Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

в предположении существования

и

.

1) dn(Au + B v) = A d nu + В dnv,

А, В — постоянные;

П

О

Действительно, пусть х = <f(t), тогда у = f(x)

= f(<p(t)). Если сущ ест­

вую т } ”{х) и

то, используя определение дифференциала и правила

диф ференцирования произведения и сложной функции, получаем

откуда

dy = f'(x) dx = f'(<p(t))<p'(t) dt,

= (/'(¥>(*))¥>'(*))'Я 2 = f " ( v ( m v ( t ) d t f + f(<p(tW(t)dt2.

i y

Т ак

как

dt

= dx, ip"(t) dt" = d x. to

d2y = f " (x) d x 2 + f (x) d2x,

или

dry = y"dx2 + y d 2x.

(23)

f ( x ) > f ( x о).

(1)

Аналогично, если существует число 6 > 0 такое,

что для всех

х G US (XQ) выполняется неравенство

(2)

f(x) «Сf ( x о),

§17. Основные теоремы для дифференцируемых функций

151

максимум при ж = 3.

Т е о р е м а 1 (Ферма). Если функция /(ж)

имеет локальный экст­

ремум в точке жо и дифференцируема в этой точке, то

/ ' Ы = о.

(з)

f(x) -

f ( x о) ^ 0.

(4)

Если ж Е (жо —S, жо), то ж —жо < 0,

и из условия (4) следует, что

/(ж) -

/(жо)

^ 0,

(5)

ж —Жо

а если ж Е (жо,жо + £), то выполняется неравенство

/(ж ) -

/(жо)

> 0.

(6)

ж —Жо

/ ' Ы

^ о.

(7)

Аналогично, переходя к пределу в неравенстве (6), получаем

/ ' Ы

^ о.

(8)

Из неравенств (7) и (8) следует, что /'(жо) = 0. •

З а м е ч а н и е

1. Теорема Ферма имеет простой геом етрический смысл:

касательная к граф ику функции у =

/(ж ) в точке локального экстрем ум а

(жо,/(жо)) параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).

2. Теорема Ролля о нулях производной.

Т е о р е м а

2 (Ролля). Если функция /(ж) непрерывна на отрез­

ке [а, Ь], принимает в концах этого отрезка равные значения,

т. е.

/(а) =

/ ( 6),

(9)

152

Гл. IV . Производная и ее приложения

£ G (а, Ъ) такая, что

О Обозначим

А О

= о-

(ю)

М = sup /(ж),

т = inf /(ж). По теореме

Вей-

такое, что Us(ci) С (а, Ь).

Так как для всех ж G ^ ( d )

выполняется

условие /(ж) ^ /(ci) = ш,

то по теореме Ферма /'( d ) =

т- е- усло­

Рис. 17.5

Рис. 17.6

154

Гл. IV . Производная и ее приложения

f(x0 + Ах) -

f(x0) = Дх/'(£),

(14)

где £ — некоторая внутренняя точка отрезка I.

П усть Ах > 0; тогда 0 < £ —хо < Ах (рис. 17.8), и поэтому 0 <

- — — < 1.

Полагая в = -——, получаем

А х

А х

’

J

£ = хо +

0 Д х ,

где

0 <

0 < 1.

(15)

Аналогично,

если

Ах < 0,

то

0 <

хо — £ <

|Д х| (рис. 17.9), и

поэтому

U <

^

, тт

Ci

=

01 К\

—А х

< 1. Полагая в = -------

А х

, снова получаем равенство (15),

1.

—А х

где 0 < В <

Следовательно, равенство (14) можно записать

в виде

f ( x о + А х ) -

/(х о )

= А х

/'(х о

+

0 А х ) ,

(16)

ного равенства

/(х о + Ах) -

/ ( х 0) и

Д х / '( х 0),

которое иногда назы ваю т формулой бесконечно малых приращений.

Пр и м е р 1. Доказать, что

1п(1 + ж) <ж

при

х > 0,

(17)

|arctgX2 —arctgxi|

|жг —жг|,

х\ € R,

is € R.

(18)

Д а) Применяя теорему Лагранжа к функции /(ж) = ln(l + ж) на от­

резке

[0, ж], где х > 0, получаем

1п(1 + ж) =

х. откуда

следует

неравенство (17), так как 0 < £ < х.

1 + £

б)

По теореме Лагранжа для функции arctg ж на отрезке с концами

Жг и Ж2 находим

arctgх2 —arctg жг =

1

(жг —х±),

1 + ? ■

откуда получаем | arctgЖ2 —arctgжг| =

^ ^

|жг —Жд |, так как

1

1 + ? "

о < — Ц - «с 1 . ▲

1

+ £2

Ж2 = ж,

х± = 0, получаем

Полагая в соотношении (18)

| arctgж| ^

|ж|,

ж €

R,

(19)

и, в частности,

0 ^ arctg ж ^ ж,

ж ^ 0.

(20)

156

Гл. IV . Производная и ее приложения

Предположим, что функция /(ж) дифференцируема в точке XQ,

тогда

f'-(xo) = Д (ж 0) = f '(x0).

(26)

lim

/'(ж) =

lim /'(ж) = f ( x 0).

x—

—0

%—^жо+0

Пр име р

2ж

2. Найти /1(1) и /+(1), если /(ж) = arcsin j-j-—т-

А Функция / определена на R, так как 1 + ж2

2|ж|. Вычислив про­

изводную, получим

.

1

2(1 —аг)

2(1 -

аг)

. .

,

J

(х > =

----,-----------------

75--------------= -75----- +775----+ 7 7 )

Ж

Ф

1,

J

х J

1

2

Л2 (1

+ а:2)2

1

- х2 (1

+ а:2) ’

1

| г

’

откуда

Л + ж

/

о

1

1

если

|х| <

f ( x )

= <

+а:2’

2

если

I I

!

1 .

, _ 1~+~ж2’

|ж| >

Применяя следствие 3, получаем

f'_( 1 ) =

lim

/ ' (ж) =

lim nT^ - y

= l.

х —^ 1—0

х —^1 —0 1 +

Х~

Аналогично находим

/ 1 (1 ) = Пт

+ а:2

= - 1.

J +y

J

Ж—>1+0 V 1

Пр име р

3. Найти точки разрыва функции /'(ж), если

ttx\ _ /

х 2 sin -

ПРИ

х ф О,

[О

* при

ж =

0.

9 - 1

лению производной /'(0)

х~sm -

= lim -------— = 0. Следовательно, функ­

ция /'(ж) определена на

Я и непрерывна при ж ф 0. В точке ж = 0

/Чж) =2ж sin —— cos —при ж + 0.▲

J v'

х

х

§17. Основные теоремы для дифференцируемых функций

157

С л е д с т в и е 4. Если функции (риф дифференцируемы при ж ф Жо

и удовлетворяют условиям р(хо) = ф(хо),

р'(х) > ф'(х) при х > X Q ,

то р(х) > ф(х) при х > Жо-

/(ж) = р(х) —ф(ж) на

0

Применяя теорему Лагранжа

к функции

отрезке [жо, ж], где ж >

Жо,

получаем /(ж)

=

/'(^)(ж — Жо),

так как

/ ( Жо) = 0. Отсюда, учитывая, что

£ > ж 0,

/'(С) =

</?'(£) - Ф '( 0

> о,

получаем /(ж) > 0, т. е. р(х)

> ф(ж) при ж > Жо- •

Пр и м е р 4. Доказать, что

9

1п(1 + ж) > ж —

Т~

ж > 0.

(27)

при

9

А

Пусть

р(х) = 1п(1 + ж),

х~

тогда уфО)

= ф(0),

ф(ж) = ж — —,

р'(х)

= —-—, ф'(ж) = 1

—ж, и при ж > 0

справедливо неравенство

1

1

+ х

1

> 1 —ж, так как при ж > U это неравенство равносильно очевид-

+ х

Т е о р е м а 4. Если функции /(ж) и д(ж)

непрерывны на отрезке

[а,Ь], дифференцируемы на интервале (а,Ь),

причем д'(ж) ^ 0 во всеж

такая, что

f (£)

f(b) ^ f(a)

y(b)-g(a)

g ' W

{S)

m - f ( a ) + X(g(b)-g(a)) = 0.

(29)

условиям теоремы4.Итак, д(Ь) — д(а) ф 0, иизравенства

(29) сле­

дует, что

f(b) -

f(a)

ч _

/-опч

А“ У

й -

J W

(30)

/'(£) + Л<?'(£) =

0, откуда

/'(£)

и форму-

УД = —Л. Из этого равенства

5 (?)

лы (30) следует утверждение (28). •

З а м е ч а н и е

6. Теорем а Л агранж а — частны й случай теорем ы Коши

(у(х) = х).

З а м е ч а н и е

7. Т еорем у 4 нельзя получить применением

теоремы 3

к числителю и знаменателю

дроби, стоящ ей в левой части равенства (28).

Действительно, эту дробь по теореме 3 можно записать в виде

/'( 6 ) , где

£i

€ (а,Ь), € (а,Ь),

но, вообще говоря, £i / £ г -

У (&)

У п р а ж н е н и е .

Пусть ф ункция f ( x ) дифференцируема на отрезке [а, Ь]

и

f ( a ) <

Д оказать, что для любого А, удовлетворяю щ его условию

порядка, то существует многочлен Рп(х)

степени не выше п такой,

что

Р п ( х 0) = f ( x o) ,

P i k)(xo)

= f {k)(xo),

* = м .

(1)

Этот многочлен представляется в виде

Рп (х) = / ( ж 0) +

;Ц у ^ ( ж -

Жо) +

^ ^

(ж -

Ж0 ) 2 + ...

f(n

Х ^ х 0)п.

(2)

...+

п\

О Пусть <Дж) =

(ж —ж0)та, где то € N. Тогда ip(xo) = 0

(fc)

=

]

0,

если

* # т о ,

’

(3)

< ^% o )

,

если

'

( к! ,

к = то.

Q^x) = Y ,

Я [к)(хоЬ_ „ ч*

4LJz r l (.*-xo)h-

к=0

к\

§18. Формула

Тейлора

159

Л е м м а 2. Пусть функции ф х)

и ф(х)

определены в 8-окрестнос­

ти точки Хо и удовлетворяют следующим условиям:

1 ) для каждого х £ Ug(xo) существуют

(х) и ф(п + 1'1 (ж);

2) ф х 0) = ф(х о) =

... =

ф п)(хо) =

О,

ф(х0) = ф'(х0) =

■■■=ф{п)(хо) = 0;___________

^

3) ф(х) ф О, ф(кЦх) ф О для х £ Ug(xо) и для к = 1,п+ 1.

Тогда для каждого х £ US (XQ) существует точка £, принадлежа­

щая интервалу с концами XQ и х такая, что

Ф )

= Фп+1ч е

(гл

ф(х)

^(»+!)(^)'

{ J

О Пусть, например, х £ (Xq,Xq + 8).

Тогда, применяя к функциям tp

и ф на отрезке [жо,ж] теорему Коши

(§ 17) и учитывая, что (р(хо) =

= ф(хо) = 0 в силу условий (4), получаем

<р(х)

ip(x) -

ip(xo)

Ф ( Ф )

. f

6)

IИ

= i r i — т И

=

77тН> хо

< Ci < ж-

ф(х)

ф(х)-ф(хо)

Ф (ф)

Аналогично, применяя к функциямф и ф'на отрезке

[жо,^] теорему

Коши, находим

Ф ( Ф )

= Ф (6 ) -

у 'Ы

=

Ф 'Ф Ф

< с

< г

(7\

Ф'(Ф)

Ф'(Ф) -

Ф'(хо)

ф"(фУ

°

Из равенств (6) и (7) следует, что

р{х) _

ф(ф) _

ф'(фф

хо < & < ф < х < х0 + 8.

Ф(х)

ф'(ф)

ф"{ф)'

Ф ) _ ФФФ

_

_ Ф п]Фп) _

Ф п+1ч е

Ф(х) ф'(ф)

ф{п)фп)

Ф{П+1)(0 ’

интервалу А с концами Хо и ж, такая, что

/(ж) = / ( Жо) + t - j^ - ( x - Жо) + ... + ^ ^ ° \ х -

Жо)” +

+ ;

^ / ( ж - ж о ) ^ 1. (8)

(те

ij.