Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

ГЛАВА III

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

§9. Числовые функции

1.Понятие числовой функции. Пусть дано числовое мно­ жество X С R. Если каждому ж G X поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то говорят, что на множестве X оп­ ределена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, /, и пишут

а множество X называют областью определения функции и обознача­ ют £>(/), т. е. X = £>(/).

В записи (1) ж часто называют аргументом или независимой пере­ менной, а у — зависимой переменной. Числа х из множества D ( f ) на­ зывают значениями аргумента. Число уд, соответствующее значению

Хо G D(f), называют значением функции при х = XQ (или значением функции в точке Жо) и обозначают / ( Жо) или / ( ж)|х=Хо. Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве £>(/), на­ зывают множеством значений функции и обозначают E(f). Заме­ тим, что если уо € E(f), то существует по крайней мере одно число Жо € D(f) такое, что / ( жо) = Уо-

Функцию часто обозначают только символом (/, ip, F и т. д.), который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения функции используются также записи вида ж Н- /(ж), / : X —! Y . Под словом “функция” часто понимают зависимую переменную у, значе­ ния которой определяются значениями независимой переменной ж и правилом / , или даже само это правило. Термин “функция” имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, гово­ рят, что функция / отображает множество X = D(f) на множест­ во Y = E(f), и называют множество Y образом множества X при отображении / . Если E(f) С Е\, то говорят, что функция / отоб­ ражает X в Е+.

2. Равенство функций. Операции над функциями. Функ­ ции f u g называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения X и для каждого ж G X значения этих функций совпадают. В этом случае пишут /(ж) = д(ж), ж G X или / = д.

то функция д(ж) = х, х £ Е ', является сужением функции /(ж) = |ж|, ж £ R, на множество Е '.

Если равенство /(ж) = д(ж) верно при всех ж £ Е 1, где Е' С D ( f ) П П D(g), т. е. сужения функций / и д на множество Е' совпадают, то в этом случае говорят, что функции f u g равны на множестве Е '. Например, функции л/ж2 и ж равны на множестве Е' = [0, +оо).

Естественным образом для функций вводятся арифметические

всех ж £ Е), называют соответственно суммой, разностью, произведе­

множество значений функции содержится в области определения функции / . Тогда функцию, принимающую при каждом х £ X значе­ ние F( ж) = /(уфж)), называют сложной функцией или суперпозицией

(композицией) функций у и / и обозначают / о ip Например, функция г = \/4 —ж2, ж £ [—2,2], является композицией функций у = 4 —ж2, ж £ [—2,2], и z = уГу, у £ [0,+оо). Эта функция относится к совокуп­ ности элементарных функций, т. е. функций, которые можно полу­ чить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. К основным элементарным функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, три­ гонометрические и обратные тригонометрические функции. Напри­ мер, элементарными являются функции:

задаются при помощи формул. Такой способ задания называют ана­ литическим. Например, функции у = ж2, у = |ж|3/2, у = sin3 Зж заданы на множестве R аналитически.

Если числовая функция / задана формулой и не указана область ее определения D(f), то принято считать, что D ( f ) — множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и ре­ зультатом каждой операции, указанной в формуле, является вещест-

венное число. Например, если /(ж) = л/9 —ж2, то D (/) =[—3, 3], а если /(ж) = yig sin ж, то D(f) — множество корней уравнения sin ж = 1, т. е. множество чисел ж/, = 7г/2 + 27г&, где к Е Z.

Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция

задана аналитическим способом на R с помощью трех различных формул.

Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таб­ лицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответ­ ствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержа­ щихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.

На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в меди­ цине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функ­ циональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.

4. График функции. Графиком функции у = /(ж), ж Е D (f), в пря­ моугольной системе координат Оху называют множество всех точек плоскости с координатами (ж,/(ж)), где ж Е D(f).

Для каждого жо Е D(f) прямая ж = жо, параллельная оси Оу, пере­ секает график функции у = /(ж), ж Е D ( f ), в одной точке М0(жо,т/о), где уо = / ( жо) — значение функции / при ж = жоЗначение ж = а, при котором /(а) = 0, называют нулем функции /(ж). Если ж — а —

Д Пусть ж Е [n,n + 1), где п Е Z, тогда Е(х) = п. График функции у = Е?(ж) изо­

бражен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику. А

откуда следует, что график функции (3) можно получить сдвигом гра­

у = фс с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5). А Отметим еще, что график функции у = |/(ж)| можно получить из

графика функции у = /(ж) следующим образом:

а) часть графика функции /(ж), лежащую выше оси Ох и на этой оси, оставить без изменения;

66 Гл. III. Предел и непрерывность функции

б) часть графика функции /(ж), лежащую ниже оси О х, симмет­ рично отразить относительно оси Ох.

Пр и ме р 6. Построить график функции у — |ж2 —2ж|.

Д Применяя указанный выше прием, строим график этой функции (рис. 9.6) с помощью графика функции у = х 2 —2х (рис. 9.3). А

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а

у 11

1 у = х 2 —2\х\

\. О

Рис. 9.7

график нечетной функции симметричен от­ носительно начала координат.

Пр и ме р 7. Построить график функ­ ции у = ж2 —2|ж|.

Д Если ж ^ 0, то у = ж2 —2ж (см. рис. 9.3). Так как ж2 —2|ж| — четная функция, то для построения части графика этой функции, соответствующей значениям ж ^ 0, следу­

ет симметрично отразить график у = ж2 —2ж, ж ^ 0, относительно оси Оу (рис. 9.7). А

На рис. 9.8 изображен график нечетной функции у = ж3.

6. Ограниченные и неограниченные функции. Функцию /

называют ограниченной снизу на множестве X С D(f), если сущест­ вует число Ci такое, что для любого ж Е X выполняется неравенство f ( x ) > C i .

Используя символы 3 и V, это определение можно записать так:

3Ci: Уж Е X -э /(ж) ^ C i .

inf /(ж) = /(ж0).

х Е Х

Максимальные и минимальные значения называют экстремаль­ ными.

Например, если /(ж) = sin ж, то sup/(ж) = m ax/(ж) = /(ж*), где

к£ Z.

7.Монотонные функции. Функцию / называют возрастающей (неубывающей) на множестве X С D(f), если для любых точек х± £

£X, Ж2 £ X таких, что х± < Ж2, выполняется неравенство f(xi) ^

<С/ ( Ж2). Если это неравенство является строгим (f(xi) < / ( Ж2)), то функцию / называют строго возрастающей на множестве X.

Таким образом, функция / называется:

а) возрастающей (неубывающей) на множестве X , если

Аналогично функция / называется:

а) убывающей (невозрастающей) на множестве X , если

Убывающие и возрастающие функции объединяют названием мо­ нотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием

строго монотонные.

Если X = D(f), то в этих определениях указание на множество X обычно опускают.

Пр и м е р 9. Доказать, что функция / строго возрастает на мно­ жестве X, если:

Так как ж3 — нечетная функция, то неравенство (6) можно за­ писать в виде —ж| < —ж3, откуда ж| < ж|. Наконец, если Ж1 < 0, а Ж2 > 0, то ж3 < ж3. Таким образом, неравенство ж3 < ж3 справедливо для любых X l £ R , x 2 £ R таких, что х± < х2. Поэтому ж3 — строго возрастающая на R функция.

возрастает на отрезке I ——, —I. ▲

8. Периодические функции. Число Т ф 0 называют периодом функции / , если для любого х £ D(/) значения ж + Т и ж —Т также принадлежат D(f) и выполняется равенство

/(ж —Т) = /(ж) = /(ж + Т).

Функцию, имеющую период Т, называют периодической с перио­ дом Т.

Отметим, что если Т — период функции /, то каждое число ви­ да пТ, где ri £ Z, п ф 0, также является периодом этой функции.

Примерами периодических функций могут служить тригономет­ рические функции. При этом число 2п — наименьший положитель­ ный период функций sin ж, cos ж, а я — наименьший положительный период функций tgж и Ф^ж.

Пр и м е р 10. Доказать, что функция /(ж) = sin ах, где а > 0, явля­ ется периодической, и найти ее наименьший положительный период. А Предположим, что / — периодическая с положительным перио­ дом Т функция. Тогда для любых ж £ R должно выполняться ра­

Таким образом, положительными периодами функции sin аж могут быть только числа кп/а, где к £ N. Заметим, что число п /а не яв­

= sin(7r + аж) = —sin аж, т. е. sin аж = 0, что невозможно.

Число 2п/а — период функции sin аж, так как при любых ж £ R справедливо равенство sin аж = вта(ж + 2п/а).

Таким образом, 2п/а — наименьший положительный период функции sin аж. ▲

9.Обратная функция. Пусть задана числовая функция у = /(ж),

ж£ D(f). Тогда каждому числу Xq £ D ( f ) соответствует единствен­ ное число уд = / ( Жо) £ E(f). Нередко приходится по заданному зна­ чению функции уо находить соответствующее значение аргумента,