Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

Обратимся к достаточным условиям экстремума дифференциру­ емых функций. Для формулировки первого достаточного условия и в дальнейшем (п. 5) нам потребуется понятие смены знака функции.

Если функция д{х) определена в проколотой ^-окрестности точ­ ки хо и для всех х Е (жо —£, жо) выполняется неравенство д(х) < 0, а для всех х £ (хо,хо + S) — неравенство д(х) > 0, то говорят, что функ­ ция д{х) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку XQ.

Аналогично вводится понятие смены знака с плюса на минус при переходе через точку ж0-

З а м е ч а н и е 2. Если хо — точка строгого экстрем ум а функции /(ж ), т. е. выполняется одно из условий (11), (12), то разность /(ж ) — / ( жо) со­

храняет знак в Us(x0).

Обратно: если разность /(ж ) — / ( жо) сохраняет знак в Us(жо), то жо — точка строгого экстрем ум а функции /(ж ).

Если же эта разность меняет знак при переходе через точку жо, то функ­ ция /(ж ) не им еет экстрем ум а в точке жо.

Т е о р е м а 5 (первое достаточное условие строгого экстремума).

Пусть функция /(ж) дифференцируема в некоторой окрестности точ­ ки ж*о, кроме, быть может, самой точки жо, и непрерывна в точке х$.

Тогда:

а) если f'(x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку жо, т. е. существует S > 0 такое, что

Ух е (х0 - 5,хо) ->■ f ( x ) < 0,

Ух е (х0,х0 + 6) -> f ( x ) > 0,

то жо — точка строгого минимума функции / (рис. 20.2);

б) если f'(x) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку жо, то XQ — точка строгого максимума функции / (рис. 20.3).

ция / дифференцируема на интервале (ж,жо) и непрерывна на отрез­ ке [ж, жо]- По теореме Лагранжа

f(x) - f ( x о) = f '( 0 ( x - Хо),

то из этого не следует, что ф ункция / ' ( х) м еняет знак при переходе через точку хо (см. упр. 9 к гл. IV).

Т е о р е м а 6 (второе достаточное условие строгого экстремума).

Пусть Хо — стационарная точка функции /(ж), т. е.

и пусть существует /" ( жо). Тогда:

а) если /"(ж) > 0, то Хо — точка строгого минимума функции /(ж); б) если /" ( Жо) < 0, то Хо — точка строгого максимума функ­

ции /(ж).

О Если /" ( Жо) > 0, то по теореме 4 функция /'(ж) является возрас­ тающей в точке Жо, т. е. существует 8 > 0 такое, что

откуда следует, что /'(ж) меняет знак с минуса на плюс при пере­ ходе через точку Жо- Согласно теореме 5 точка Жо — точка стро­ гого минимума функции /(ж). Аналогично рассматривается случай /" ( ж0) < 0. •

Например, если /(ж) = ж2, то /'(0) = 0, /"(0) = 2, и поэтому Жо = = 0 — точка строгого минимума функции /(ж) = ж2.

З а м е ч а н и е 4. Если f'(x o) = 0 и f" (x o ) = 0, то в точке хо ф ункция /

может иметь экстрем ум (/(ж ) = ж4, жо = 0), а может и не иметь (/(ж ) = ж3, жо = 0). Следующая теорем а дает достаточны е условия экстрем ум а для случая / " ( жо) = 0.

Т е о р е м а 7 (третье достаточное условие строгого экстремума).

182 Гл. IV . Производная и ее приложения

Тогда:

а) если п — четное число, то Xq — точка экстремума функ­ ции /(ж), а именно точка строгого максимума в случае /("■’(жо) < О и точка строгого минимума в случае f t 71'1 (жо) > 0;

б) если п — нечетное число, то XQ не является точкой экстре­

Из условия (18) следует, что равенство (19) можно записать в виде

Уж € US (XQ) —t (ж —жо)” = (ж —жо)2* > 0,

и из равенства (22) получаем

sign (/(ж) - /(ж0)) = sign /( ”) (ж0).

Если /( ”)(ж0) > 0, то для ж € Us(xo) выполняется неравенство

/(ж) - /(ж0) > 0.

Это означает, что XQ — точка строгого минимума функции /(ж). Аналогично, если /("■’(жо) < 0, то

/(ж) —/(ж0) < 0 для ж G Ug(x0),

т. е. Хо — точка строгого максимума функции /(ж).

б) Пусть ri = 2к + 1, тогда из формулы (22) следует, что разность /(ж) —/ ( Жо) меняет знак при переходе через точку жо, так как функ­ ция (ж —Жо)2*+1 меняет знак при переходе через точку ЖоЭто озна­ чает, что Жо не является точкой экстремума функции /(ж). •

мума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся корнями уравнения /'(ж) = 0, т. е. уравнения

переходе через точку х\ функция /'(ж) не меняет знака, при переходе через точку Ж2онаменяет знак с плюса на минус, а при переходе через точкуЖз — с минуса на плюс.

Следовательно, Жз и Жз являются соответственно точками строгого максимума и строгого минимума функции /(ж), а х± не является точкой экстремума этой функции.

б) Функция непрерывна на R, дифференцируема на R, кроме то­

где д(ж) = (ж2 —4)е-ж. Уравнение д'(ж) = (^ж2 + 2ж + 4)еГх = 0 имеет на промежутке (0, +оо) единственный корень Х\ = 1 + ХЕ, причем д'(ж) = /'(ж) при ж > 2 и д'(х) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку х±. Поэтому х± — точка строгого максимума функции /(ж).

При переходе через точку Жз = 2 функция /'(ж) меняет знак с минуса на плюс, так как /'(ж) = —д'(ж) при ж G (0, 2) и /'(ж) = д'(ж) при ж > 2. Поэтому Жз — точка строгого минимума функции /(ж).

Учитывая, что функция /(ж) строго убывает на интервале (0, 2) и четная, заключаем отсюда, что ж = 0 — точка строгого максимума функции /(ж).

Используя полученные результаты и четность функции /(ж), по­ лучаем: ж = - 2 и ж = 2 — точки строгого минимума функции /(ж);

ж = —(1 + л/5), ж = 0 и ж = 1 + л/5 — точки строгого максимума этой функции. ▲

3.Наибольшее и наименьшее значения функции. Поня­

тие наибольшего (наименьшего) значения функции было введено в

§ 9, п. 6.

Для функции, непрерывной на отрезке, существует согласно теореме Вейерштрасса точка, в которой эта функция принимает наи­ большее значение, и точка, в которой функция принимает наимень­

в точках x i,...,x m и не имеет других точек локального экстремума, наибольшее значение функции /(ж) на отрезке [а, Ь] равно наибольше­ му из чисел /(a), f( x 1 ), /(ж*), f(b), a наименьшее значение этой функции на отрезке [а, Ь] равно наименьшему из чисел /(a), /(S i), ...

f ( X m ) , т .

В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьше­ го) значения функции на отрезке [а, Ь] или на интервале (а, Ь) часто встречается случай, когда функция / дифференцируема на интерва­ ле (а,Ь) и непрерывна на отрезке [а,Ь], а уравнение /'(ж) = 0 имеет единственный корень XQ G (а, Ь) такой, что /'(ж) > 0 при ж G (а, Жо) и /'(ж) < 0 при ж € (жо, Ь) или /'(ж) < 0 при ж € (а, жо) и /'(ж) > 0 при

жG (ж0, Ь).

Вэтом случае число / ( Жо) является не только локальным экстре­ мумом функции /(ж), но и наибольшим (наименьшим) значением этой функции на отрезке [а, Ь] или на интервале (а,Ь).

А Пусть А/ и то — соответственно наибольшее и наименьшее значе­

ния функции /(ж) на множестве Е. 5

а) Для данной функции ж = - — точка максимума, ж = 2 — точка

то М = /(3) = 64, то = /(2) = 0.

б) Для данной функции ж = ^2 и ж = 2 — точки минимума; ж = = —(1 + 75), ж = 0 и ж = 1 + 75 — точки максимума (пример 3,6)). Функция убывает при ж > 1 + \/5 и является четной, /(0) = 4, /(2) = 2,

вательно, выбирая из чисел / ( 0), / ( 2), / ( 1 + 75) наибольшее и наи­ меньшее, получаем М = /(0) = 4, то = /(2) = 0. ▲

Пр и м е р 5. Определить отношение радиуса основания к высоте цилиндра, если при данном объеме цилиндра площадь его полной по­ верхности является наименьшей.

А Пусть ж, h, v, S — соответственно радиус основания, высота, объем и площадь полной поверхности цилиндра. Тогда S = 2пхh +

186 Гл. IV . Производная и ее приложения

функции у = f(x ) середина К хорды MiM 2 или лежит ниже соответ­ ствующей точки MQ графика, или совпадает с точкой MQ.

Если неравенство (23) является строгим при любых х±, Х2 € [а, Ь] таких, что Xi ф Х2 , то непрерывную функцию у = f(x) называют

строго выпуклой вверх на отрезке [а, Ь].

Аналогично, непрерывная функция у = f(x) называется выпуклой

Пр и м е р 7. Функция f(x) = х 2 строго выпукла вниз на любом отрезке.

Понятие выпуклости и строгой выпуклости вверх (вниз) можно ввести и на интервале. Например, если неравенство (23) выполняется для любых точек интервала (а, Ь), то непрерывная функция у = f(x)

называется выпуклой вверх на этом интервале.

то функция у = f(x) строго выпукла вниз на отрезке [а,Ь]. Аналогично, при выполнении на интервале (а,Ь) условия f"(x) ф 0

(f"(x) < 0) функция у = f(x) выпукла вверх (строго выпукла вверх) на отрезке [а, Ь].

О Ограничимся доказательством для случая, когда выполняется ус­ ловие (25). Нужно доказать, что для любых точек х±, Х2 отрезка [а, Ь] выполняется условие (24). Пусть, например, х± < Х2 (при х± = Х2 условие (24) выполняется).

ках [ж1 ,Жо] и [Xq,X2] формулу Тейлора с остаточным членом в форме

Так как £1 G (a, b), £2 € (a, Ь), то в силу условия (25) /"(£ 1 ) > 0, /"(£ 2) > ^ 0, и из равенства (27) следует неравенство /(жг) + /(ж2) ^ 2/(жц), равносильное неравенству (24). •

З а м е ч а н и е 5. Условие f"(x) > 0 не является необходимым условием строгой вы пуклости вниз функции у = f {x) . Например, для функции f ( x ) = = ж4 условие f"{x) > 0 наруш ается при х = 0, так как / ” (0) = 0, однако эта ф ункция строго выпукла вниз.

5. Т о ч к и п ер еги б а .

а) Понятие точки перегиба. Пусть функция /(ж) непрерывна в точке Хо и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечную производную i f f x 0) = +00 или f i x 0) = —00). Тогда если эта функ­ ция при переходе через точку Xq меняет направление выпуклости, т. е. существует 6 > 0 такое, что на одном из интервалов (жо —6,х о), (жо,Жо + 6) она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то Xq на­ зывают точкой перегиба функции fix), а точку (жо,/(жо)) — точкой перегиба графика функции у = fix).

Например, для функций у = х 3 (рис. 9.8) и у = ж1 /3 (рис. 14.5) ж = 0 — точка перегиба.

б) Необходимое условие наличия точки перегиба.

Т е о р е м а 9. Если XQ — точка перегиба функции fix) и если функ­ ция fix ) имеет в некоторой окрестности точки XQ вторую производ­ ную, непрерывную в точке XQ, то

О Пусть /"(жц) ф 0. Тогда в силу непрерывности функции f i x ) в точке Хо

вале Usixo) (если f i x ) > 0), либо строго выпукла вверх на интерва­ ле Usixo). Но тогда Жо не является точкой перегиба. Следовательно, должно выполняться условие (28). •

Т е о р е м а 10 (первое достаточное условие). Если функция / не­ прерывна в точке Хо, имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если функция /"(ж) меняет знак при переходе через точку Хо, то Хо — точка перегиба функции f(x).

О Пусть, например, функция /"(ж) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо (в точке Хо вторая производная может и не существовать). Это означает, что существует 6 > 0 такое, что на интервале Ai = (жо ^ 5 , х о) выполняется неравенство /"(ж) < 0, а на интервале Д2 = (хо,Хо + 5) — неравенство /"(ж) > 0.

Тогда по теореме 8 функция /(ж) выпукла вверх на интервале Ai и выпукла вниз на интервале Д 2. Следовательно, точка Хо удовлетво­ ряет всем условиям, указанным в определении точки перегиба. •

/{3](х0) ф 0, то Хо — точка перегиба функции /(ж).

ОТак как /( 3^(жо) ф 0, то по теореме 4 функция /( 2^(ж) либо строго

возрастает, либо строго убывает в точке ЖоПо условию /^(ж о) = 0, и поэтому /( 2^(ж) имеет разные знаки на интервалах (жо^фжо) и (жо,Жо + $) при некотором 6 > 0, откуда, используя теорему 10, за­ ключаем, что Хо — точка перегиба функции /(ж). •

Например, для функции /(ж) = sin ж (рис. 14.2) точка ж = 0 —

то прямую ж = Хо называют вертикальной асимптотой графика функции у = /(ж).

Например, прямая ж = 0 — вертикальная асимптота графиков

функций у = — (рис. 10.6), у = \gx2 (рис. 10.7), у = — (рис. 10.8),

вертикальные асимптоты графика функции у = tgж.

б) Асимптота (невертикальная асимптота). Прямую у = кх + Ъ

называют асимптотой (невертикальной асимптотой) графика функ­

Если кф 0, то асимптоту называют наклонной, а если к = 0, то асимп­ тоту у = Ъназывают горизонтальной.

Аналогично вводится понятие асимптоты при ж -+ —оо. Например, прямая у= 0 — горизонтальнаяасимптота графиков

функций у = — у = — при ж -+ +ооиж- > —оо, графикафункции у = X X2

= ах, а > 1, при ж -+ —оо. Прямая у = 1 — асимптота графиков функ­ ций у = е}/'х (рис. 12.12), у = th x (рис. 12.16) и у = сЬЬж (рис. 12.17) при ж -+ +оо; прямая у = ^ — асимптота графика функции у = arctg ж

при ж -+ +оо (рис. 12.6), а прямая у = п — асимптота графика функ­ ции агсй^ж при ж -+ —оо (рис. 12.7).

5^

Аа) Так как у = —2-1--------, то прямая у = —2 — асимптота графика