Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

Умножая обе части равенства (44) на а + Ь, получаем

(а + b)n+1 = Ап + В п,

где

п

А п = ап+1 + ^ Скап+1 ^ кЬк, к= 1

Сравнивая правые части формул (46) и (47), заключаем, что для до­ казательства равенства (46) достаточно показать, что

Формула (48) верна, и поэтому справедливо равенство (46). Следова­ тельно, формула (44) верна при любом ri € N. •

Отметим, что

Поэтому формулу (44) можно записать в виде

В этой последовательности, состоящей из разных чисел, содержат­ ся все элементы множества Е. Обозначим п-й член последовательнос­ ти (54) через гп. Тогда все рациональные числа, т. е. все элементы множества Q, содержатся в последовательности

О, ГЬ -Г 1 , Г2 , Г2, ..., Гп, - г п, ...

Поэтому Q — счетное множество. •

7. Несчетность множества вещественных чисел. Множест­ во, не являющееся конечным или счетным, называется несчетным.

Т е о р е м а 4. Множество вещественных чисел R несчетно.

О Докажем, что множество положительных вещественных чисел R+ несчетно. Предположим противное. Тогда все элементы множества /?+ содержатся в последовательности {ар}, где

речит предположению о том, что любое число (3 £ Я+ содержится в последовательности {ар}. Таким образом, множество R+ не является счетным, а поэтому и множество R также несчетно. •

П оказать, что Е — ограниченное множ ество, причем sup Е = sup X + sup У,

б) Ve > 0 сущ ествую т х е £ X , уе £ У такие, что уе — х е < е.

9.Д оказать неравенство

ГЛАВА II

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§4. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

1.Числовые последовательности. Если каждому натурально­ му числу те поставлено в соответствие некоторое вещественное чис­

ло х п, то говорят, что задана числовая последовательность (или прос­ то последовательность)

х\. х2, х п, ...

Кратко последовательность обозначают символом {хп} или (хп), при этом хп называют членом или элементом этой последовательности, те — номером члена хп.

Числовая последовательность — это функция, область определе­ ния которой есть множество N всех натуральных чисел; множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел х п, те € А/, называют

множеством значений последовательности.

Множество значений последовательности может быть как конеч­ ным, так и бесконечным, в то время как множество ее элементов всегда является бесконечным: любые два разных элемента последо­ вательности отличаются своими номерами.

Например, множество значений последовательности {( —1)”} со­ стоит из двух чисел 1 и - 1 , а множества значений последователь­ ностей {те2} и {1 /те} бесконечны.

Последовательность может быть задана с помощью формулы, поз­ воляющей вычислить каждый член последовательности по его номе­ ру. Например, если хп = ((—1)” + 1)/2, то каждый нечетный член последовательности равен 0, а каждый четный член равен 1 .

Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, поз­ воляющей находить члены последовательности по известным пре­ дыдущим. При таком способе задания последовательности обычно указывают:

а) первый член последовательности х± (или несколько членов, на­ пример, Х\, Х2)]

б) формулу, связывающую те-й член с соседними (например, с (те —1 )-м и (те + 1 )-м членами).

Так, арифметическая прогрессия с разностью d и геометрическая прогрессия со знаменателем q ф 0 задаются соответственно рекур­

П р и м е р 1. Записать с помощью логических символов отрица­ ния следующих утверждений:

а) А = {число а — предел последовательности {ж„}}; б) В = {{ж„} — сходящаяся последовательность}.

А а) Используя указанное в п. 1 § 1 правило построения отрицания утверждения, содержащего символы V, 3, из (1) получаем

п—too

=1/те. Возьмем произвольное число £ > 0. Неравенство \хп —1| < £

будет выполняться, если 1/те < £, т. е. при те > 1/е. Выберем в качест­ ве Ne какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию Ne > 1/е, например, число Ne = [1/е] + 1, где [ж] = Е(х) — целая часть числа х, т. е. наибольшее целое число, не превосходя­ щее х. Тогда для всех те Ne будет выполняться неравенство \хп —1| = 1/те ^ 1 /N e < е. По определению предела это означает,

носильно каждому из неравенств тег > |а|/е, те > (|а|/е)та, то при всех

38 Гл. II. Предел последовательности

и для всех те > АД, где АД = [1/(ае)] + 1, выполняются неравенства

сходится и ее предел также равен а.

А По определению предела для любого е > 0 существуют АД = АД(е) и АД = АД(е) такие, что для всех те Д; АД выполняется неравенство |ж„ —а| < е, а для всех те Д: АД выполняется неравенство |уп —а| < е.

Обозначим те-й член последовательности (4) через zn. Тогда если АД = тах(АД, АД), то для всех те Д: 2Ne будет выполняться неравенство Iz„ —а| < е. В самом деле, если те = 2к и те Д: 2АД, то = ук, где к У

Так как lim уп = 0, то по заданному г > 0 можно найти номер N =

п—Уоо

=N£ такой, что для всех п ^ N выполняется неравенство \уп\ < г/2.

Обозначим С = \у\ + у2 + ... + Vn\- Тогда, если п > IV, то

Выберем номер N = N£ такой, что C /N < г/2. Тогда для всех N будет справедливо неравенство С/п < г/2.

Пусть, наконец, п£ = т а x(N£,N £); тогда для всех п ^ п £ выполня­

ется неравенство \Sn —а\ < г. Следовательно, lim Sn = а. А п—Уоо

Обратимся еще раз к определению предела. Согласно определению число а является пределом последовательности {жп}, если при всех n ^ N £ выполняется неравенство \хп —а\ < г, которое можно записать в виде

а — £ < хп < а + г.

Другими словами, для каждого г > 0 найдется номер N £, начиная с которого все члены последовательности {хп} принадлежат интерва­ лу (а —г, а + г).

Этот интервал называют г-окрестностью точки а (рис. 4.1) и обо­ значают U£(a), а также 0 £(а), т. е.

U£(a) = {х: а —г < ж < а + г} = {ж: \х —а\ < г}.

Итак, число а — предел последовательности {жп}, если для каждой

окрестности, так что вне этой

окрестности либо нет ни одно­ го члена последовательности, либо содержится лишь конечное число

членов.

С помощью логических символов определение предела последова­ тельности “на языке окрестностей” можно записать так:

= (—1 )п, является расходящейся.