Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

§6. Предел монотонной последовательности

1.Монотонная последовательность. Точные грани после­ довательности. Последовательность {х п} называют возрастающей (неубывающей), если для любого ri G N выполняется неравенство

Аналогично последовательность {хп} называют убывающей (невозрас­ тающей), если для любого ri G N справедливо неравенство

монотонной, а строго возрастающую или строго убывающую — стро­ го монотонной.

Если неравенство (1) выполняется при п щ , то последователь­ ность {хп} называют возрастающей, начиная с номера щ (при п

По). Аналогично вводятся понятия убывающей, строго убывающей

истрого возрастающей последовательности, начиная с номера щ (при

п0 По)-

Для доказательства теоремы о пределе монотонной последователь­ ности нам потребуются понятия точной верхней и нижней грани последовательности.

Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений последо­ вательности {хп} называют точной верхней (нижней) гранью после­ довательности и обозначают соответственно sup{x„} и т£{ж„}.

Определение точной верхней грани supX числового множества X, введенное в § 2, можно записать так:

{М = supX} {Vi € X —фх ^ М} Л {Ve > 0 Зже € Х : х > М — }.

(3)

Аналогично определение точной нижней грани inf X числового мно­ жества X можно записать в виде

{то = inf Х^} -ФУ{Уж G X —фх > то} Л {Ve > 0 Зже G X: хе < то + е}. (4)

Поэтому определения точной верхней и точной нижней граней пос­ ледовательности можно записать в виде

[а = sup{x„}] -ФУ{Vn G N —фх п ^ а} Л {Ve > 0 3Ne: ждг, > а —е}, (5) [b = inf{x„}] -ФУ{Vn £ N —фхп > b} Л {Ve < 0 3Ne: хме < Ь+ е}. (6)

Таким образом, число а — точная верхняя грань последователь­ ности {х п}, если выполняются условия:

1 ) все члены последовательности не превосходят а, т. е.

2) для каждого г > 0 (рис. 6.1 ) найдется член последователь­ ности, больший а —г, т. е.

Уг > О 3N£: XN £ > а —S . (8)

тающей и ограниченной сверху, то существует

lim хп = sup {хп}.

п—Уоо

Если последовательность {хп} является убывающей и ограничен­ ной снизу, то существует

lim хп = inf {хп}.

п—Уоо

ООграничимся доказательством теоремы для случая ограниченной сверху и возрастающей последовательности. Если последователь­

Это означает, согласно определению предела, что

lim хп — а — sup {хп}. •

п—Уоо

За м е ч а н и е 1. Теорема 1 остается справедливой для последователь­

дится тогда и только тогда, когда она ограничена.

52 Гл. II. Предел последовательности

п € N, т. е. последовательность ограничена снизу. По теореме 1

п —>оо п\

З а м е ч а н и е 2. У тверж дение (11) справедливо не только при а > 0, но

Пр име р 2. Последовательность {хп} задается рекуррентной фор­

П—¥ ОО

АДокажем сначала методом индукции, что

Далее, применяя неравенство для среднего арифметического и

Итак, последовательность {хп} ограничена снизу. Докажем, что она является убывающей. Запишем равенство (12) в виде

а —х~„

Хгг+1 ^ Х п = — ------,

2Хп

откуда в силу (14) и (15) получаем

Vn ^ 2 ^ х п+ 1 ^ хп

т. е. последовательность является убывающей при те / 2. По теореме 1 существует lim х п = а, где а / у/а > 0 в силу условия (15). Переходя

а= у/а, т. е. справедливо утверждение (13). ▲

3.Число е. Рассмотрим последовательность {хп}, где

хп

ипокажем, что эта последовательность возрастающая и ограничен­ ная сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем

Все слагаемые в суммах (16) и (17) положительны, причем каждое

сумме (17) на одно больше, чем в сумме (16). Поэтому хп < x n+i для всех те € Л/, т. е. {хп} — строго возрастающая последовательность.

к=1

используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получа-

т. е. {хп} — ограниченная последовательность. По теореме 1 сущест­

Число е является иррациональным, оно служит основанием нату­ ральных логарифмов и играет важную роль в математике. Справед­ ливо приближенное равенство

е и 2,718281828459045.

при п € N формулой x n+i = л/а + х п и условием xi= л/а, сходится, и найти ее предел.

У п р а ж н е н и е 5. Д оказать, что последовательность {хп}, заданная

4. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Назовем по­ следовательность отрезков Д 1 , Д 2, ..., Д п, ..., где Д п = [ап,Ьп], стяги­ вающейся, если выполнены следующие условия:

а) каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, т. е.

б) длина n-го отрезка Д п стремится к нулю при ri —1 00, т. е.

§7. Подпоследовательности. Частичные пределы

1.Подпоследовательность. Пусть задана последовательность {хп}. Рассмотрим строго возрастающую последовательность {те*,} на­ туральных чисел, т. е. такую, что

те* < те2 < ... < те*, < •••

Тогда последовательность {ук}, где ук = хПк при к € N, называет­ ся подпоследовательностью последовательности {хп} и обознача­ ется {хПк}. Например, последовательность нечетных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, 9, ..., взятых в порядке возрастания, является подпо­ следовательностью последовательности натуральных чисел 1 , 2 , 3, ..., а последовательность 3, 5, 1, 9, 11, 7, ... уже не является подпоследо­ вательностью последовательности натуральных чисел.

Согласно определению подпоследовательность {хПк} образована из членов исходной последовательности {хп}, причем порядок следова­ ния членов в подпоследовательности такой же, как и в данной по­ следовательности {хп}. В записи {х Пк} число к означает порядковый номер члена последовательности х П1, х П2,..., а те*, — номер этого чле­ на в исходной последовательности. Поэтому те*, к, откуда следует, что Пк оо при к —¥ оо.

Введем теперь понятие частичного предела. Пусть {х Пк} — под­ последовательность последовательности {хп}, и пусть существует ко­

нечный или бесконечный lim х Пк = а. Тогда а называют частичным

k —t оо

пределом последовательности {хп}. Например, последовательность {( —1)”} имеет два частичных предела, а именно —1 и 1. Последо­ вательность { 1 + (—1 )”те} имеет два частичных предела, а именно О

И + 0 0 .

Если {хп} — ограниченная последовательность, a L — множество всех ее частичных пределов, то числа sup L и inf L называют соот­ ветственно верхним и нижним пределом этой последовательности и

обозначают соответственно символами lim х п и lim х п. П—^ОО П—¥00

Например, для последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... имеем

б) каж дое вещ ественное число — ее частичны й предел.

2. Существование частичного предела у ограниченной последовательности.

Т е о р е м а (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной пос­ ледовательности можно выделить сходящуюся подпоследователь­ ность.

О Пусть {хп} — ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, т. е.

Разобьем отрезок А = [а, Ь] пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков [a, d], [d,b] содержит бесконечное число членов последовательности {хп}. Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в даль­ нейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим Ai = [ai,bi], его длина равна

,b — а

b l - a i = —

Разделив отрезок Ai пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок Д 2 = [02, 62]) содержащий бесконечное число членов последовательности {хп}.

Продолжая эти рассуждения, получим последовательность {Д„ = = [a„,b„]} отрезков таких, что:

Следовательно, {Дп} — стягивающаяся последовательность от­ резков. По теореме Кантора существует единственная точка с, при­ надлежащая всем отрезкам, т. е.

Покажем, что найдется подпоследовательность {хПк} последова­ тельности {хп} такая, что

К —¥ ОО

Так как отрезок Ai содержит бесконечное число членов последо­ вательности {хп}, то

3ni G N: х П1 G Ai.

Отрезок Д 2 также содержит бесконечное число членов данной после­ довательности, и поэтому

Зте2 > in- х П2 £ Д2.

Вообще,

Ук £ N Зпр'- х Пк £ Ак, где щ < те2 < ... < n*_i < п*.

Следовательно, существует подпоследовательность {х Пк} последова­ тельности {хп} такая, что

Условия (2) и(4) означают, что точки с их Пк принадлежат отрезку Ар = [а-к,Ьк], и поэтому расстояние между ними не превосходит дли­ ны отрезка Д*.,т.е.

вать так: любая ограниченная последовательность им еет хотя бы один час­ тичны й предел.

У п р а ж н е н и е 5. П оказать, что всякая неограниченная последователь­ ность им еет частичны й предел, равный оо.

У п р а ж н е н и е 6. Д оказать, что для того, чтобы а, где а — число или один из символов + оо, —оо, было частичны м пределом последовательнос­ ти, необходимо и достаточно, чтобы в любой окрестности а содержалось бесконечное число членов этой последовательности.

§8. Критерий Коши сходимости последовательности

1.Фундаментальная последовательность. Последователь­ ность {хп} называют фундаментальной, если она удовлетворяет усло­ вию Коши: для каждого е > О существует такое натуральное число пе, что для любого п ^ пе и любого гп ^ пе справедливо неравенство

\хп — х т\ < е. Кратко это условие можно записать так:

или в другом виде:

Ve > О 3пе: Уп ^ п£ Ур £ N -+ \хп+р —хп\ < е.

Докажем, что фундаментальная последовательность является ог­ раниченной.

О Пусть е = 1, тогда согласно условию Коши (1) найдется номер щ такой, что для всех п ^ п о и для всех г п ^ п о выполняется неравенство IХп - х т\ < 1 , и, в частности, \хп - х щ>| < 1 .