Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

так как а т ^ ао + 1 и [Зт ^.Ьо + 1 .

Предположим, что существуют числа 6 и 6', удовлетворяющие условию (8), причем 6 ^ 6'. Возьмем в неравенствах (7) и (8) в ка­ честве чисел г, s, г', s' соответственно а п+к, а п+к, Рп+к-, Рп+к и

обозначим rn = a n+k(in+k, sn = а п+к/Зп+к. Тогда, используя (8) и (9), получаем

для любого п € N.

Применяя лемму 2 § 1, получаем 6 = 6'. • Произведение любых вещественных чисел а и (3 определяется сле­

Ниже будет показано (п. 3, утверждение 2), что уравнение ха = (3, где а и (3 — произвольные вещественные числа, имеет при а ф 0 единственное решение. Это решение называется частным от деления числа (3 на число а и обозначается через (З/а.

3. Свойства вещественных чисел. Можно показать, что опе­ рации сложения и умножения вещественных чисел обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции для рациональных чисел (§ 1, п. 2). Ограничимся доказательством свойства ассоциатив­ ности.

У т в е р ж д е н и е 1. Для любых вещественных чисел а, (3, у спра­ ведливо равенство

+ 1 )-го порядка числа у с недостатком и с избытком, из определения суммы вещественных чисел получаем

Применяя неравенства (10)—(12) и первое из неравенств (4), по определению суммы находим

В силу ассоциативности сложения рациональных чисел левые час­ ти неравенств (13) и (14) равны числу гп = а п+1 + Рп+1 + 7 п+1) а

правые части равны числу рп = a n+i + [in+i + Tn+i- Поэтому из (13) и (14) с учетом неравенства 5 ф 5' получаем

б = б1. •

Аналогично доказывается справедливость других свойств опера­ ций сложения и умножения.

Отметим, что кроме свойств неравенств, указанных в § 1 (п. 2), для вещественных чисел справедливы следующие свойства:

3)если а > Ь, то а2п+1 > Ъ2п+1 для любогоп£N;

4)если а > Ъф 0, то ап > Ъп для любогоп£N.

У т в е р ж д е н и е 2. Если а и (3 — вещественные числа, и а ф 0, то их частное (б/а существует и единственно.

О Рассмотрим сначала случай, когда а > 0 и /1 = 1. Пусть а п и а п — десятичные приближения числа а с недостатком и с избытком. Так как а > 0, то найдется такое то £ Л/, что а т > 10-та. Обозначим че­

рез X множество рациональных чисел вида =-----, ri £ А/, а через Y —

Так как а п ф а ф а п, то из определения произведения веществен­ ных чисел следует, что при ri £ N

В силу леммы 2, § 1 получаем, что ха = 1, т. е. х = —.

а

Если а < 0, то положим —= —-—

а \а\

24 Гл. I. Вещ ественные числа

Пусть а и (5 — вещественные числа и Q / О . Пользуясь ассоциа­ тивностью операции умножения вещественных чисел, нетрудно пока­

зать, что число х = Д—— есть решение уравнения ха = (3. Покажем,

а

что это решение единственно. Если ха = (3 и уа = /3, то (х —у)а = 0. Так как а ф 0, то х —у = 0, т. е. х = у. •

Перечислим те свойства вещественных чисел, в которых исполь­

равносильно (рис. 3.1) двойному неравенству

а — S < х < а + S,

т. е. множество решений неравенства (20) — интервал (а —S, а + S);

выполняется при х < а —S и при х > а + S (рис. 3.2), т. е. множество

решений неравенства (2 1) — объединение бесконечных интервалов

(^оо,а — 6) и (а + +оо); в частности, неравенство

|ж| > 8

выполняется при х < ^ 8 и при х > 8.

Если а < Ъи а, (3 — любые точки отрезка [а, Ь], т. е. а ^ а ^ (3 ^ Ъ

где т — натуральное число, не всегда имеют корни на множестве рациональных чисел даже в случае, когда а £ N. Введение иррацио­ нальных чисел связано, в частности, с потребностью находить корни уравнений вида (23).

Предполагая, что а — заданное положительное число (не обяза­ тельно рациональное), то £ А/, то 2, будем искать положительное число £. удовлетворяющее уравнению (23). Это число £ назовем ариф­ метическим корнем степени то из числа а и обозначим Д/а.

У т в е р ж д е н и е 3. Для любого то £ N и любого а > 0 существует единственный арифметический корень степени то из числа а.

О Если существует число / £ <3 такое, что £т = а, то это число и будет искомым. Поэтому достаточно ограничиться предположением, что такого рационального числа нет.

Пусть X = {х G Q : х > 0, хт < a}, Y = {у G Q : у > 0, ут > а}.

Выберем такое число р £ N, чтобы выполнялось неравенство 1/р < а < < р, тогда 1/рт< 1 /р < а < р < р т и поэтому 1/р £ X , р £ Y. Следо­ вательно, X , Y — непустые множества.

По определению множеств X и Y для любого х £ X выполняет­ ся неравенство хт < а, а для любого у £ Y — неравенство а < ут, откуда следует, что х т < ут. Так как х > 0, у > 0, то неравенство х т < ут равносильно неравенству х < у, откуда согласно теореме об отделимости числовых множеств (§ 2) следует, что существует supX

х£ Y . Но тогда из (24) следует, что х ^ £, что противоречит условию

х< £. Аналогично получаем, что у £ У. Поэтому

предположения о справедливости формулы (30) следует справедли­ вость равенства

Таким образом, равенство (31) является верным, и поэтому форму­

О При те = 1 утверждение (33) верно (1 + х = 1 + х). Нужно доказать, что при х ^ —1 из предположения о справедливости неравенства (33) следует справедливость неравенства

Если неравенство (33) является верным, то при умножении обеих

Таким образом, при х ^ —1 справедливо неравенство (34), и поэ­ тому неравенство (33) является верным при любом те €N. •

б) Суммирование. Если а±, а2, ..., ап — заданныечисла, то ихсумму обозначают символом Е ар, т. е.

к=1

к=1

Формула (40) справедлива при условии, что sin ^ ф 0. Если sin ^ = 0, то S',, = 0.