Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

330 Гл. VII. Определенный интеграл

О Так как для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] и при любой выбор­

ке £ = {£*, i = 1 , те} выполняется неравенство

П

/) = Y 1 /(& )Аж*> °.

Следствие . Если функции /(ж) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, Ь] и если для всех х G [а, Ь] выполняется неравенство /(ж) ^ д(х), то

ьь

J /(ж) dx ^ J д(х) dx.

аа

Аналогично рассматриваются случаи XQ = а и XQ = Ь. •

[а, Ь], то функция |/(ж)| также интегрируема на этом отрезке и спра­ ведливо неравенство

ООбозначим д(х) = | / ( ж) | и заметим, что

т. е. Wi(g) ^ cOi(f), i = 1 ,п, откуда получаем неравенство

ПП

нулю при l(T) —1 0, поэтому левая часть (17) также стремится к ну­ лю, откуда следует интегрируемость функции д(ж) = | / ( ж) | на отрез­ ке [а,Ь].

Докажем неравенство (15). Так как

ПП

аа

За м е ч а н и е 4. Из интегрируем ости функции |/(ж )| на отрезке [а ,Ъ] не

следует интегрируем ость функции /(ж ) на этом отрезке. Пример:

j у(х) dx

а

Из (26) следует равенство (22), где р € [т,М] в силу неравенст­ ва (25). Теорема доказана для случая, когда д(х) ^ 0. Эта теорема справедлива и в случае д(х) ^ 0, так как при замене д(х) на —д(х) равенство (22) сохраняется. •

В частности, если д(х) = 1, то

ь

3 с £ [a,bj: j f(x) dx = f(c)(b — a). (28) a

и выполняется неравенство (20). Если р, — число, определяемое фор­ мулой (22), то f ( x i) ^ р ^ f ( x 2), и по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции получаем

Зс G [а,Ь\: /(с) = р.

Поэтому формулу (22) можно записать в виде (27). •

З а м е ч а н и е 5. Доказанное следствие обычно назы ваю т интегральной теоремой о среднем. Это название связано с тем , что в формуле (27) речь идет о сущ ествовании некоторой точки отрезка ( “средней точки”), для ко­

торой выполняется равенство (27) для интегралов.

З а м е ч а н и е 6. Можно доказать (см., например, [2]), что в форму­ ле (27) точку с всегда можно выбрать так, чтобы она принадлежала ин­ тервалу (а,Ь).

З а м е ч а н и е 7. Если f ( x ) > 0, то равенство (28) означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком [а, Ь] равна площади прямоугольни­ ка с основанием длины Ь — а и высотой, равной значению функции / в некоторой точке отрезка [а,Ъ].

334 Гл. VII. Определенный интеграл

Пр име р . Доказать неравенство

получаем неравенство (29). ▲

§36. Интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление определенных интегралов

1.Интеграл с переменным верхним пределом. Если функ­ ция / интегрируема на отрезке [а,Ь], то для любого ж € [а, Ь] сущест­

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

а) Непрерывность интеграла.

Т е о р е м а 1. Если функция / интегрируема на отрезке [а,Ь], то функция F(ж) непрерывна на этом отрезке.

откуда получаем: Д F —ь 0 при Аж —^ 0, т. е. функция F непрерывна в точке ж. Поскольку ж — произвольная точка отрезка [а, Ь], то функ­ ция F непрерывна на отрезке [а,Ь]. •

б) Дифференцируемость интеграла.

Т е о р е м а 2. Если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь] и X

непрерывна в точке Жо £ [а, Ь], то функция F(x) = j f(t) dt дифферен-

По условию функция / непрерывна в точке Хо, т. е. для любого £ > 0 существует число S = 5(e) > 0 такое, что для всех i € U$(xо) выпол­ няется неравенство

где US (XQ) = {t: 11 —Жо| < 5}- Пусть |Дж| < 6; тогда 11 —Жо| ^ |Аж| < 6, так как t £ I, где I — отрезок с концами Xq и Xq + Дж. Поэтому для всех Дж таких, что |Дж| < 6, выполняется неравенство (7). Но тогда

из (6) следует, что \а\ < —-—ге|Дж| = е. Таким образом, для любого

е, т. е. выполняется условие (5). Это означает, что справедливо ра­ венство (4). •

Замечание 1. Если хо = а, то равенство (4) записывается в виде

F[(a) = f(a), а если хо = Ь, то в виде F'_(b) = f(b).

Т е о р е м а 3. Если функция / непрерывна на отрезке [а,Ь], то она имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной для

где С — произвольная постоянная.

О Пусть х — произвольная точка отрезка [а,Ь]. По теореме 2 функ­ ция F(x), определяемая формулой (1), имеет в точке х производную, равную f(x), т. е.

первообразной для функции f(x) на отрезке [а,Ь], и поэтому справед­ ливо равенство (8). •

З а м е ч а н и е 2. Согласно теореме 3 (формула (9)) операция интегри ­ рования непрерывной функции с переменны м верхним пределом является обратной к операции дифференцирования. У тверж дение о том, что произ­ водная интеграла с переменны м верхним пределом от непрерывной ф унк­ ции равна значению подынтегральной функции при значении аргум ента, равном верхнему пределу интеграла, является важнейш им ф актом курса м атем атического анализа.

Следствие . Из теоремы 3 и теоремы § 30 следует, что всякая первообразная Ф(ж) для функции /, непрерывной на отрезке [а, Ь], име­

О Согласно следствию из теоремы 3 существует число С такое, что

справедливо равенство (10). Подставляя в формулу (10) х = а и учи-

а

тывая, что J f ( t ) d t = 0, получаем С = Ф(а). Поэтому равенство (10)

Равенство (12) выполняется при любых значениях х £ [а, Ь] и, в част­ ности, при х = Ъ, т. е.

откуда следует формула (1 1), так как величина определенного ин­ теграла не зависит от того, какой буквой обозначается независимое переменное в интеграле. •

Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница называют основной фор­ мулой интегрального исчисления и часто записывают в виде

Гь

Пр и м е р 1. Доказать, что для любых гп € А/, п € N справедливы равенства:

338 Гл. VII. Определенный интеграл

для любого п € N. Таким образом, равенство (13) справедливо при любых то, те G N.

тегральная сумма (см. § 34, п. 1) для функции f(x) = ха на отрезке [0,1], соответствующая разбиению Т этого отрезка на отрезки А*, =

= ^ —Ч0 при те —Чоо, а функция х а непрерывна на отрезке [0, 1], то

tp(x)

А Пусть F — первообразная для функции /; тогда по формуле Ньютона-Лейбница находим

откуда, используя правило дифференцирования сложной функции и равенство F'(t) = f(t), получаем формулу (15). ▲

Тогда если a € (ao,(io), (i € (ao,(io), а = р ( а ) , Ъ= р(/3), то спра­ ведлива формула замены переменного в определенном интеграле

ь/3

аа

ОТак как а € (ао,Ьо), Ъ € (ао,Ъо), а функция f(x) непрерывна на интервале (ао,Ьо), то по формуле Ньютона-Лейбница находим

а

где Ф ' ( ж ) = f(x) для всех х € ( а о , Ь о ) .

Функция Ф((р(Ь)) является первообразной для функции, стоящей под знаком интеграла в правой части формулы (16), так как

-|(Ф (ip(t)) = Ф' (ip(t))(p' (t) = f(ip(t))ip'(t).

Применяя к функции f(ip(t))ip'(t) формулу Ньютона-Лейбница и учитывая, что ip(a) = а, </?(/?) = Ь, получаем

Iз

jf(tp(t))tp'(t) dt = Ф ( р Ш - Ф(р(а)) = Ф(Ъ) - Ф(о). (18)

а

Из равенств (17) и (18) следует формула (16). •

З а м е ч а н и е 5. При условиях теоремы 5 формула (16) справедлива как

при а. (3; так и ПРИ а > /3.

Формула (16) остается в силе и в случае, когда функции / и р зада­ ны соответственно на отрезках [а,Ъ] и \а, (5\, причем множ ество значений

понимаю тся соответствую щ ие односторонние производные.