Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015
.pdf40 |
Гл. II. Предел последовательности |
Д |
На числовой оси члены последовательности {хп} изображаются |
точками —1 и 1, причем ж2к = 1, %2k-i — —1? к е N. Любое число а, где а ф ± 1 , не может быть пределом последовательности, так как существует г-окрестность точки а (достаточно взять г = min(|a + 1 |, [а —11)), не содержащая ни одного члена последовательности. Число 1 также не является пределом последовательности, так как существует такая г-окрестность точки а (г = 1 / 2), что вне ее содержится бес конечно много членов последовательности (все члены с нечетными номерами). Аналогичное утверждение справедливо и для точки —1. Таким образом, ни одно число не является пределом последователь ности, т. е. {хп} — расходящаяся последовательность. А
У п р а ж н е н и е 1. Доказать, |
что если lim х п = а, то |
|
п —>оо |
lim \хп \ = М, |
lim (xn+i ~ х п) = 0. |
п —>оо |
п —>оо |
3.Единственность предела последовательности.
Те о р е м а 1. Числовая последовательность может иметь только один предел.
ОПредположим, что последовательность {хп} имеет два различных предела а и 6, причем а <Ъ (рис. 4.2). Выберем г > 0 таким, чтобы
г-окрестности точек а и b не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, г = (Ъ —а)/3. Так как число а — предел после довательности {жп}, то по заданному г > 0 можно найти номер N такой, что хп G U£(a) для всех п ^ N. Поэтому вне интервала U£(a) может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал U£(b) может содержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что b — предел последовательности (любая окрестность точки b должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противо речие показывает, что последовательность не может иметь два раз личных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел. •
4. Ограниченность сходящейся последовательности. Пос ледовательность {хп} называется ограниченной снизу, если существу ет такое число Ci, что все члены последовательности удовлетворяют условию хп ^ Ci, т. е.
3 C i: Vn G N —>• хп ^ С\.
§4■ Определение предела последовательности |
41 |
Последовательность {хп} называется ограниченной сверху, если
ЗС2: VnG N ^ t x n ф С 2■
Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называ ют ограниченной, т. е. последовательность {хп} называется ограни ченной, если
НГ, 3С2 : Vn G N -> Ci «Схп ф С2. |
(5) |
Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.
З а м е ч а н и е 1. |
Условие (5) равносильно следующему: |
|
|
|
3(7 > 0: Vn е N - 1 |ж„| ^ (7. |
(6) |
|
В самом деле, из условия (6) следует (5), если |
взять С\ = —С, С% = |
(7, а из |
|
условия (5) следует |
(6), если взять (7 = m ax ( |
|(7i|, |<7г|). |
|
Геометрически ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности содержатся в С-окрестности точки нуль.
Т е о р е м а 2. Если последовательность имеет предел, то она огра ничена.
О Пусть последовательность {хп} имеет предел, равный а. По опре делению предела для е = 1 найдем номер N такой, что при всех пф N имеет место неравенство \хп —а\ < 1. Так как модуль суммы не пре восходит суммы модулей, то
\хп\ = \хп - а + а\ ф \хп - а\ + |а|. |
|
|
Поэтому при всех ri > N выполняется неравенство |
|
|
\хп\ < 1 + |
|а|. |
|
Положим с = max (1 + |а|, |жд|,..., |xjy-i|), тогда \хп\ ф С |
при всех |
|
п £ N, т. е. последовательность {хп} ограничена. • |
|
|
З а м е ч а н и е 2. В силу теоремы |
2 всякая сходящ аяся |
последова |
тельность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограничен ная последовательность является сходящейся. Например, последователь ность {( — 1)"} ограничена, но не является сходящ ейся (пример 5).
З а м е ч а н и е 3. Если условие (6) не вы полняется, т. е. |
|
|||
|
УС > 0 |
Зпс> € N : \х„с | > С, |
|
|
то говорят, что последовательность {®п} не ограничена. |
|
|||
Пр и м е р |
6. Доказать, |
что |
последовательность {1/у п} |
является |
ограниченной, если lim уп = Ъ, |
Ъф 0 и уп ф 0, для всех п £ N. |
|||
А Так как |
п—too |
|
|
|
Ъф 0, то |Ь| > 0. По заданному числу е = |Ь|/2 в силу |
||||
определения предела последовательности найдется номер NQ такой, |
||||
что |
|
|
|
|
|
У п ф М о ^ |уп |
(7) |
||
42 |
Гл. II. Предел последовательности |
Используя неравенство для модуля разности
\Ц - \уп\ ^ IУп - Ц
и неравенство (7), получаем \Ь\ —\уп\ < \Ь\/2 , откуда \уп\ > \Ь\/2 , и поэтому для всех п ^ Nq справедливо неравенство |1 /^/п| < 2/|Ь|.
Пусть С = max ( — |
г— -— г, |
, тогда для всех п Е N выпол- |
||||
|
|
42/11 |
IVNO—I I \ь\/ |
|
||
няется неравенство \1 /уп\ ^ |
С, т. е. { 1 /уп} — ограниченная последо |
|||||
вательность. А |
|
|
|
|
|
|
У п р а ж н е н и е |
2. Доказать, что последовательность { х п } |
ограничена, |
||||
если: |
П 1 |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||
\ |
1 |
|
б) |
nz |
|
|
a)xn = y |
—— ; |
= — , а > |
1 . |
|
||
z |
' п+ к |
|
|
ап |
|
|
к=1 |
3. Доказать, что последовательность { х п } |
|
||||
У п р а ж н е н и е |
не ограниче |
|||||
на, если: |
|
|
|
|
|
|
а) х п = |
п(-1)"; |
б) |
ж„ = |
Пх/гс . |
|
|
|
|
|
Зп + 4 |
|
|
|
5.Свойства сходящихся последовательностей, связанные
снеравенствами.
Те о р е м а 3. Если последовательности {хп}, {^п} 5{^п} таковы,
что
%п ^ Уп ^ |
для |
п ^ No, |
(8) |
|
lim |
жп = |
lim |
zn = а, |
|
n —>• оо |
n —>- оо |
|
|
|
mo последовательность {уп} сходится и |
|
|||
|
lim |
= а. |
|
|
|
П—>•ОО |
|
|
|
О По определению предела для любого г > 0 найдутся номера N\ =
=Ni (г) и TV2 = TV2(s) такие, что хп Е Ue(а) при всех n ^ N \ и zn £Ue(а) при всех п ^ TV2. Отсюда и из условия (8) следует (рис. 4.3), что при
всех N , где TV = max (7V0, Это означает, что существует
^ 2), выполняется условие уп Е U£(a). lim уп = а. •
п—>- оо
За м е ч а н и е 4. Теорему 3 называю т теоремой о трех последователь ностях или теоремой о пределе “заж атой” последовательности.
Пр и ме р 7. Пусть ап ^ —1 при всех п Е А/ и |
lim а п = 0. Дока- |
зать, что |
п —>- оо |
|
|
lim \/1 + а п = 1, к е N. |
(9) |
п—Уоо |
|
§4■ Определение предела последовательности |
43 |
|||||
А Докажем сначала, что |
|
|
|
|
|
|
1 —|®га| ^ \/1 |
+ а п |
1 + \ап\, |
п (ЕN, |
к (Е N . |
(Ю) |
|
В самом деле, если а п ^ |
0, то |
|
|
|
|
|
1 sj \/1 + а п |
( \/1 |
+а п)к = |
1 + О-n = |
1 + |о!п|, |
|
|
а если —1 ^ а п < 0, то |
|
|
|
|
|
|
1 ^ \/1 + a n ^ |
( \/1 |
+ a n ) k = |
1 + |
a n = |
1 — |а п |, |
|
откуда следуют неравенства (10). Применяя теорему 3, получаем утверждение (9). ▲
Пр и м е р 8. Доказать, что если а > 1, то |
|
lim Х/а = 1. |
(11) |
п —>оо |
|
А Если а > 1, то Х/а > 1. Обозначая 1)/а —1 = а п, получаем |
Х/а = |
1 - п„. I де п„ > 0, откуда |
|
а = (1 + а п)п > а пп |
(1 2) |
в силу неравенства Бернулли. Так как а п > 0, то из (12) следует, что
0 < |
а п < а/п, т. е. 0 < Х/а —1 < а/п. Применяя теорему 3 и резуль |
тат |
примера 2, б), получаем соотношение (1 1). ▲ |
Пр име р 9. Доказать, что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim Х/Ц=1. |
|
|
|
(13) |
|
|
|
|
п —>оо |
|
|
|
|
|
А Заметим, что |
Х/п —1 = а п > 0 при ri > 1, откуда ri = (1 + а п)п > |
|||||||
> С\с?п (§ 3, п. 5, |
(53)), где С \ = П^П |
^ |
при п > 2. Следова- |
|||||
п 2 |
9 |
9 |
4 |
как |
_ |
_ |
а п < |
2 |
тельно, п > — at,, |
или at, |
< —, и так |
а п > 0, то |
0 < |
у/п |
|||
4 |
s |
1 |
п |
|
|
|
|
|
т. е.
0 < Х/п —1 < -^=.
у/п
Используя теорему 3 и результат примера 2, б), получаем утвержде ние (13). ▲
Пр и м е р 10. Пусть а > 1, р € N. Доказать, что
|
|
|
|
|
|
|
|
„ р |
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
lim — = 0. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
П—¥ОО ап |
|
|
|
|
|
А Если |
|
а > 1, то |
а = 1 + а, |
где а > 0, откуда |
ап = (1 + а)п > |
|||||||
> Ср+1а р+1 при п > р (§ 3, п. 5, (53)). |
р) |
|
|
|
||||||||
ТТ |
|
|
. |
|
|
ЛЮ+1 |
п (п - 1)...(п - |
п |
1 )| |
( п \ р |
||
Пусть п |
> 2р, |
тогда Ср+ 1 = |
— (p + i)|— |
> |
(р + |
( 2 ) ’ так |
||||||
как п — |
1 |
^ |
п |
1 |
/ 7 |
/ |
П |
|
П |
^ пР |
^ |
2Р(р + 1)! |
|
|
~2 ПРИ |
|
^ |
^ |
Р' ^ тсюДа следует, что 0 |
< — < ——-----—, |
|||||
и поэтому справедливо утверждение (14). ▲
44 |
|
Гл. II. Предел последовательности |
|
|
|
|||||
|
Т е о р е м а 4. Если |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
х п = a, |
lim уп = Ь, |
|
|
(15) |
||
причем |
|
П —¥ ОО |
П —¥ ОО |
|
|
|
|
|||
|
|
а < Ь, |
|
|
|
|
(16) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то |
|
|
3N0: Vn > N0 |
|
х п < уп. |
|
|
(17) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
О |
Как и в теореме |
1, выберем е > 0 таким, чтобы е-окрестности |
||||||||
точек |
а и Ъ(рис. |
4.2) |
не пересекались |
(возьмем,например, |
е = |
|||||
= (Ь — |
а)/3> 0).Согласно определению предела по заданному еможно |
|||||||||
найти номера Ni и N2 |
такие, что |
х п € Ue(a) при всех |
ri ^ |
Ni и |
||||||
уп € Ue(b) при всех п ^ |
N2. Пусть |
Nq = max (N1 , N2 |
). Тогда при |
|||||||
всех пЗ> N0 выполняются неравенства |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
хп < а + е < Ъ- е < уп, |
|
|
|
||||
откуда следует утверждение (17). • |
|
|
|
|
|
|
||||
|
С л е д с т в и е 1. Если |
lim хп = а |
и а < Ь, то |
|
|
|
||||
|
|
|
|
П —¥ ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3N0: Vn > N0 -> х п < Ъ. |
|
|
(18) |
||||
О |
Для |
доказательства утверждения |
(18) |
достаточно |
в |
теореме 2 |
||||
взять уп = Ь, п € N. • |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С л е д с т в и е 2. Если |
lim х п = а, |
Ит |
уп = Ъ и |
|
|
|
|||
|
|
|
|
п —>оо |
|
п —too |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vn G N ->■ х п > Уп, |
|
|
(19) |
|||
то |
|
|
|
аЗ>Ь. |
|
|
|
|
(20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ОПредположим, что неравенство (20) не выполняется. Тогда а < Ъ
ипо теореме 4 справедливо утверждение (17), которое противоречит условию (19). Поэтому должно выполняться неравенство (20). •
|
З а м е ч а н и е 5. В частности, если для сходящ ейся последовательности |
||||
{ х п } выполняется для всех п € N (или для всех п 3} No)неравенство х п |
^ а. |
||||
(х п |
/3), то |
lim х п |
( lim х п |
/3). Отсюдаследует, что если все |
чле- |
|
|
П—>ОС |
n-4-oО |
{ х п } принадлеж ат отрезку [а ,Ъ], |
|
ны |
сходящ ейся последовательности |
т. е. |
|||
а |
х п Ь для всех и £ |
IV, то и предел этой последовательности принадле |
|||
ж ит отрезку |
[а, Ъ], т . е. |
а S$ lim х п |
5$ Ъ. |
|
|
п—*оО
За м е ч а н и е 6. В следствии 2 утверж дается, что если соответствую
щие члены двух сходящ ихся последовательностей связаны знаком |
нестро |
гого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих |
|
последовательностей. Короче: предельный переход сохраняет знак |
нестро |
гого неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не со |
|
храняется, т. е. если х п > Уп при п 3} No и |
последовательности |
{ х п }, {Уп} |
|||
сходятся, то |
lim х п |
lim |
уп . Например, |
если х п = 1 + —, |
= 1 — —, |
п-4-оо |
п-4-оо |
Т1 |
ТЬ |
||
то х п > Уп, п |
€ А/, но |
lim |
х п = lim уп = |
1. |
|
|
|
П—¥0О |
П—¥0О |
|
|
§5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности |
45 |
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями
1. Бесконечно малые последовательности. Последователь ность {ап} называется бесконечно малой, если
lim а п = 0.
П —¥ ОО
Это означает, что для любого е > 0 найдется номер N = Ne такой, что \ап —0| = \ап\ < е для всех п ^ Ne.
Понятие бесконечно малой последовательности используется для доказательства свойств сходящихся последовательностей. Пусть чис ло а — предел последовательности {хп}. Обозначим а п = х п —а. По определению предела
Ve > 0 3Ne: Vn Ne \xn —a\ = \an\ < e,
т. e. {an} — бесконечно малая последовательность. Обратно: если хп = а + а п, где {а п} — бесконечно малая последовательность, то lim х п = а.
П —¥ ОО
Приведем примеры бесконечно малых последовательностей, ис пользуя результаты примеров 2, 8 - 1 0:
а) {а/тег}, а £ R, |
г = —, |
то |
G /V; |
б) |
{<?”}, |
|<?| < |
1; |
||
в) |
{tya — 1 }, |
а |
> 1 ; |
г) |
{ ^J/те —1 }; |
д) {np/a nj, p £ N , а > 1 . |
|||
При |
изучении свойств сходящихся последовательностей нам по |
||||||||
требуется ввести |
арифметические |
операции |
над |
последователь |
|||||
ностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {хп} и {уп} соответственно последова тельности {хп + уп}, {хп - у п}, {хпуп}, {Хп/уп}. При определении частного предполагается, что уп ф 0 для всех п £ N.
Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами:
а) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых по следовательностей есть бесконечно малая последовательность;
б) произведение бесконечно малой последовательности на огра ниченную последовательность является бесконечно малой последова тельностью.
О а) Пусть {ап} и {/Зп} — бесконечно малые последовательности. Тогда для любого е > 0 существуют номера Ni = А/фе) и N 2 = ^ ( е ) такие, что |а п| < е/2 при всех ri ^ Ni и \(Зп\ < е/2 при всех п ^ N 2. Если N = Ne = max (N1 , N 2), то, используя неравенства для модуля суммы (разности), получаем для всех ri ^ N неравенство
\otn ± Рп\ ^ \otn\ + |Рп\ < g + 2 = £ ’
46 |
Гл. II. Предел последовательности |
Следовательно, {ап =Ь /Зп} — бесконечно малая последовательность. Доказанное свойство с помощью индукции распространяется на
любое число слагаемых.
б) Пусть {<тп} — ограниченная последовательность, {/Зп} — беско нечно малая последовательность. По определению ограниченной пос ледовательности
ЗС > 0 : Vn е N -> \OLJI| < С,
а по определению бесконечно малой последовательности
Ve > 0 3Ne : V n > N e ^ \рп\ <
Отсюда следует, что
Vn ^ Ne -» \ап(Зп\ = \ап\ ■\(Зп\ < ^ С = е,
т.е. {ап(Зп} — бесконечно малая последовательность. •
Вчастности, если {<тп} — стационарная последовательность, т. е. ап = а для всех п Е Л/, а {/Зп} — бесконечно малая последовательность,
то {ап(Зп} — бесконечно малая последовательность.
З а м е ч а н и е . |
Т ак как бесконечно малая последовательность ограниче |
на (§ 4, теорема 2), то из доказанного свойства следует, что произведение |
|
конечного числа |
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно |
малая последовательность. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Бесконечно большие последовательности. Последователь |
||||||
ность {хп} называется бесконечно большой, если для любого S > 0 |
|||||||
существует такой номер |
что для всех п ^ |
N# выполняется |
не |
||||
равенство \хп\ > S. В этом случае пишут |
lim |
= |
оо и говорят, |
что |
|||
|
|
|
п—Уоо |
|
|
|
|
последовательность имеет бесконечный предел. |
|
|
|
|
|||
Используя логические символы, это определение можно записать |
|||||||
так: |
{ lim хп = оо} 4=> V(5 > 0 3Ns : Vn ^ N$ |
\хп\ > S. |
(1 ) |
||||
|
|||||||
|
п—Уоо |
|
|
|
|
|
|
Дадим |
геометрическую |
интерпретацию |
определения |
(1). Назовем |
|||
й-окрестностью оо (рис. 5.1) множество Е = {х |
Е R: |
\х\ > 5}. Если |
|||||
Рис. 5.1
последовательность {хп} имеет бесконечный предел, то в любой 5-окрестности оо лежат все члены последовательности, за исключе нием, быть может, конечного числа членов.
Аналогично вводятся для последовательности {хп} понятия бес конечного предела, равного —оо и +оо. Эти пределы обозначаются
§5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности |
47 |
соответственно символами lim х п = —оо и lim х п = +оо и опреде-
ляются так: |
|
п —» оо |
п —» оо |
|
|
|
|
|
|
{ lim |
х п = ^оо} |
У6 > 0 |
3Ng : Vn (J; Ng -+ x n < —6, |
(2) |
П —¥ OO |
x n = + 00} 44> У6 > 0 |
|
|
|
{ lim |
3Ng : Vn (J; Ng -+ xn > 6. |
(3) |
||
П —¥ OO |
|
|
|
|
Множества Eg = {x € R : |
x < |
и Еь, = {x € R : x > 5}, где S > 0, |
||
назовем ^-окрестностями ^oo и +oo соответственно (см. рис. 5.1). Тогда Е = Eg U Е2 ■
Согласно определению (3) последовательность {хп} имеет предел, равный +оо, если в ^-окрестности символа +оо содержатся все члены этой последовательности, за исключением, быть может, конечного числа их. Аналогичный смысл имеет определение (2).
В дальнейшем под пределом последовательности будем понимать конечный предел, если не оговорено противное.
Приведем примеры последовательностей, имеющих бесконечный
предел. |
|
|
Если хп = |
—\/п, то lim хп = —оо; |
если х п = п2/(п + 2), то |
lim хп = +оо; |
П —¥ ОО |
хп = оо. |
если х п = (—1 )”2”, то lim |
||
П —¥ ОО |
П —¥ ОО |
|
У п р а ж н е н и е 1. Д оказать, что если х п ф 0 для всех п € А/, то последо вательность {хп} является бесконечно большой тогда и только тогда, когда
{1 / х п } — бесконечно малая последовательность.
Уп р а ж н е н и е 2. Можно ли утверж дать, что:
а) всякая бесконечно большая последовательность является неограни ченной;
б) всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой?
У п р а ж н е н и е 3. Пусть { х п } — ограниченная, а {уп } — бесконечно большая последовательность. Д оказать, что {+„ + уп } — бесконечно боль шая последовательность.
|
У п р а ж н е н и е |
4. Д оказать, что если lim х п = + 00, |
lim уп = + оо, то |
|
1 ■ |
х пуп |
, |
п —¥ оо |
п —¥ оо |
п т |
= +оо. |
|
|
|
п- + о о
3.Арифметические операции над сходящимися последо вательностями.
Те оре ма . Если lim |
х п = a, |
lim |
уп = Ь, то: |
|||
а) |
|
|
п —Фоо |
п —too |
|
|
lim (хп + уп) = а + Ъ; |
|
|
||||
б) |
П - Ф О О |
|
|
|
|
|
lim (хпуп) = аЪ; |
|
|
|
|||
|
П - Ф О О |
|
|
|
|
|
в) |
lim — = |
^ при условии, |
что |
уп ф 0 (п € N) и Ъф 0. |
||
|
га-» оо |
У п |
О |
|
|
|
О Так как |
lim |
хп = a, |
lim уп = Ь, то х п = а + а п, уп = Ъ+ /Зп, где |
|||
|
|
П - Ф О О |
|
П - Ф О О |
|
|
{ап} и {(Зп} — бесконечно малые последовательности.
48 |
Гл. II. Предел последовательности |
а) Из равенства х п + уп = а + Ъ+ а п + /Зп, где {ап + /Зп} — бес конечно малая последовательность, следует, что х п + уп -А а + Ъпри
п —¥ оо.
б) Воспользуемся равенством
3‘пУп —^4^ Т &Рп Т Ь&п Т ^пРп■
Так как {ап} и {/Зп} — бесконечно малые последовательности, то по следовательности {а/Зп}, {Ъап} и {ап(Зп} также являются бесконечно малыми, откуда следует, что {а(Зп + Ъап + а п/Зп} — бесконечно ма лая последовательность. Поэтому хпуп -A ab при ri -А оо.
в) Докажем, что |
< — —- > — бесконечно малая последователь- |
|||||
„ |
|
а |
L Уп Ъ J |
( |
а а \ |
1 |
Хп |
(а + ап)Ь —(Ь + (Зп)а |
|||||
ность. Имеем |
Уп |
о |
= -------- —— ----- -—— |
= \а п — - р п \ — . 1ак как |
||
|
Ьуп |
4 |
6 / |
уп |
||
{ап} и {Рп} — бесконечно малые последовательности, то и последо
вательность |
также является бесконечно малой. |
|
||
По условию у —У Ъ при ri -А оо, |
где |
Ъ ф 0 и уп ф 0 для |
всех |
|
п £ N. Поэтому (см. пример 6, § 4) последовательность < — >является |
||||
ограниченной. |
|
|
'■Уп ' |
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
| (а п — |
— J |
— бесконечно малая |
по |
следовательность как произведение бесконечно малой последователь ности на ограниченную последовательность.
Таким образом, < — —^ 1 — бесконечно малая последователь-
ность, и поэтому |
хп LУпа |
Ы |
|
|
Уп |
У —при п —¥ 00. • |
|
||
|
ъ |
|
п |
|
Пр и м е р 1 . Найти |
|
|
||
lim |
Sn, если Sn = / |
-------- , где \а к\ — ариф- |
||
|
|
П^ОО |
^ |
акак+1 |
метическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.
А Используя равенство
|
|
|
S |
——* |
1 |
|
|
|
|
|
>Jn — dai |
d(ai + nd) ’ |
|
|
|
полученное в § 3 (пример 2, а)), находим lim |
Sn = -г—- А |
||||||
|
Пр и м е р 2. Пусть |
Рк(х) |
п—>сю |
da1 |
|||
|
= аохк + а\хк^ г + ... + ак- \х + ак, |
||||||
Qk(x) = |
Ь0х к + Ьгх*1^ 1 + ... + Ък- \ х + Ък, где |
а0 |
ф О, Ь0 ф 0. Най |
||||
ти |
.. |
Рк(п) |
. |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||
|
п—too Qfc(71) |
|
|
|
|
|
|
А |
Разделив числитель и знаменатель дроби на п к, получаем |
||||||
|
|
|
а д |
= а° + а1^ + - + а^ |
|
||
|
|
|
Qk(n) |
ь0+ bi —+ ... + |
_L |
|
|
п
§5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности |
49 |
Отсюда следует, что искомый предел равен ао/Ъо, так как а / п р -Ч О при ri -Ч оо для любого a € R и любого р € N (§ 4, пример 2, б)). ▲
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77, |
|
|
|
|
|
Пр име р |
3. Наити |
lim |
х п, |
где |
.г,, |
|
1.. |
! г . |
|
|
||
|
|
|
|
П — 'гО О |
|
|
|
|
n s |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k= 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А |
Воспользуемся формулой |
к2 |
= |
—------ ^ ---------, |
полученной |
||||||||
|
|
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в § 3 (пример 2, в)). Тогда х п = —(1 Ч— |
) (1 Ч |
|
), откуда находим |
||||||||||
lim хп = 1 |
▲ |
|
|
3 V |
|
п / \ |
2Ti) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П —¥ ОО |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и м е р |
4. Найти lim х п, |
х п = |
's/ п 2 + 2п + 3 —'s/ п 2 —2п + 5. |
|||||||||
А |
Так как |
|
п —>00 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(п2 + 2п + 3) — (п2 — 2п + 5) _ |
|
|
|
^ —— |
|
|
|||||
|
|
= |
|
|
2п + 5 |
/ 1 + 2 + _ ^ + А _ 2 + _^’ |
|||||||
|
|
Vn2+ 2п + 3 + Vn2 - |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
п |
п- |
V |
п |
п- |
то, используя результат примера 7, § 4, получаем |
lim х п = 2. к |
||||||||||||
|
Пр име р |
5. Доказать, |
что |
|
|
|
|
|
п —>оо |
|
|
||
|
последовательность {ж„}, где жп = |
||||||||||||
= |
|
Н— |
+ |
... Н— .сходится, |
и |
найти |
ее |
предел. |
|||||
|
V«2 + l |
V«2 + 2 |
|
v« 2 + « |
|
|
|
|
|
|
|
||
А |
В сумме жп каждое слагаемое меньше предыдущего, и поэтому |
||||||||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
или |
|
|
VW TVi < хп < V n F + l’ |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< Х п < |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 + |
- |
|
y |
i |
+ Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
V |
п- |
|
|
|
|
|
Используя теорему 3, § 4 и результат примера 7, § 4, получаем, что
lim х п = 1 . ▲
п —>оо
Упражнение 5. Доказать, что если существует lim хп = а, где
?г—чоо
а ф 0, а последовательность {j/n} расходится, то последовательность {хпуп} также расходится.
Упражнение 6. Доказать, что если одна из последовательностей {*„}, {уп} сходится, а другая расходится, то последовательность {х„ + у„} расходится.
Упражнение 7. Найти lim хп, если:
п |
™->°° |
п |
а) хп = У ] к(к + 1 ); |
б) *n = — ^ f c 3; в) х„ = л/(п + а)(п+ Ь) - п. |
|
к=1 |
|
fe=l |
Упражнение 8. Последовательность {хп} задана при п (У 3 рекур |
||
рентной формулой хп = {а + 1 ) х п - 1 |
+ а х п - 2 , где \а\ < 1, и условиями xi = а, |
|
Х2 = Ь. Доказать, что она сходится, и найти lim х„.