Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015
.pdf120 Гл. III. Предел и непрерывность функции
означает, что в некоторой проколотой окрестности Ug(xо) точки XQ
определены функции /, д, (р такие, что |
|
/(ж) = д ( х ) ф ) , |
(29) |
где р(х) — функция, ограниченная на US (XQ), т. е. |
|
ЗС > 0: Уж € Us(x0) -> Н ж )| «СС.
Соотношение (28) читается так: “/(ж) есть О большое от д(ж) при ж, стремящемся к Жо”.
Например, |
|
|
|
ж2 + |
2ж3 = |
0 (ж2), |
ж -¥ 0; |
ж2 + |
2ж3 = |
0 (ж3), |
ж —¥ оо. |
Аналогично запись |
|
|
|
/(ж) = 0(д(х)), |
ж е Е, |
||
означает, что на множестве Е справедливо равенство (29), где ip — функция, ограниченная на этом множестве. Отсюда следует, что
|/(ж)| «СС\д(х)\, |
х е Е . |
В частности,если /(ж) = 0(1), ж G Е, |
то функция / ограничена на |
множестве Е.Например, можно записать, что cos ж2= 0(1), ж G R.
г) Критерий эквивалентности функций.
Т е о р е м а 4. Для того чтобы функции /(ж) и д(ж) были эквива
лентными при х -б- Хо, необходимо и достаточно, чтобы |
|
/(ж) = д(х) + о(д(х)), хч - хо - |
(30) |
О Пусть / ~ д при ж —1 Жо; тогда выполняются условия (24), и поэто му /(ж) —д(ж) = g(x)(h(x) —1 ) =д(х)а(х), гдеа(х) = h(ж) ^ 1 ^ 0 при ж —1 Хо- Отсюда по определению символа о(д) следует, что / —д = о(д), х —1 Хо, т. е. справедливо равенство (30)
Обратно: из равенства (30) следует, что / ~ д при х Ч- хд. Дейст вительно, если выполняется равенство (30), то /(ж) = д(ж) + д(х)а(х), где а(х) —10 при ж —1 Жо, откуда /(ж) = g(x)h(x), где h(ж) = 1 + а(х) —1
—¥ 1 при ж —¥ Жо, т. е. /(ж) ~ д(ж) при ж —¥ Хо- •
Упражнение 4. Доказать, что
{/ ~ 5 ПРИ * ->• *о} О- (р(ж) = /(ж) +o(f(x)), х - 1 жо}-
Теорема 4 позволяет приведенную в п. 5, а) таблицу эквивалент ных функций записать в виде
8ШЖ = Ж+ о(ж), |
Ж ^ 0 |
ех —1 |
= |
ж + о(ж), |
ж —У0 |
|
tgж = |
ж + о(ж), |
ж ^ 0 |
вЬж = |
ж + о(ж), |
ж ^ 0 |
|
arcsin ж = |
ж + о(ж), |
ж ^ 0 |
1п(1 + ж) = |
ж + о(ж), |
ж —У0 |
|
arctgж = ж + о(ж), |
ж ^ 0 |
(1 + х)а —1 |
= |
ах + о(ж), |
ж —1 0 |
|
|
|
|
§13. Вычисление пределов функций |
|
121 |
||||||||||
С помощью этой таблицы можно вычислять пределы функций. |
|||||||||||||||
Пр и м е р |
11. Найти lim — |
-----^ |
+ х— . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ж-»о 2 arctg х |
—arcsin |
х |
|
|
|
||||
А Так |
как |
ех —1 |
= |
ж + о(ж), |
\/1 + х —1 |
= |
-ж + о(ж), |
arctg ж = |
|||||||
= х + о(х), arcsin ж = ж + о(ж), то |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ех - |
\/1 + ж = |
| |
ж + о(ж), |
|
|
|
|||||
|
|
2 arctg ж —arcsin ж = ж + о(ж) |
при |
|
ж —¥ 0. |
|
|||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
о(х) |
|
|
|
|
„х |
|
а/-, |
| |
„ |
|
+ |
- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
- ж |
о(ж) |
Н— — |
|
|||||||
|
|
|
е - y i + ж |
_ з |
|
v ; _ з |
|
х |
|
||||||
|
|
2arctg х |
—arcsin х |
|
х |
+ о(х) |
|
^ |
о(х) ’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х. |
|
где 2^1 = |
|
о |
при |
ж —1 0. Следовательно, искомый предел ра- |
|||||||||||
2 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вен —. А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
/c o s r t1/^ 1п(!+®)) |
|
|
|
|||||
Пр име р |
12. Найти |
|
|
|
|
||||||||||
lim ( —— ) |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ж-m ч сЬж / |
|
|
|
|
|
|
|||
А Используя результат |
примера 9 |
и асимптотическую |
формулу |
||||||||||||
1п(1 + ж) ~ ж при ж —1 0, получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos ж —1 = — |
+ о(ж2), |
|
|
сЬж —1 = ^ + о(ж2), |
|
|||||||||
|
ж 1п(1 + ж) = ж(ж + о(ж)) = ж2 + о(ж2), |
ж —У0. |
|
||||||||||||
Применяя формулу (16), находим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
„ |
, |
„ |
= |
|
/ |
~2 |
|
\ 1/(ж2+о(ж2)) |
, |
||||
lim (cos ж)1^ |
1" ^ » |
|
lim ( 1 |
^ - + о ( ж 2)) |
|
= |
е^1/2, |
||||||||
ж—>0 |
7 |
|
|
|
9 |
|
х^О \ |
2 |
4 |
V |
|
|
|
||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
+ |
|
= |
lim — |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
lim —| |
|
|
|
|
= — . |
|
||||||
|
|
|
ж-m |
ж2 +о(ж2) |
|
ж-m |
1 + о(1 ) |
|
2 |
|
|||||
Аналогично получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim ( chж)1/ ^ ln(1+:r)) = |
lim ( 1 |
+ — + о(ж2)')^ |
+°(* ” = |
е1/2. |
|||||||||||
я—>0 |
|
|
|
|
|
|
я—>0 |
\ |
|
2 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—1/2 |
|
|
|
|
Следовательно, искомый предел равен — -j— = е-1 . ▲
е 1/ 2
В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены бо лее эффективные методы вычисления пределов, основанные на ис пользовании понятия производной (§ 18, 19).
122 |
|
|
Гл. III. Предел и непрерывность функции |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
УПРАЖ НЕНИЯ К ГЛАВЕ III |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. Пусть функции / |
и у |
не им ею т предела в точке хо. Следует ли отсюда, |
||||||||||||||||||||||
что функции f |
+ у и f у такж е не им ею т предела в этой точке? |
|
||||||||||||||||||||||
2. Д оказать, что если ф ункция / |
|
непрерывна в точке хо, |
а ф ункция у |
|||||||||||||||||||||
разры вна в точке хо, то ф ункция f |
+ у |
разры вна в этой точке. |
|
|||||||||||||||||||||
3. Пусть ф ункция / |
непрерывна в точке а и для каждого S > 0 сущ ест |
|||||||||||||||||||||||
вую т точки x's € |
Ug(a) |
и x'J С Ug(a) |
|
такие, что |
|
f(x's )f(x'g) |
< |
0. Доказать, |
||||||||||||||||
что /( а ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
Д оказать, |
что |
если |
ф ункция |
|
/ |
|
непрерывна |
на |
пром еж утке |
||||||||||||||
[а, + 00) и сущ ествует конечный |
lim |
f ( x ) , |
то эта ф ункция ограничена на |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х |
— ^ + ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пром еж утке [а,+ оо). |
|
|
|
|
|
непреры вна на отрезке [а, Ъ] и f ( x ) > О |
||||||||||||||||||
5. Д оказать, что если ф ункция / |
|
|||||||||||||||||||||||
для всех х € [а, Ь], то сущ ествует число М |
|
> 0 такое, что f ( x ) |
> М |
для всех |
||||||||||||||||||||
х € [а, Ь]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R, |
то функции \ f ( x ) \ |
|||||
6. Д оказать, что если ф ункция |
/ |
|
непрерывна на |
|||||||||||||||||||||
и f(\x\) такж е непрерывны на R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Д оказать, что если ф ункция / |
|
|
непрерывна на отрезке [а, 6], то ф унк |
||||||||||||||||||||
ции т ( х ) = |
inf |
/( £ ) |
и |
М ( х ) = |
|
|
sup |
/( £ ) такж е |
непрерывны |
на этом |
||||||||||||||
отрезке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[а, 61, |
|
|
8. Д оказать, что если |
ф ункция |
/ |
определена на отрезке |
являет |
||||||||||||||||||||
ся возрастаю щ ей |
и множество ее значений — отрезок |
[/(a ),/(b )], то эта |
||||||||||||||||||||||
функция непрерывна на [а,Ъ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. Д оказать, что если ф ункция непреры вна на отрезке |
и обратима, то |
|||||||||||||||||||||||
она строго монотонна на этом отрезке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. Д оказать, |
что |
если / |
и у |
— |
непрерывные |
на |
Я |
и |
периодические |
|||||||||||||||
функции, удовлетворяю щ ие условию |
|
lim |
|
( f ( x ) |
|
—у(х) ) |
= 0, то f ( x ) = у(х) . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — * + о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Д оказать, |
что еслиа > 0,то |
|
|
а 1^™ = |
1-1 |
п |
In а + о( |
—) |
при |
п —1 оо. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ п / |
|
|
||||
12. Д оказать,что если |
а > О, Ъ > 0, |
то |
|
lim |
|
|
|
|
2 |
|
|
/ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
lim п " { л / а — |
|
п+\/а) |
|
П—tOO\ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13. Д оказать, |
что |
|
|
= 1 п а , |
|
а |
> 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n—too |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. Д оказать, |
что если |
аь |
> 0 |
|
(k = |
1,т ) , |
|
то |
|
lim |
|
1 |
Ш |
|
||||||||||
|
|
|
( — |
> |
|
|||||||||||||||||||
________________________________________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n-too |
\ т |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
______ |
|
|||||||||||
= rtyai...am. |
|
|
_____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. П оказать, |
что |
\ J х |
+ л/х ~ |
f f x |
при |
И + |
|
О |
и |
\ J х + л/х ~ |
л/х при |
|||||||||||||
х —1 + 00.
16. Н айти функцию у(х) вида у(х) = С х а , эквивалентную функции f ( x )
при х —¥ а, если:
4
а) П х ) |
= |
2 х 4 |
х |
+ |
3 ’ |
а = °’ |
а = °°; |
б) f ( x ) |
= |
'{/хй + |
3-^®, |
а = 0, |
а = оо; |
||
в) /(*) |
= |
ln (l |
+ * |
+ |
* 2) |
> а = °; |
|
|
^2 |
|
|||||
. . . . |
cos2 3* — cos2 5* |
г) f ( x ) = |
, а = 0. |
Г Л А В А IV
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§14. Производная и дифференциал
1.Задачи, приводящие к понятию производной.
а) Задача о скорости. Пусть материальная точка движется по пря мой, и пусть S = S(t) — путь, пройденный точкой за время t от начала движения. За промежуток времени от t до t + At точка пройдет путь
S(t + At) —S(t), поэтому средняя скорость за этот промежуток вре-
S(t + At ) - S( t) |
. Если рассматриваемое движение не |
мени равна г?ср = —----- ^ |
является равномерным, то г?ср при фиксированном t будет меняться при изменении At, и чем меньше At, тем лучше г?ср будет характе ризовать движение точки в момент t.
Скоростью точки в момент t (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда At —>• 0, т. е. скорость v в момент t определяется равенством
|
|
|
v = |
r |
5(t + A t ) - 5 ( t ) |
|
|
|
|
|
|
hm |
— ----------г--------— . |
|
|
||
|
|
|
|
At—>-0 |
At |
|
|
|
Таким образом, скорость движения в момент t — предел отно |
|
|||||||
шения приращения пути A S |
= 5(t + At) —S(t) за промежуток вре |
|
||||||
мени от t до t + At к прираще |
|
|
|
|||||
нию времени At, когда At —>• 0. |
|
|
|
|||||
Например, |
если материаль |
|
|
|
||||
ная точка движется по закону |
|
|
|
|||||
S = gt212 (закон свободного па |
|
|
|
|||||
дения), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
S(t + At) - |
S(t) _ |
|
|
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
|
|
|
или |
= A«i+ A*)2 *2), |
|
|
|
||||
откуда ^lim^^cp = gt, t. e. v = gt. |
|
|
|
|||||
б) |
Задача |
о |
касательной. |
|
|
|
||
Пусть функция / |
определена в ^-окрестности точки ж0 и непрерывна |
|
||||||
при х = Xq. Рассмотрим |
вопрос о касательной к графику функции |
|
||||||
у = f(x) в точке М0(хо,уо), где |
у0 = f ( x о).Если Аж — приращение |
|
||||||
аргумента такое, что 0 < |Аж| < |
S, то уравнение прямой |
I |
(р |
|||||
124 |
Гл. IV . |
Производная и ее приложения |
|
проходящ ей через точки |
А/о и А/(жо + Дж,/(жо + Аж)), можно запи |
||
сать в виде |
|
|
|
|
У ^ У о = ^ ( ж - ж 0), |
(1) |
|
где |
|
|
|
А у |
= /(ж 0 + Аж) - /(ж 0), |
= t g a . |
|
Эту прямую называют секущей, а число k = tg а — угловым коэффи циентом прямой I; здесь а = а(Дж) — угол, образуемый прямой I и осью Ож (этот угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).
Пусть Дж —1 0, тогда Ay —1 0 в силу непрерывности функции / при ж = Жо, и поэтому
М М 0 = \/(А х )2 + (А у )2 -►0.
Касательной к кривой, заданной уравнением у = /(ж) в точке А/о, естественно назвать предельное положение секущей I при Дж —1 0. Если существует
lim ^ = k0, |
(2) |
Д н о A® |
v ; |
то существует предельное положение секущей. Таким образом, если предел (2) существует, то прямая, проходящая через точку А/о с уг ловым коэффициентом ко, является касательной к графику функции у = /(ж) в точке А/о-
Рассмотренные задачи, в которых речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента, исторически привели к появлению понятия производной — одного из важнейших понятий математического анализа.
2. Определение производной.
Оп р е д е л е н и е 1. Пусть функция у = /(ж) определена в неко торой окрестности точки жо, и пусть существует конечный предел
отношения |
f(xо "4" Дж) —,/(жо) |
|
|
—-------^ — ——- при Дж —¥ 0. Тогда этот предел называ |
|||
ется производной функции / |
в точке XQ и обозначается |
/ '( жо), f'x(xо) |
|
или у'(хо), |
т. е. |
+ |
(3) |
|
№ n ) = |
||
Согласно определению производная функции у = /(ж) в точке Жо есть предел отношения приращения функции А у= / ( XQ + Ах) —/ ( жо) к приращению аргумента Дж при условии, что Дж —1 0, т. е.
(4>
Из равенства (4) следует, что
^ - f'( xo ) = е(Дж),
|
§ Ц . Производная и дифференциал |
125 |
|
где е(Дж) |
0 при Аж —1 О, откуда получаем |
|
|
Если Дж —1 0, то A y |
Ау = /'(ж 0)А ж + Д ж е(Дж ). |
(5) |
|
0, и поэтому из существования / '( жо) следует |
|||
непрерывность функции /(ж) в точке XQ.
Операция вычисления производной называется дифференциро ванием.
Пр и м е р 1. Доказать, что функции у = С ,у = ж” (те € Л/), у = sin ж, у = cos ж, у = ах имеют производные в каждой точке же / ! , и найти эти производные.
Д а) Если у = С, где С — постоянная, то Ау = С — С = 0, и поэтому
lim |
= 0, т. е. |
|
|
|
|
|
Д х - ю |
Д ж |
|
С ' = |
О |
|
|
б) Если у = ж”, где те € А/, то |
|
|
||||
Ду = (ж + Дж)” - ж” = |
|
|
|
|
||
|
= ж” + С ^ж ^Д ж + (72ж”_2(Дж)2 + ... + (Дж)” - ж”, |
|||||
|
Ау = теж”-1Дж + о(Дж), |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
||
|
ф*' = теж” - 1 + о(1 ), |
lim |
= теж”-1, |
|||
т. е. |
Д ж |
v |
75 |
Дж - m Д ж |
’ |
|
(ж”)' = |
теж”-1 , тееЛ/. |
(6) |
||||
|
||||||
в) |
Если у = sin ж, то |
|
|
|
|
|
|
Ду = вт(ж + Дж) - |
8т ж = |
2 cos ^ж + |
sin ^ . |
||
откуда
Д у |
( , |
Д ж \ |
— - = COS |
Ж + |
— |
Д ж |
V |
2 / |
/ \ у
sin ~ 2~
---- Т - ^ - .
Дж
2
Так |
/ |
ДX \ |
—1 совж при Дж —У0 в силу непрерывности |
||||
как cos I ж Н— — 1 |
|||||||
функции cos ж, а |
sin ^ |
|
, |
Ду |
|
. |
|
/ |
У1 при t —УU, то |
Д ж |
у cos ж при Дж —у 0, т. е. |
||||
|
|
|
|
|
|
||
г) |
Если у = cos ж, то |
(sin ж)' = cos ж. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
Ду = сов(ж + Дж) —cos ж = —2 sin ^ж + |
sin ^ . |
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
Д у |
|
|
|
|
|
|
lim ——= —sin ж, |
|
|
||
|
|
|
ж- m |
Д ж |
|
|
|
т. е.
(cos ж)' = —sin ж.
126 Гл. IV . Производная и ее приложения
д) |
Если у = ах, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ау = ах+Ах - ах = ах(аАх - |
1), |
^ |
= ах^~—— -, |
|
|
||||||||||||
|
11 |
|
|
|
к |
|
|
|
h |
Д * |
|
|
|
|
Дж |
’ |
|
|
откуда |
|
ах 1па при Аж |
0, так |
как а |
^ |
|
|
1 |
In а при t —¥ О |
|||||||||
(§ 13, (20)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если а > 0, а ф 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(ах)' = ах In а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||
Из формулы (7) при а = е получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||||||||
|
|
|
|
(ехУ = ех. |
▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
З а м е ч а н и е 1. |
Согласно |
формуле |
(8) |
производная показательной |
||||||||||||||
функции с основанием е совпадает с самой функцией. Э тим |
и объясняет |
|||||||||||||||||
ся тот ф акт, что в м атем атическом анализе и его приложениях в качестве |
||||||||||||||||||
основания степени и основания логарифмов обычно используется число е. |
||||||||||||||||||
Пр и м е р |
2. Найти производные функций у = log0ж (а > 0, а ф 1, |
|||||||||||||||||
ж > 0) и у = х а (a G R, ж > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А а) Если у = log0 ж, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A y = log0> |
+ Аж) - log0 |
ж = log0 |
А + |
ДжЧ |
Ay |
= |
log° ( 1 + y |
) |
l |
|||||||||
\1 + |
— J , |
А х |
|
|
А х |
|
х ' |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
ж ) ’ |
|
|
|
|
|
||||
откуда |
,. |
Ay |
1 |
|
|
|
log„(l+f) |
1 |
|
|
|
|
, * „ /с 10 |
|||||
lim |
——= —— , так как |
|
а |
t |
1 |
-— |
|
при t —¥ 0 (q 13, |
||||||||||
|
Д *-ю А х |
ж In а ’ |
|
|
|
|
|
|
In а |
|
|
|
чз |
> |
||||
(18)). Итак, если а > 0, а ф 1, ж > 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(iogo ж)' = |
—i^—- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||
Из формулы (9) при а = е получаем |
ж In а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(1п ж ) ' = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||
б) |
При а = п, где п € N, производная функции х а вычисляется по |
|||||||||||||||||
формуле (6). Покажем, что для любого a € R и при ж > 0 справедлива |
||||||||||||||||||
формула |
|
|
(ха)' = а ха^ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
( 11) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Действительно, если у = ха, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ау = (ж + Аж)а —жа = жа ^ 1 |
+ ^ |
j |
|
- |
|
l ) , |
|
|
|
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А у |
_ |
а- 1 |
\ |
|
х } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А х |
|
|
|
|
|
А х |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ^ |
----- - ->■ а |
при t —У0 (§ 13, (23)), то |
|
^ |
->■ а х 0 - 1 |
при |
||||||||||||
Аж -А 0, т. е. имеет место равенство (11). ▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
§ Ц . Производная и дифференциал |
127 |
Т е о р е м а |
1. Функция f(x) имеет производную в точке XQ тогда и |
только тогда, |
когда в некоторой окрестности точки XQ эта функция |
представима в виде |
|
|
(1 2) |
f(x) = f ( x 0) + fi(x)(x -Хо), |
|||
где fi(x) — функция, непрерывная в точке XQ и такая, что |
|
||
fi(xo) |
= f'(x0). |
|
(13) |
О Рассмотрим функцию |
|
|
|
№ ) = |
т х ~_ГУ |
- |
(14) |
Она определена в некоторой проколотой окрестности точки X Q . Если существует f'(x), то существует lim fi(xo) = f'(x о).Полагая fi(xo) =
Х—± Х о
=f '(x о), доопределим функцию fi(x) по непрерывности в точке XQ.
Функция fi(x), определяемая формулой (14) и условием (13), непре рывна в точке Хо, а из равенства (14) следует формула (12).
Обратно: из (12) следует (14), а из непрерывности функции fi(x) в точке Хо следует, что существует lim fi(x) = fi(xo), т. е. существует
|
f (.•£(О |
X —> Х о |
цт |
|
|
— L±—L= f'(xo) и справедливо равенство (13). • |
||
x-* xo |
x — Ж() |
|
3. |
Г ео м ет р и ч еск и й |
см ы сл п р о и зв о д н о й . Если функция у = |
= f(x) |
имеет производную |
в точке Хо, т. е. существует конечный |
предел |
|
|
то существует предельное положение секущей I (см. рис. 14.1), за данной уравнением (1). Это означает, что в точке MQ(XO, f(xo)) су ществует касательная 1о (см. рис. 14.1) к графику функции у = f(x),
причем согласно формуле (2) ко = f'(xo), |
где ко —угловой коэф |
фициент прямой 10. Так как ко = tgaoj |
гДе — Угол)образуемый |
касательной с положительным направлением оси абсцисс, то |
|
f'(x 0) = t g a 0- |
(15) |
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэф фициенту касательной к графику функции в точке MQ(XO, f(xo)).
Уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке
Мо{хо, f(xo j), получаемое из уравнения (1 ) заменой |
на f'(x о), |
имеет вид |
|
У = f ( xo) + f '( x0)(x — х0). |
(16) |
128 |
Гл. IV . Производная и ее приложения |
П р и м е р 3. Записать уравнение касательной к графику функции
у= еж, параллельной прямой у = ж —1 .
ДТак как угловой коэффициент касательной по условию равен уг ловому коэффициенту прямой у = ж —1 , т. е. равен единице, то из
уравнения f'(x) = ех = |
1 получаем |
ж0 = 0, а по формуле (16) при |
х 0 = 0, уо = 1 , f ' ( x о) = 1 |
находим уравнение касательной |
|
|
у = х + 1. |
А |
Пр и ме р 4. Под каким углом график функции у = sin ж пересекает ось 0 x 1
Д Синусоида пересекает ось абсцисс в точке Xk = ктт(к Е Z). Пусть «/г — угол между осью Ох и графиком функции в точке с абсцис сой Хк- По формуле (15), где /(ж ) = sin ж, находим
f ( x k) = cos for = (- 1 )к = tg ак-
Следовательно, в точках х'к = 2ктг (к Е Z) синусоида пересекает ось
Ох под углом ^ , а в точках ж/, = (2fc + 1 )7г — под углом ^ (рис. 14.2).
Рис. 14.2 |
Рис. 14.3 |
Заметим, что касательная |
к графику функции у = sin ж в точке О |
лежит при ж > 0 выше графика функции у = sin ж, а при ж < 0 — ниже этого графика, так как | зтж | < |ж| при ж ф 0. А
Пусть существует / '( жо). Проведем через точку Мо(жо, /(жо)) пря мую гпо, перпендикулярную касательной Iq (рис. 14.3). Эту прямую называют нормалью к графику функции у = f ( ж) в точке М0.
Если А, С, В — точки пересечения с осью Ох соответственно касательной IQ, нормали шо и прямой, проходящей через MQ парал лельно оси Оу, то отрезок АВ называют подкасателънощ а отрезок
ВС — поднормалью. |
|
Упражнение 1. |
Показать, что если f (жо) ф 0, то: |
а) уравнение нормали шо можно записать в виде |
|
б) \АВ\ = /(жо) |
y = f{xo)- f W ) i x - Xo)' |
\ВС\ = \f(x0) f ( x 0)\. |
|
Г(х о) |
|
§14Производная и дифференциал |
129 |
4. Односторонние и бесконечные производные. По анало гии с односторонними пределами вводятся понятия левой и правой производных. Если функция у = /(ж) непрерывна слева в точке жо и существует предел
/\ 7у
lim -г-, где Ay = f( x 0 + Ах) - f ( x 0),
А х —>— О LAX
то этот предел называют левой производной функции / в точке жо и обозначают f'_(xо). Аналогично, если функция у = /(ж) непрерывна
справа в точке жо, то предел lim |
^ называют правой производной |
х —ц - о |
Д ж |
функции / в точке жо и обозначают /+(жо). |
|
Прямые, проходящие через точку Мо(жо, f(xo)) с угловыми коэф фициентами f'_(жо) и /+(жо), называют соответственно левой и правой
касательными к графику функции у = |
ж) в точке Mq. |
|
Из существования производной |
/'(жо) следует |
существование |
f'_(xo) и /+(жо) и равенство |
|
|
/! ( ж 0) = / | ( жо) |
= /'(ж о). |
(17) |
Вэтом случае левая и правая касательные к графику функции у =
=/(ж) в точке М0 совпадают с касательной в точке М0.
Обратно: если существуют левая и правая производные функ ции / в точке жо и выполняется условие f'_(жо) = /+(жо), то сущест вует /'(жо) и справедливо равенство (17).
Пр и ме р 5. Найти левую и правую производные функции /(ж) = = |ж| в точке жо = 0.
Д Здесь Ау = |Дж|, и поэтому
f'-(x о) = lim |
= lim |
= - 1 , /+(ж0) = |
lim ^ = 1. |
Дж— —о Дж |
Дж— —о Дж |
^ |
Дж—>-+0 Д ж |
Прямые у = —ж и у = ж являются соответственно левой и правой касательными к графику функции у =
= |ж| в точке О (рис 14.4). А
Замечание 2. Так как f'_ (жо) ф /+(жо) для функции /(ж ) = ж|, то непрерывная в точке жо = 0 функция ж| не имеет производной в этой точке. Этот пример показывает, что из непрерывности функции / в точке жо не следует существование ее производной в данной точке.
Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пусть функция у = /(ж) непрерывна в точке жо, и пусть
lim |
= lim f(x о + Аж) - /(жо) _ ОО. |
(18) |
ж—>-0 Дж ж—>-0 |
Дж |