Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

вают нормалью кривой Г в точке MQ. Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.

Понятие главной нормали требует введения дополнительных огра­ ничений на вектор-функции, с помощью которых записываются урав­ нения кривых. Пусть Г — гладкая кривая, заданная уравнением (3), причем для всех t € [си,/3] существует г"(t). В этом случае говорят, что Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.

У т в е р ж д е н и е 4. Если Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением (3), s — переменная длина

Используя формулу (26) и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим

откуда следует формула (27).

Заметим, что s"(t) существует, так как s'(t) = |г'(£)| s"(t) = f t ( \ r ' m = f t (r'(t),r'(t))1/2

а г" (t) существует и |г'(£)| ф 0. •

Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что

вектор в силу равенства (25). Обозначим этот вектор буквой т. Тогда

причем вектор v ортогонален вектору т.

Так как вектор т = — параллелен вектору касательной r'(t) к as

кривой Г в силу равенства (26), то из (31) следует, что вектор v

параллелен нормальной плоскости кривой Г в точке М (оШ = г(£)). Поэтому вектор и параллелен одной из нормалей кривой Г в точке М. Эту нормаль называют главной.

Итак, если в точке М £ Г выполняется условие (29), то нормаль к кривой Г в точке М, параллельная вектору и (формула (31)), назы­

кривой Г. Число к, определяемое формулой (30), называют кривизной

кривой в точке М £ Г (O il = г(£)).

212 Гл. IV. Производная и ее приложения

Применяя формулы (26), (27) и учитывая, что [г'(/), г'(/)] = 0, s'(t) = = |г'(/)|, из равенства (33) получаем формулу (32). •

((х'у- + (у’)2)3/ 2'

В частности, если плоская кривая Е задана уравнением у = f(x), то из формулы (35) находим

откуда следует, что максимального значения (fcmax) кривизна дости­ гает при х = ± 1 , причем

fcmax = fc(±l) = ▲

Выясним физический смысл кривизны кривой. Пусть кривая Е

задана уравнением (24), и пусть в точке М € Е, где Ohl = г(s), су­ ществует кривизна k(s).

Тогда k(s) = ^Т где |r(s)| = 1. Обозначим ds

Д г = T ( S + As) - r(s)

где T ( S + As) и T ( S ) — единичные векторы, параллельные касатель­ ным к кривой Г в точках кривой, определяемых значениями пара­ метра s + As и s.

Пусть Aр — угол поворота касательной к кривой Г при изменении

Рис. 22.7

уравнением (24), в точке М G Г равна скорости вращения вектора касательной к этой кривой в точке М.

Число R = — - называют радиусом кривизны кривой Г в точке k(s)

M G Г (Ол1 = r(s)). Заметим, что если Г — окружность радиуса R (рис. 22.7), то угол Aip равен углу между векторами r(s) и r(s + As).

кривизна окружности равна обратной величине ее радиуса.

8. Соприкасающаяся плоскость. Плоскость, проходящую че­ рез касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называ­ ют соприкасающейся плоскостью.

За ме ч а ние 4. Приведем без доказательства физическое истолкование эволюты и эвольвенты (см. [3] и [17]). Пусть на эволюту натянута гибкая нерастяжимая нить. Если эту нить развертывать, оставляя все время натя­ нутой, то конец нити опишет эвольвенту. Этим можно объяснить термины эволюта (“развертка”) и эвольвента (“развертывающаяся”).

Пр и ме р 3. Найти эволюту эллипса x = acost, у = bsint.

Д В этом случае х' = —asint, у' = bcost, х" = —acost, у" = —bsint,

Следовательно, эволютой эллипса является астроида (рис. 22.10). А

Рис. 22.10 Рис. 22.11

Если плоская кривая задана уравнением у = /(ж), то уравне­

Исключая ж, получаем

Следовательно эволютой параболы является полукубическая пара­ бола (рис. 22.11). А

10. Сопровождающий трехгранник кривой. Пусть Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, удовлетво­ ряющая условию (29). Тогда выполняются равенства (28) и (31), где т — единичный вектор касательной, v — единичный вектор нор­ мали к кривой Г в данной ее точке.

Рассмотрим вектор

Тогда /3 — единичный вектор, ортогональный векторам г и г / :

Прямую, проходящую через точку кривой параллельно вектору /3, называют бинормалью. Тетраэдр с вершиной в точке кривой, ребра

которого имеют длину, равную единице, и параллельны векторам т, г/, /3, называют сопровождающим трехгранником Френе (рис. 22.12).

У т в е р ж д е н и е 7. Если Г — трижды непрерывно дифференцируе­ мая кривая, удовлетворяющая условию (29), то справедливы формулы Френе

О Первая из формул Френе получена в п. 6 (формула (31)). Докажем формулу (50). Дифференцируя равенство (47) с учетом формулы (31) и равенства [v,v] = 0, получаем

Так как v — единичный вектор, то он ортогонален вектору — . as

Кроме того, вектор v ортогонален вектору т. Поэтому вектор |V,

параллелен вектору v и справедливо равенство (50). Коэффициент к в формуле (50) называют кручением кривой в данной ее точке.

Пользуясь формулами (31), (47), (48) и (50), получаем

ж - [ * - т 1 + [А Я “ - х [ " ' Т] * m "1 = - k T + * а

т. е. справедлива формула (49). • Докажем, наконец, следующее: если кривая, заданная натураль­

ным уравнением, трижды дифференцируема, а ее кривизна k = k(s) отлична от нуля, то кручение кривой я = л(,в) выражается формулой

Вычислим смешанное произведение векторов, указанных в форму­ ле (51), пользуясь тем, что (T , V , V ) = (T , V , T ) = 0 и (T , IS,/3) = 1. Тогда из равенства

= 1. П овторяя рассуж дения, связанные с выяснением физического смысла кривизны кривой (п. 7), отсю да получим, что

где Д а — угол поворота бинормали к кривой Г при изменении ее параметра от s до s + As. Выражение в правой части (52), как и в п. 7, назовем скорос­ тью вращения вектора бинормали. Эта скорость равна скорости вращ ения

соприкасаю щ ейся плоскости кривой, так как вектор /3 перпендикулярен этой плоскости.

Т аким образом, модуль кручения кривой равен скорости вращ ения со­

Л =

f a 2 + У1 '

Поэтому

т= ^ = (—aAsinAs, aAcosAs, ЪХ), as

ds = (—aA2 cos As, —aA2 sinAs, 0), откуда по формуле (30) находим

Используя формулу (31), отсюда получаем

v = (—cos As, —sin As,0).

Для нахождения x воспользуемся формулой (50), а вектор (3 най­ дем по формуле (47). Имеем

/3= (bAsinAs, —bXcosXs, aX),

откуда

^ = (6A2 cosAs, 6A2 sinAs, 0) = —ЬА2(—cos As, —sin As, 0),

Таким образом, кривизна кривой и кручение для винтовой линии постоянные. ▲

УПРАЖ НЕНИЯ К ГЛАВЕ IV

ке х = 0 и f i x ) = —sig n * 1 + х2 при * ф 0.

2. Д оказать формулы для производных обратных гиперболических