а > 0, а ф 1. Тогда по свойствам взаимно обратных функций справедливы равенства

Если х > 0, Х\ > 0, Х2 > 0, то из свойства 1 показательной фукции и формулы (39) следует, что

Логарифмируя равенство (39) по основанию 5, где Ъ > 0, b ф 1, получаем следующую формулу перехода от одного основания к дру­

гому:

log х -

l°ga X ~ log^ а ’

откуда при х — Ъ находим формулу

ла ж с основанием е называют натуральным и обозначают In ж.

6. Гиперболические функции и обратные к ним. Функции, за­

называют соответственно гипербо­ лическим косинусом и гиперболичес­ ким синусом.

Эти функции определены и непрерывны на /?, причем сйж — чет­ ная функция, а shx — нечетная функция. Графики функций у = сйж и у — яйж изображены на рис. 12.15.

Из определения гиперболических функций shx и сйж следует, что

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определя­ ются соответственно формулами

рывна на /?, а функция cth ж определена и непрерывна на множест­ ве R с выколотой точкой х = 0; обе функции нечетные, их графики представлены на рис. 12.16 и рис. 12.17.

Можно показать (см. § 20, пример 1), что функции у = shx, у = = th х и у = chx, х > 0, строго возрастающие, а функция chx, х ^ 0, строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозна­ чим обратные к ним функции соответственно через arshx, arthx, arch+x, arch_x.

Рассмотрим функцию, обратную к функции shx, т. е. функцию

— у -Ь л/ l + у2. Так как ех > 0, то ех = у + д/ l + у2, откуда ж = In(у +

+ д/ l + у2). Заменяя ж на ?/, а у на ж, находим формулу для функции, обратной для гиперболического синуса:

arshx = 1п(ж + д/1 + ж2), ж Е /?.

ческие уравнения гиперболы х2 —у 2 = 1 (см. формулу (40)). Параметр t в уравнениях гиперболы равен удвоенной площади гиперболического секто­ ра (см. [3, т. 2, п. 330]). Это отражено в обозначениях и названиях обрат­ ных гиперболических функций, где частица аг есть сокращение латинского