Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

90 Гл. III. Предел и непрерывность функции

б) Непрерывность суммы, произведения и частного.

Если функции / и g непрерывны в точке а, то функции / + g, fg и / / д (при условии д(а) ф 0) непрерывны в точке а.

О Это утверждение следует из определения непрерывности и свойств пределов (§ 10, п. 4). •

в) Непрерывность сложной функции. Понятие сложной функции было введено в § 9 (п. 2).

Т е о р е м а 2. Если функция z = f(y) непрерывна в точке уо, а функция у = ф(х) непрерывна в точке ж0? причем у0 = ср(хо), то в не­ которой окрестности точки ж0 определена сложная функция f(ip(x)), и эта функция непрерывна в точке х$.

где z0 = f(y0)-

В силу непрерывности функции tp в точке хо для найденного в (2)

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве US(XQ) определена сложная функция f(ip(x)), причем

Va; G Us(xо) -»• f(y) = П ф ) ) G Ue(z0),

где z0 = f(<p(xо)) = /(г/о), т. е.

Ve > 0 36 > 0: Va; е Us(x0) -> / ( ф ) ) е и е(ф о ))-

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция f(ip(x)) непрерывна в точке ж0- •

Замечание 2. Соответствие между окрестностями точек жо, уо, zо

представлено на рис. 11.1. По заданному числу е > 0 сначала находим р > 0, а затем для чисел р > 0 находим 8 > 0.

Упражнение 1. Сформулировать определение непрерывности с по­ мощью последовательностей (по Гейне) и доказать, исходя из этого опре­ деления, теорему 2.

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в каждой точке интервала (а, Ъ) и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.

92 Гл. III. Предел и непрерывность функции

О Так как непрерывная на отрезке функция /(ж) ограничена (теорема 3), т. е. множество значений, принимаемых функцией /

вательность {хп}, где х п = ж( —j, такую, что для всех п € N выпол­ няются условия

Как и в теореме 3, из условия (13) следует, что существуют под­

к—¥оо

Всилу непрерывности функции / в точке £

к—¥оо

Сдругой стороны, {/(ж„ь)} — подпоследовательность последова­ тельности {/(жп)}, сходящейся, согласно условию (15), к числу М. Поэтому

к—¥оо

Всилу единственности предела последовательности из (16) и (17)

ры вная на интервале, мож ет не достигать своих точны х граней. Например, ф ункция /(ж ) = х~ не достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

в) Промежуточные значения.

Т е о р е м а 5 (теорема Коши о нулях непрерывной функции). Если функция / непрерывна на отрезке [а, Ь] и принимает в его концах зна­

О Разделим отрезок [а, Ь] пополам. Пусть d — середина этого отрез­ ка. Если /(d) = 0, то теорема доказана, а если /(d) ф 0, то в концах одного из отрезков [a,d], [d, Ь] функция / принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок Ai = [ai, bi]. Пусть di — середина от­ резка Ai. Возможны два случая: 1) /(d i) = 0, тогда теорема доказана; 2) /(d i) ф 0, тогда в концах одного из отрезков [ai,di], [di, foi] функ­ ция / принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим

А2 = \fl2-, Ьф\.

Продолжая эти рассуждения, получим:

1)либо через конечное число шагов найдется точка с G [а, Ь] такая, что /(с) = 0; тогда справедливо утверждение (18);

2)либо существует последовательность отрезков {А„} такая, что

f(an)f(bn) < 0 для всех п € Л/, где Д п = [a„,b„]; эта последователь­ ность отрезков является стягивающейся (§ 6, п. 4), так как Дп С An_i для любого ri G N и

По теореме Кантора (§ 6) существует точка с, принадлежащая всем

Предположим, что равенство (21) не выполняется. Тогда либо /(с) > 0, либо /(с) < 0. Пусть, например, /(с) > 0. По свойству сохранения непрерывной функцией знака (п. 3, а))

С другой стороны, из неравенства (19) следует, что Ъп —ап -б- 0 при п ^ оо, и поэтому

ция / принимает положительные значения. Это противоречит тому, что в концах каждого из отрезков Д п функция / принимает значения разных знаков.

Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться условие (21). •

Так как для всех у £ [А,уо) выполняется неравенство а ф д(у) ф ^ д(Уо ~ 0), где д(у0 - 0) = sup д(у), а при всех у £ [у0,В] спра-

А £ у < у 0

ведливо неравенство д(уо) ф д(у) ф Ь, то из условия (31) следует, что интервал А = (д(уо — 0),д(уо)) не принадлежит множеству значений функции д. Это противоречит тому, что все точки отрезка [а,Ь], в том числе и точки интервала А, принадлежат множеству Е(д). Итак, первое из равенств (29) доказано. Аналогично доказывается справед­ ливость второго из равенств (29).

Тем же способом устанавливается, что функция д непрерывна справа в точке А и непрерывна слева в точке В. •

З а м е ч а н и е 6. Если ф ункция / непрерывна и строго убы вает на от­ резке [а,Ъ], то обратная к ней ф ункция д непреры вна и строго убы вает на отрезке [/(Ь), /(«)]-

З а м е ч а н и е 7. Аналогично формулируется и доказы вается теорем а о функции д, обратной к функции / , для случаев, когда ф ункция / задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.

Если ф ункция / определена, строго возрастает и непрерывна на интер­ вале (а,Ь ), то обратная ф ункция д определена, строго возрастает и непре­

§12. Непрерывность элементарных функций

1.Многочлены и рациональные функции. Рассмотрим мно­ гочлен степени те, т. е. функцию вида

Рп(х) = апхп + + ... + а\х + а0, ап ф 0.

Эта функция непрерывна на R.

О Действительно, функция у = С, где С — постоянная, непрерывна на R, так как Ау = 0 при любом х. Функция у = х непрерывна на R, так как Ау = Аж —^ 0 при Аж —^ 0. Поэтому функция у = архФ, где k £ N, непрерывна на R как произведение непрерывных функций. Так как многочлен Рп(ж) есть сумма непрерывных функций вида архк (к = 0, те), то он непрерывен на R. •

Рациональная функция, т. е. функция вида /(ж) = туЦ-у-) где Рп,

Q m \ % )

Qm — многочлены степени п и т соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена Qm(ж).

О В самом деле, если Qm(Жц) ф 0, то из непрерывности многочле­ нов Рп и Qm следует непрерывность функции / в точке XQ. •

98 Гл. III. Предел и непрерывность функции

| cos ж —совжо| < |ж —жо|, и поэтому функция cos ж непрерывна в точ­ ке Жо- •

Из непрерывности синуса и косинуса следует, что функция tgж =

О Воспользуемся неравенством (1). В силу непрерывности косинуса

lim cos ж = cos 0 = 1. Переходя в соотношении (1) к пределу при ж -А 0, ж->0

получаем равенство (5). • г) Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию

Эта функция, график которой изображен на рис. 12.2, непрерывна и строго возрастает на отрезке А (§ 9, пример 9), множество ее зна­ чений — отрезок [—1,1]. По теореме об обратной функции на отрез­ ке [—1 , 1] определена функция, обратная к функции (6), непрерывная и строго возрастающая. Ее обозначают

у = агс8тж , ж £ [—1 , 1].

Подчеркнем, что функция агсвтж не является обратной к перио­

функции у = arcsinx, изображенный на рис 12.3, симметричен графи­ ку функции (6) относительно прямой у — х. В силу свойств взаимно обратных функций (§ 9, п. 9)

т. е. агсятж — нечетная функция.

Пр и ме р 1. Построить график функции у = arcsin(sir^).

Д Функция определена на R и является периодической с периодом 27г. Поэтому достаточно построить ее график на отрезке —

—| - ^ ж —7г ^ и согласно формуле (7) получаем arcsin(sin^ —7г)) = = ж —7г. С другой стороны, 8ш(ж —7г) = —sin ж, и поэтому

arcsin(sin^ —7г)) = arcsin(—sin ж) = —arcsin(sir^)

в силу равенства (8). Таким образом, ж —7г = —arcsin(sinж), если

Ерафик функции у = arcsin(sir^) изображен на рис. 12.4. А