Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 6841 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

400 Гл. VIII. Числовые ряды

°°^ / 1 \П+1

Пр и м е р 1. Доказать, что ряд > -— ---- , где а > 0, сходится.

пСк

71=1

А Так как последовательность { — }, где а > 0, монотонно стремит- I па )

ся к нулю, то по теореме 1 ряд сходится. В частности, сходится ряд

сю			^_Д^п+1
V	п	— = i - ±	+ ±
^	п	2	3
тг=1	S	из неравенства (2 1) при п = 1 следует оценка
а для его суммы	S	из неравенства (2 1) при п = 1 следует оценка

2 ^ ^ g- В дальнейшем (§ 44) будет показано, что S = In 2. ▲

3.Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов.

Те о р е м а 2 (признак Дирихле). Ряд

	V	апЬп		(23)
	тг= 1			СЮ
сходится, если последовательность частичных сумм ряда				Ъп огра-
				Jn
ничена, т. е.				71=1
ничена, т. е.
ЗМ > 0 :	VnG N -7 Х А ^ М,			(24)
		к= 1
а последовательность {ап} монотонно стремится к нулю, т. е.
а„ + 1 ^	а„	для веет	п € N	(25)
или
а„ + 1 ^	а„	для веет	п € N	(25')
и	lim а„ = 0.			(26)
	lim а„ = 0.			(26)
	71—>СЮ

О Покажем, что для ряда (23) выполняется условие Коши. Введем

следующие обозначения:

		J n	=			(27)
	п + р		k= 1
	п + р
а =	^	o-febfe,		п G А/,	р £ N.	(28)
	& = п + 1
Преобразуем сг, учитывая, что			Ъи = В^ — В ^~i при fc >			1, согласно
формуле (27). Получим
	П + р			77+ р
^	^ л			^ ^	1 ,
где	p:=n+l			p=n+l
где		п + р — 1
п + р		п + р — 1
^ ^ &k^k —1		—	^ ^	^-р+ l^ P	Т ^ п + 1 ^ п -
р:=П+1		р=П+1

§41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

401

Поэтому

п + р —1

сг —cinjrpBnjrp — (injr\B n ~f" ^ ^ (о+ —	(29)
k=п+1

Если справедливо неравенство (25), то из формулы (29) и условия (24)

следует, что

п + р — 1

|<т| М Qcin-j-p\ + |&п+х|) 4” М ^ ^ (вр —ep-j_i), &=п+1

ГДе п+р-1

^ ^ (ар —<zp_|_i) = dn+i —&н+р ^ [о-п+ i| 4” |а?7+р|-

р —п +1

Таким образом, для всех ri £ N и для всех р £ N выполняется нера венство

|ег|

2Af(|an+i| + |an+p|).

(30)

Нетрудно показать, что неравенство (30) остается в силе, если за менить условие (25) условием (25'). Условие (26) означает, что

	Ve > 0 3Ne : Vn > Ne -> \ап\ < -щ ,		(31)
а из (28), (30) и	(31) следует, что	п + р
		п + р
Ve > 0	3Ne: Vn > Ne Vp G N	Y аФк	< £,
		р —П+1

т. е. ряд (23) удовлетворяет условию Коши. Следовательно, этот ряд сходится. •

Замечание 1. Признак Лейбница можно получить из признака Ди рихле, полагая Ь„ = (—l)n+1. Прием, использованный при преобразовании суммы (28) к виду (29), называют преобразованием Абеля, которое можно рассматривать как дискретный аналог метода интегрирования по частям.

Упражнение 1. Доказать, что если ряд (23) удовлетворяет услови ям (25) и (26), а S' и Sn — соответственно сумма и n-я частичная сум ма этого ряда, то для всех п £ N выполняются неравенства ап ^ 0 и |S —Sn\ 5$ 2Man+i, если а„+1 / 0.

Пр име р 2. Доказать, что ряд

СЮ
+ ап smnx	(32)

П — 1

сходится при всех х £ R, если последовательность {ап} удовлетворяет условиям (25), (26).

А Если х = 2пгп, где то £ Z, то все члены ряда (32) — нули, и поэтому ряд (32) сходится. п

Пусть х ф 2тгт, где то £ Z. Обозначим В п(х) = У+ i n кх. В § 3

к= 1

402	Гл. VIII. Числовые ряды
	.	(п +	Г)х	. п х
	sm '			sm —
(пример 2, формула (50)) было доказано, что В п(х) =		2	х	2_
(пример 2, формула (50)) было доказано, что В п(х) =		.	х	'
		S1I1 -
			2
откуда \Вп(х)\ ф	. X для любого ri £ N, т. е. последовательность
	S1I1 -
	2

{Вп(х)} ограничена. По теореме 2 ряд (32)			для каждого х ф 2пт, где
то € Z, сходится. Следовательно, ряд (32)		сходится при любом х £ R.
В частности, ряд
Е-smп п х	а >	0	,
п= 1

сходится при любом х £ R. ▲

СЮ

Пр име р 3. Доказать, что ряд ^ ^ a n cosnx, где последователь-

12= 1

ность {ап} удовлетворяет условиям (25), (26), сходится при любом

хф 2пт, где то G Z.

АВоспользуемся формулой

. п х	(п + Г)х
sm — cos	------- —

2 _.coskx = ------------^— -----, х ф 2ттт, m £ Z ,
	.	х
к=1	S1I1 -
		2

которую можно получить способом, указанным в § 3 (пример 2, б)).

Так как	cos кх	1	при	х ф 2-пт,, где то G Z, а последо
Так как	cos кх	х	при	х ф 2-пт,, где то G Z, а последо
	k=i
вательность {ап} монотонно стремится к нулю, то ряд					ап cos пх
при х ф 2пгп, то G Z, сходится (теорема 2). ▲					12 = 1
при х ф 2пгп, то G Z, сходится (теорема 2). ▲
В частности, ряд		Е cosп2п х
		Е cosп2п х		а > 0,
		п = 1

сходится при любом х ф nrn (т £ Z).

Т е о р е м а	3 (признак Абеля). Ряд (23)	сходится, если сходится
ряд	СЮ
1	СЮ
	Е	(	3 3 )
	1 2 = 1

а последовательность {ап} монотонна, т. е. удовлетворяет усло вию (25) или (25'), и ограничена.

О	По теореме о пределе монотонной последовательности существу
ет	lim ап = а, откуда следует, что {ап — а} — последовательность,
	1 2 —^ ОО

монотонно стремящаяся к нулю. Из сходимости ряда (33) следует,

§41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

403

что последовательность {-Вп} его частичных сумм ограничена. Поэ-

	оо
тому ряд	—а)Ъп сходится по признаку Дирихле. Отсюда и из

П = 1

сходимости ряда (33) заключаем, что ряд (23) сходится, так как

		бп^п — {б>п		б)Ьп +I	аЬп. ®
						сю
Пр и м е р		4. Исследовать на сходимость ряд Е an, где
			ТТЛ			п = 1
		„ _	C0ST	Л	, П	- "
		а” ~~ Vnln(n + 1) V			п )	'
А Ряд	у	cos 7ГП	сходится (пример 3), а последовательность
А Ряд	у	—=——§----	сходится (пример 3), а последовательность
	' л/пЪ.(п + 1 )
	П = 1
							СЮ
\| ^1 + —^		J монотонна и ограничена. Поэтому ряд					ап сходится
(признак Абеля). ▲							71=1
(признак Абеля). ▲
4.	Условно сходящиеся ряды. Ряд
			Е	an			(34)
			77,-1

называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд

СЮ

la^l

расходится.

При исследовании ряда на сходимость и абсолютную сходимость иногда оказывается полезным следующее утверждение.

	сю
Т е о р е м а 4. Если ряд (34) абсолютно сходится, то ряды	h
Т е о р е м а 4. Если ряд (34) абсолютно сходится, то ряды	Ьп
“	п = 1

и У_.(ап + Ьп) одновременно либо абсолютно сходятся, либо условно

сходятся, либо расходятся.
О Доказательство этой	теоремы аналогично доказательству теоре
мы 5 из § 38. •
Пр и м е р 5. Доказать, что ряд
СЮ
Е Smа :Х;	0 < а ^ 1, х ф пт (то £ Z),	(36)
77—1

сходится условно.

404 Гл. VIII. Числовые ряды

А	Ряд (36) сходится (пример 2). Докажем, что ряд
		пг	0 < « < 1 ,				шX * ш т	(m е Z),	(37)
	п = 1	пг
	п = 1
расходится. Воспользуемся неравенством
			\|sinnx\|			^	sin" пх		.„сч
			.V, ГУ				.V, Гг '		V >
m	. 9	1 —2 cos 2пх							cos 2пх ,
1 ак как sin пх =				, то из сходимости ряда 2_^					2па— (при
					-V	1		п=1
мер 3) и расходимости ряда 2_^						^ ’ гДе 0 <. а...		^ 1, ...х ф, пт.......... (rnт € Z
				п = 1		2па
				п = 1		9
			сю			9			/осч
			E		sin- пх				/осч
			E			п' —, откуда в силу условия (38) сле-

п = 1

дует расходимость ряда (37) по теореме сравнения (§ 40, теорема 3). Это означает, что ряд (36) сходится условно. ▲

Пр име р 6. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

СЮ

ряд Е аП1 если:

п= 1

/,_ п п+1

, 2/Я

а) а п =

;

б)a „ = esm”/”

^ c o s - .

v« + (—i)

а) Запишем ап в следующем виде:

&п —

л/п

(V1 1

л/п

Используя

асимптотическую

формулу

(1 + t)^1 =

1 —t + t2 + o(t2)

(—1)П+1\ ~ 1

(—1)П+1

—1

(1 + ctn),гДе

+ -— 7=— I= 1 —-— 7=---------

a n

—¥0при

n —¥

oo, и

1при

v n

Тогда a„ =

поэтому \an\ ^

n ^ no-

(—1)”+1

1 ,

, .

—

V«

—

h bn, где

\bn\ ^ —Г) и поэтому слагаемое Ьп не влияет

п3/2

°°^ /_1\П+1

на сходимость исходного ряда (теорема 4). Так как ряд

-— ——

сю

СЮ

п = 1

сходится условно, а ряд УУ —П расходится,. то и ряд.

п = 1

УУ. ап&П расходится.

п = 1

б) Так как е* = 1 + t+ — + o(t2), cost = 1 ——+ o(t3), то esm«/« =

1	S in n	Q.n	1	1	^		ci, cos	1	=
= 1	+ —177	+ —77, где	\an\		^		ci, cos	n	=
	n !	n4/3						n
	bn, где \b \ ^					+ У . Ряд V
	0/<ч I ^775 1Mv-' p-'n X			\|/г, I			9		(
	2/3			nт4/3/6			77,n-3		(

i	,	P n		s o I	^
1	+	n2	, где	\ 3n\	^ c2,	an =

bn сходится абсолютно, а

n = l

	§41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды	405
		оо
ряд	^ сходится условно (пример 5). Поэтому ряд	ап схо-
	П=1 ^	П=1
дится условно (теорема 4). ▲
	ОО

Замечание 2. Если члены ряда 'У ) а„ меняют знак и выполняется

	П~1	°°	°°	( Ь„
условие а„ ~ Ь„ при п —¥ оо, то отсюда не следует, что ряды У ) а„ и ^
		п=1	п=1
эквивалентны в смысле сходимости, т. е. сходятся или расходятся одновре-
менно. Так, если а„ =	/ -\|\П+1	(_1\П+1		при
	— j -— -— - (пример 6, а)), то а„ ~		——
	Vn + (-1)”+1	л/п
°°^ (_;ПП+1		°°^
п —¥ оо, однако ряд }	----- —— сходится, аряд	у а„ расходится.
'	v n	п=1
п=1
В заключение рассмотримсвойства условно сходящихся			рядов с

действительными членами. Итак, пусть ряд (34) сходится условно, т. е. этот ряд сходится, а ряд (35) расходится. Обозначим

			а к = < Ч + Ы '							(39)
Тогда из равенств (39) следует, что для всех к £ N
				а к > 0 ,	13к > 0,					(40)
_	Г	ак,	если	ак > 0,	я _	/	- ак,	если	ак <0,	..	,
ак ~	\	0,	если	ак ^ 0,	Рк ~	\	0,	если	ак > 0,	1	'
и				ак = а к -		/Зк.				(42)
				ак = а к -		/Зк.				(42)
Т е о р е м а			5. Если ряд (34) сходится условно, то ряды
				ОО
										(43)

п= 1

оо

Е '»•	(44)
п= 1

где числа а п, (Зп определяются формулами (39) или (41), расходятся, причем

lim а п = 0,	lim /Зп = 0.	(45)
П —¥ ОО	П —¥ ОО

О Предположим, что сходится ряд (43). Тогда из сходимости ря-

СЮ

да (43) и ряда (34), т. е. ряда J ^ ( а п —/Зп), следует сходимость ряда

“	п=1
2_^(а п + Рп), так	как а п + /Зп = 2ап - (ап - /Зп).

406 Гл. VIII. Числовые ряды

С другой стороны, из равенства (39) следует, что \ап\ = а п + (Зп, где а п 0, (3„ 0. Поэтому должен сходиться ряд (35). Это противо речит тому, что ряд (34) сходится условно. Итак, ряд (43) не может сходиться. Аналогично доказывается расходимость ряда (44).

Соотношения (45) выполняются, так как последовательности {ап}

и {Рп} определяются формулами (41) и lim ап = 0. •

п —>оо

Т е о р е м а 6 (Римана). Если ряд (34) сходится условно, то каким бы ни было L (числом или одним из символов +оо, —оо), можно так переставить члены этого ряда, что последовательность частичных сумм получившегося ряда будет иметь L своим пределом при п -+ оо.

Доказательство этой теоремы содержится, например, в книге [10, с. 430-433].

УПРАЖ НЕНИЯ К ГЛАВЕ V III

ОО	ОО
1. Доказать, что если ряды	Ъп, где а„ € R, Ь„ € R (п € А/),

п=1 п=1

оооо

сходятся, то и ряды 'У ] а„Ь„ и У ](а„ + Ь„)2 также сходятся.

п = 1	п = 1
	оо

2. Доказать, что ряд У ] ап расходится, если последовательность {па„}

П=1

имеет отличный от нуля предел.
3. Доказать, что если ап > 0 и ап+1							ап для всех п		п о ,	то из сходи-
ОО
мости ряда У	а„ следует, что					lim па„ = 0.
'	1					п —>оо
п =	1
4. Доказать, что если ап						О при в	по и последовательность {пап}
		ОО				9
						9
		?г=1	а" сходится. Е
		?г=1
						оо
5. Доказать, что если ряд						У ] ап, где а„		О для	всех	п, сходится,
то ряды						«=1
ОО	ОО	—	оо	^					оо
^ ^ л/(Ь п,(Ьп+ 1 ; ^ ^		?	^	^	(& ?г "4" & ?г+ 1		4 " ••• 4 "	(l2 n —l ) ; ^	^ \ / & п & п + 1 • ••Cl2n — 1
п = 1	п = 1		п = 1					п = 1
также сходятся.
										ОО	9
6. Пусть а\ = 1, an+i =						— (в Е А/). Доказать, что ряд				>	— схо-
				в	4~ &п					'	п
дится.										п = 1
дится.

Т. Доказать, что если ап > 0 для всех в Е А/ и lim ап = 4-оо, то су п-4-оо

ществует последовательность {Ьп}, где Ьп ^ 0 для всех в Е А/, такая, что

					Упражнения к главе				VIII	407
ряд		Ьп сходится, а ряд					У~~^ а„Ь„ расходится.
								(1}1
							п=1
8.	Доказать, что если ряд У ' а„ сходится условно и ап = У ' lafe I ак ,
V"4lafcl —a*!					Г		Т"""1,			4=1
т„ =	>	xJ	— - , то		hm		—	= 1.
	'	xJ		2	n-4-oо <ТП
	& = 1
								оо
9. Доказать, что если ряд У ' а„ сходится условно, то существует такая
								ч	ОО
								П=1		апЬ„ расходится.
бесконечно малая последовательность {Ьп},									что ряд У	апЬ„ расходится.
									П = 1
10. Доказать, что ряд						>		I
10. Доказать, что ряд						>		—=(а„ —а„~i) сходится, если последователь-
ность {an} ограничена.						“		у п
ность {an} ограничена.						п~2
								ОО
11. Доказать, что из сходимости ряда У ' Ь„ и абсолютной сходимости
	ОО							П = 1 оо
ряда У^(а„ —a„+i) следует сходимость ряда У~~^ а„Ь„.
1 2 .			Д оказать, что если а„ > 0 для всех п € N и ряд							У ' а„ сходится, то
										&n
Е			ап	где r n = 2_^			ak, сходится.		n=1
Е		—j = ,		где r n = 2_^			ak, сходится.

k— n+1

ГЛАВА IX

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§ 42. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

1. Сходимость функциональной последовательности и ряда.

а) Сходимость последовательности функций. Пусть функции fn(x), п е N, определены на множестве Е и пусть XQ е Е. Если числовая последовательность { f n(xо)} сходится, то говорят, что по следовательность функций {/„(х)} сходится в точке XQ.

Последовательность {/„(ж)}, сходящуюся в каждой точке х е Е, называют сходящейся на множестве Е. В этом случае на множест ве Е определена функция /(ж), значение которой в любой точке х е Е равно пределу последовательности {/„(ж)}. Эту функцию называют

предельной функцией последовательности {/п(ж)} на множестве Е и

пишут	ж е Е,
lim /„(ж) = /(ж),	ж е Е,	(1)
П —¥ ОО
ИЛИ
fn(x) -т /(ж),	ж е Е,
или, короче,

f n V -

По определению предела запись (1) означает, что

Уж € Я Ve > 0 3 N = Ne(ж): Vn > N -А |/„(ж) - /(ж)| < е.

Пр и м е р 1. Найти предельную функцию /(ж) последовательнос ти {/п(ж)} на множестве Е, если:

а) fn(x) = П*	Е = R; б) /„(ж) = ns i n — , Е = (0,+оо).
П + X1	пх
А а) Так как /„(ж) =	1 + -
А а) Так как /„(ж) =	то /(ж) = 1.

I T -

п.

б) Используя асимптотическую формулу sin t ~ t при t —¥ 0, полу-

■ 1 1

чаем nsin — ~ п — при п —¥ оо, если ж Ф U.

пх пх

Поэтому /(ж) = ▲

§42. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

409

б) Сходимость функционального ряда. Пусть функции ип(х), ri £ Л/,

определены на множестве Е и пусть для каждого х £ Е существует

конечный предел последовательности {^„(ж)}, где Sn(x) = Е ик(х).

Тогда ряд	СЮ	к=1
1	СЮ
	J 2 un(x )	(2)
	ТЪ—1

называют сходящимся на множестве Е.

Если S(x) — предельная функция последовательности {^„(ж)} на

множестве Е, т. е.	Sn(ж) = S(ж),	х £ Е,
lim	Sn(ж) = S(ж),	х £ Е,
П —¥ СЮ
то функцию называют S(ж) суммой ряда (2) и пишут
' ^ и п(х) = S(x),		х £ Е.
п = 1		1 —хп
Например, если «„(ж) =	ж” , Е =	1 —хп
Например, если «„(ж) =	ж” , Е =	(—1,1), то Sn(ж) = —------ ,

СЮ

S(ж) = ----- . Если в каждой точке ж £ Е сходится ряд 2_^ \ип(х)\, то

П = 1

ряд (2) называют абсолютно сходящимся на множестве Е.

2. Равномерная сходимость функциональной последова

тельности.

а) Понятие равномерной сходимости последовательности функ ций.

Опре де ление . Последовательность функций

{fn(x)}

называется равномерно сходящейся на множестве Е к функции /(ж), если

Ve > 0 3 Ne: Vn > Ne Ух £ Е ^ |/„(ж) - /(ж)| < е.

(3)

В этом определении существенно, что номер Ne не зависит от ж. Если справедливо утверждение (3), то пишут

fn(x)

/(ж), ж е Е,

ИЛИ

f n ^ f -

Еоворят, что последовательность {/п(ж)} равномерно сходится на множестве Е, если существует функция / , удовлетворяющая усло вию (3).

Если существуют числовая последовательность {ап} и номер щ такие, что

Vn > п0 Ух £ Е \fn(x) - f (ж)| ^ ап,

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 6841 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб124Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб109Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб81Конспекты по химии.pdf