Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

ности точки жо, а приращение А?/ функции у = /(ж) в точке жо пред­ ставимо в виде

где А = А(жо) не зависит от Аж, а е(Дж) —>• 0 при Аж —>• 0, то функция / называется дифференцируемой в точке жо, а произведение А Аж назы­ вается ее дифференциалом в точке жо и обозначается df(жо) или dy.

Отметим, что приращение А?/ = / ( жо + Аж) —/ ( жо)можно рассмат­ ривать только для таких Аж, при которых точка жо+ Ажпринадле­ жит области определения функции /, в то время как дифференциал dy определен при любых Аж.

Т е о р е м а 2. Для того чтобы функция у = /(ж) была дифферен­ цируемой в точке жо, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке XQ. При этом дифференциал и производная

О Если функция у = /(ж) дифференцируема в точке жо, то выпол-

Обратно: если существует /'(жо), то справедливо равенство (5), и поэтому выполняется условие (19). Это означает, что функция / дифференцируема в точке ж = жо, причем коэффициент А в форму­ лах (19) и (21) равен /'(жо), и поэтому дифференциал записывается в виде (22). •

Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке. Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (а, 6), называют дифференцируемой на интервале (а, Ъ).

Если функция / дифференцируема на интервале (а, Ъ) и, кроме того, существуют /+(а) и f'_(b), то функцию / называют дифферен­ цируемой на отрезке [а, 5].

З а м е ч а н и е 3. Если f (жо) ф 0, то из равенств (20) и (22) следует, что dy ф 0 при Аж ф 0 и

А у ~ dy при Аж —»• 0.

В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, так как дифференциал есть линейная функция от А х и отличается от А у на бесконечно малую более высокого порядка, чем А х .

З а м е ч а н и е 4. Приращение А х часто обозначаю т символом dx и на­ зы ваю т дифференциалом независимого переменного. Поэтому формулу (22) записы ваю т в виде

По формуле (23) можно найти дифференциал функции, зная ее производ­

Согласно формуле (24) производную можно рассм атривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

З а м е ч а н и е 5. О тбрасывая в формуле (20) член о(Аж), т. е. заме­ няя приращение функции ее дифференциалом, получаем приближенное ра­ венство А у ^ / ' ( жо)Аж, или

Формулу (25) можно использовать для вычисления приближенного значе­ ния / ( жо + Аж) при малых Аж, если известны значения / ( жо) и / ' ( жо).

Пр и ме р 6. Найти с помощью формулы (25) приближенное значе­ ние функции у = tfx при х = 90. Д Полагая в формуле (25) /(ж) =

6. Геометрический и физи­ ческий смысл дифференциала.

Выясним геометрический и физи­ ческий смысл дифференциала. Если функция у = /(ж) дифференци­ руема при ж = жо, то существует касательная /0 (рис 14.7) к графи­ ку этой функции в М0(жо,/(жо)), задаваемая уравнением (16). Пусть

в предположении, что в данной точке х функции f u g дифференцируемы .

ОО граничимся доказательством формулы для дифференциала произве­

рывная и строго возрастающая, причем yg = f ( x о) € (ск, /3), так как

а = f ( x 0 - 6) < f ( x о) < f ( x о + 6) = (3.

Пусть Ау — приращение независимой переменной у такое, что Уо + Ау G (а,(3). Обозначим Аж = ip(y0 + Ау) — <р(уо)- Нужно дока­

вые значения в двух различных точках, что противоречит свойству строгого возрастания функции ip. Поэтому при Ау ф 0 справедливо равенство

Пусть Ау 0, тогда Аж —^ 0, так как функция ж = р(у) непрерывна

Итак, правая часть (7) имеет предел, равный ——-. Поэтому и I (*о)

в левой части этого равенства существует предел, который согласно определению равен р'(уо). Формула (6) доказана. •

Формула (11) доказана.

в) Аналогично доказываются формулы (10) и (12). Впрочем, эти формулы легко получить, используя равенства

arcsin х + arccos х arctg х + arcctg х ^

и формулы (9) и (11). ▲

Замечание 3. Теорема 2 допускает наглядную геометрическую и очевидную физическую интерпретацию. Если существует f ( x о), то в точке Мо(хо, f(xo))существует касательная 1о к графику функцииу = f(x), уг­ ловой коэффициент которой равен tga = f ( x о), где а. —угол,образуемый касательной с положительным направлением оси Ох. Касательная не парал­ лельна координатным осям, так как производная f ( x о) конечна и отлична

/'(ж о) — скорость изменения у по отношению к ж, то формула (6) вы раж ает тот факт, что указанны е скорости являю тся взаимно обратными.

2. Дифференцирование сложной функции.

Т е о р е м а 3. Если функции у = р(х) и z — f(y) дифференцируемы соответственно в точках жо иуо, где уо = р(хо), то сложная функция z = f (р(х)) дифференцируема в точке ж0? причем

в Us(xо) при некотором S > 0.

Из дифференцируемости функции / в точке уо по теореме 1 сле­

Поэтому, подставляя в равенство (14) ip(x) вместо у , получим равенство

А Гиперболические функции были определены в § 12. Они задаются следующими формулами:

а) Применяя теоремы 1 и 3, получаем

(sh ж)' = -l (e x - е- * ( - 1 )) = dix.

А Пусть ж > 0, тогда |ж| = ж и log0 |ж| = log0ж. В § 14 (формула (9)) было доказано, что

Применяя формулу (25) и правило дифференцирования сложной функции, получаем

Дадим теперь сводку формул для производных элементарных