Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

390	Гл. VIII. Числовые ряды

Если интеграл (5) расходится, то ряд (4) должен расходиться, так как в случае сходимости ряда (4) сходился бы по доказанному выше и интеграл (5). Аналогично, из расходимости ряда (4) следует расхо димость интеграла (5). •

СЮ

		Е —1	сходится
		па
У п р а ж н е н и е	1. Используя теорем у 2 и пример 11 из § 38, показать,
что ряд	^
сходится при а. > 1	(/3 любое), а такж е при а. =	1 , если /3 > 1 , и расходится
при других значениях а и /3.
3. Признак сравнения.
Т е о р е м а 3. Если для всех ri € N выполняется условие
	0 йп ЬП1		( 11)
то из сходимости ряда
	ОО

( 12)

П=1

следует сходимость ряда (1 ), а из расходимости ряда (1 ) следует рас ходимость ряда (1 2).

О Из сходимости ряда (12) с неотрицательными членами (усло

вие (1 1)) по теореме 1 следует ограниченность сверху последователь
ности его частичных сумм, т. е.	п

ЭМ: Vn G N	«СМ,

к=1

откуда, используя условие (1 1), получаем

Пп

для всех п € N.

k=i k=i

§40. Ряды с неот рицательными членами

391

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) огра ничена сверху, и в силу теоремы 1 ряд (1 ) сходится.

Если ряд (1) расходится, то ряд (12) также должен расходиться, так как в случае сходимости ряда (1 2) сходился бы ряд (1 ). •

З а м е ч а н и е		1. Теорем а 3 остается в силе, если условие (11) выполня
ется при всех		где гп — заданный номер.
тт	о	IT	m	ап =		(3 + 2 ( - l ) n )(l + sin3 n)
Пр и м е р 2. Доказать, что ряд (1), где				ап =		------- -— Пл/П
сходится.			5, 0 ^ 1 + sin3 те ^ 2 при всех те € Л/, то
А Так как 1 ^ 3 + 2( —1)” ^			5, 0 ^ 1 + sin3 те ^ 2 при всех те € Л/, то
п	10		СЮ		10	о
п	10	ииз сходимости ряда >			10	о
U ^	ап ^ —j-,	ииз сходимости ряда >			— г	по теореме 3 следует
	те3/ 2	о о	■“		те3/ 2
		Е ап. А	п —1
		Е ап. А
		п = 1
С л е д с т в и е		1. Если ап > 0 и Ъп > 0			для всех п 1+щ и ап ~ Ъп
при	те -+ оо, т. е. lim ^ = 1 , то ряды (1 ) и (1 2) либо оба сходятся,
		П—^ОО Ъп
либо оба расходятся.

О Это утверждение доказывается по аналогии с соответствующим утверждением для несобственного интеграла (§ 38, следствие из тео ремы 2). •

									СЮ
	Пр име р 3. Исследовать на сходимость ряд									если:
									71=1п=
	а) ап =	/ ^ a r c s i n f l / n )		1	1 ;		„	з / 2 п + 1		/InП —- 1
	а) ап =	\| е<“—“w v -		1	1 ;	о) ап =			_ у ^П+ 1 '
	- Iе		“	Ч	1	б)	ап ~	у	_ у ^П+ 1 '
А	а) Так	как	arcsin £	=	t + o(t2),		е* —1 =		t + o(t),	earcsm* _ 1 =
=	t + o(i)	при t -+ 0, то an ~				при те -+ oo. Поэтому ряд сходит
ся при а > 1 и расходится при а ^							1 .		(1 + £)“ = 1 + at + o(t)
	б) Используя асимптотическую формулу								(1 + £)“ = 1 + at + o(t)
при t—¥ 0, получаем
, 1 ^ = ( 1 +			2 у ;з = 1 +				2 ^ + от = 1 + 1 + /1
	2п —1	V	2п —1 /			3(2п —1 )			\ n J	3 n	Vn
	п + 1	V п + 1/				2 V п + 1 /			\ п )	п	\п
					4					°°	расхо-
при те —^ оо, откуда а„ ~ —						при те —^ оо. Поэтому ряд ^ а„					расхо-

П = 1

дится. ▲

392 Гл. VIII. Числовые ряды

	С л е д с т в и е 2. Если члены рядов (1) и (12) удовлетворяют при
всех к ^			то условиям
					ак > 0,		Ък > О,		а к	к	(13)
то из сходимости ряда (1 2)									а к	к
то из сходимости ряда (1 2)							следует сходимость ряда (1 ), а из расхо
димости ряда (1 ) следует расходимость ряда (1 2).
О	Полагая в (13) к = то, то +						1,		—1 и перемножая соответствую
щие неравенства, получаем
				йт + 1 (1т+2		(In —1	П п	^	Ьт+1 Ьт + 2	Ьп —1 Ьп
					& т +1	(ln —2 (In —1			Ь т & т +1	Ьп —2 Ьп —1
	&п		^	Ьп						.	1
или —			^	— , откуда следует, что при всех n ^ т +							1 выполняется
	йщ			Ьт
неравенство ап V АЬп, где Л =								> 0. Для завершения доказательства
							Ь т
следует применить теорему 3. •
	4.	Признак Д’Аламбера.
	Т е о р е м а				4. Пусть дан ряд
					СЮ
					га=1	где	ап > 0		для всех	п € N.	(14)
	Тогда:				га=1
	Тогда:
	а) если существует число q € (0, 1 ) и номер гп такие, что для
всех п ^			то выполняется неравенство
							^	^ q	,		(15)
шо ряд (14) сходится-,							йгг
шо ряд (14) сходится-,
	б) если существует номер гп такой, что для всех										гп выполня
ется неравенство							O n+ l ^		j		, 1 6 ч
							O n+ l ^		j		, 1 6 ч
то ряд (14) расходится.							ап
то ряд (14) расходится.								что ат + 1 ^		qam, ат + 2 ^ gaTO+i ^
О	а)	Из		условия (15)		следует,		что ат + 1 ^		qam, ат + 2 ^ gaTO+i ^
^ Ч2ат, и поэтому
					Ого+р ^ ЧРат			ДЛЯ любого р € N.			(17)
				СЮ
Так как ряд ^					amqp, где 0 < q < 1, сходится (§ 39, пример 1) и ап > 0
				p=i
при всех п € А/, то по теореме 3 сходится ряд
							СЮ
							У ^				(18)
							р=1

откуда следует сходимость ряда (14), получаемого из ряда (18) до бавлением конечного числа членов (§ 39, п. 3, свойство 2).

§40. Ряды с неот рицательными членами

393

б) Из условия (16) следует, что ат+1 ^ ат, ат+2 ^ ат+1 ^ ато,

ата+з ато и т. д. Следовательно,
а-т+р	а™ > 0 для всех р € N.	(19)
Поэтомуряд (18), а	вместе с ним и ряд (14)расходятся, так как

в силу условия (19) ап -ft 0 при ri —Уоо (не выполняется необходимое условие сходимости ряда). •

С л е д с т в и е (признак Д’Аламбера			“в предельной форме”). Если
существует
lim	^	=	А,	(20)
п —>оо	а п

то ряд (14) с положительными членами сходится при А < 1 и расхо дится при А > 1.

Пр име р 4. Используя признак Д’Аламбера, исследовать на схо-

СЮ

димость ряд Е а„, где:

п= 1
fjU				\|
а) ап = — ,а> 0;			б) ап = — .
п!			а” +1	п п
А а) Ряд сходится, так		как	а” +1	=	—------ У0 при п —¥ о о , т. е. вы-
полняется условие			а п		п + 1
полняется условие	(20) при А =0.
б) Так как	=	(	п =	( \	+	е Г 1	при п - У о о ,	то
ап	\ п + 1 /			V	п /		рядсходится.	▲
выполняется условие (20) при А = е- 1 <1. Поэтому							рядсходится.	▲

5.П ризнак Коши.

Те о р е м а 5. Пусть дан ряд

ОО

Е°»>

(21)

п=1

где ап ^ 0 для всех п € N. Тогда:

а) если существуют число q € (0, 1 ) и номер гп такие, что для

всех п ^ то выполняется неравенство
tya,п^ q,	(22)

то ряд (2 1) сходится-, б) если существует номер гп такой, что для всех п ^ то выполня

ется неравенство

то ряд (2 1) расходится.

О а)Изусловия (22)следует, что при всех п ^ товыполняется не равенство ап ^ qn, где 0 < q< 1. По теореме 3 из сходимости ряда

394				Гл. VIII. Числовые ряды
	qn следует сходимость ряда					ап. Поэтому ряд (21) также схо-
•ii—т						П
•ii—т		(§ 39, п. 3, свойство 2).			п = т
дится		(§ 39, п. 3, свойство 2).				всех п ^ гп, и поэтомуряд
	б)	Если	> 1, то а„ > 1		при	всех п ^ гп, и поэтомуряд		(21)
расходится. •
	С л е д с т в и е		(признак Коши “в предельной форме”). Если ап					О
(та	€ Л/) и существует			lim		= Л,		(23)
				lim		= Л,		(23)
				П —¥ СЮ
то при Л < 1 ряд (2 1) сходится, а при Л							> 1 расходится.
	З а м е ч а н и е		2. Если	условие	(20)	илиусловие (23) вы полняется		при
А =	1, то ряд (14)		может	как сходиться, так			и расходиться, т. е. признак

Д’Аламбера (Коши) при А = 1 не реш ает вопроса о сходимости ряда (14).

З а м е ч а н и е	3. Из сущ ествования	предела (20) следует, что сущ ест
вует предел (23)	и эти пределы равны	(см. [10, § 5, пример 8]), а обратное

утверж дение является неверным. Поэтому говорят, что признак Коши при исследовании сходимости рядов с положительными членами сильнее при знака Д’Аламбера.

										оо
	Пр и м е р	5.	Исследовать				на	сходимость ряд Е ап, где ап =
	п + 1 ' ” 2									п=1
	П + 2'		/ n + l \		”		(1	1	1
л	ГП	/	/ n + l \		”	=	V	п )	1	то условие (23) выпол-
А	1ак как	у а п = (		I		=	—---------^		в	то условие (23) выпол-
			\п	+ 2 /			А ^ 2 \		в

\п )

няется при Л = - < 1 , и поэтому ряд сходится. ▲

		в
6.	Признак Раабе.
Т е о р е м а		6. Если ап > 0 для всех N и существует
		lim	п ( —		l) = А,	(24)
		П—¥ОО	\а ,п +1		/
то ряд (14) сходится при А > 1 и расходится при А < 1.
Доказательство теоремы			6	содержится, например, в		книге [10,
с. 417, 418].					СЮ
					СЮ
Пр име р		6. Исследовать		на сходимость ряд Е ап,		где ап =
- L ( ™	) n				n = 1

п\ \ е )

АПризнак Д’Аламбера не позволяет решить вопрос о сходимости

ряда, так как	lim	a” +1	= 1. Воспользуемся признаком Раабе. В дан-
ном примере	П—¥СЮ	а п	ап		-Л	(	е
		(		1
	On = п I				/	= та!
		Van+i				V(1 + l/n)h

§41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

395

Так как lim	+ х^	= -	(§ 18, пример 9), то lim ап = - , и
х —>0	X	2				п —>сю	2
согласно признаку Раабе (теорема 6) ряд расходится. ▲
				оо	^	п
З а м е ч а н и е	4. Расходимость		ряда	^	— ( — J	легко доказать	с по-
				11 =	1
			— J	л/ 2 ттп (см § 77, (12)).

§41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

1.Абсолютно сходящиеся ряды. Ряд с действительными или комплексными членами

£	апА'П	()
77,—-1	апА'П	1
77,—-1
называется абсолютно сходящимшся,1 если сходится ряд
сюСЮ
£ К10>п\|1-		(2)

п= 1

Рассмотрим свойства абсолютно сходящихся рядов.

Св о й с т в о 1. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

О Пусть ряд (2) сходится. Тогда для него выполняется условие Коши

(§ 39),	т. е.				п+р
					п+р
	Ve > 0		3Ne: Vn > Ne		Vp G N -+ £	\ak\ < e.
	n+p		n-\-p		k = n + 1
	n+p		n-\-p	\ap\, то и для ряда (1 ) выполняется условие
Так как £		ak	^ £	\ap\, то и для ряда (1 ) выполняется условие
	к=п+ 1		к=п+1
Коши, и в силу критерия Коши этот ряд сходится. •
Св о й с т в о		2. Если ряд (1) абсолютно сходится, а последователь
ность {Ь„} ограничена, т. е.
			3 M > 0 : V ne		N ^ \ b n\ ^ М ,	(3)
	СЮ
то ряд	апЪп абсолютно сходится.
	77— 1

О Для доказательства свойства 2 следует воспользоваться критери ем Коши сходимости ряда и неравенством

п+Р	п + р
£	\|ак Ьк \ ^ М £	\ак\,
к=п+ 1	к=п+ 1

которое выполняется в силу условия (3). •

396 Гл. VIII. Числовые ряды

оо
Св о й с т в о 3. Если ряды Е ап ^и Е иЬп абсолютно сходятся, то
п = 1	п = 1

при любых А и р, абсолютно сходится ряд

П—1

О Для доказательства свойства 3 следует применить критерий Коши. •

Св о й с т в о 4. Если ряд (1) абсолютно сходится, то и ряд

ОО
Е 5 ?’	(4 )
j=i

полученный перестановкой членов ряда (1 ), абсолютно сходится, при

чем сумма S ряда (4) равна сумме S ряда (1 ).

О Докажем, что ряд (4) абсолютно сходится, т. е. сходится ряд

СЮ
E f a i -	(5)
з= 1

Так как ряд (4) отличается от ряда (1) только порядком располо жения членов, то

Vj £ N 3kj £ N: apj = a j.

Обозначим <7„ = la,-I, n = max fc,-. Тогда тестей для всех п £ N

3=1

выполняется неравенство

' П

k= 1

где А — сумма ряда (2). Отсюда по теореме 1 из § 40 следует сходи мость ряда (5). Заметим, что сходится и ряд (4) в силу свойства 1.

б) Докажем, что

S = S.

(6)

Из сходимости рядов (1) и (2) следует, что для любого е > 0 най дется номер N = Ne такой, что для всех ri ^ Ne и для всех р £ N выполняются неравенства

s - x > fc	< I ’	(7)
к= 1
п + р		(8)
Е м<§-		(8)

к= п-\ 1

§41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

397

Пусть N —наибольший из номеров,которые члены a±,02, ...,ам ряда (1) имеют в ряде (4), т. е. N = max ( j i , jjv ,), где ар = a,jk (к = 1, N). Тогда

N ^ N .

(9)

Обозначим те-ю частную сумму ряда (4) через Sn и покажем, что для всех те > N выполняется неравенство

\ S ^ S n\ <e .	(10)
П

Так как для любого те > N сумма Sn = ^ ^ а р содержит члены 0 1, 0-2,...

J =1

..., о %ряда (1) согласно выбору числа N (неравенство (9)), то разность

П	N
А = - SW = Е	“* - Е а*’	(11)
к = 1	к = 1

где те > N , может содержать лишь такие члены ряда (1 ), номера ко торых больше N.

Пусть N 1 — наибольший из номеров, которые имеют в ряде (1) члены ряда (4), входящие в Sn при те > N, т. е. N 1= max (к\, ..., кп), где apj = a.j (j = 1,те). Тогда

N' = N + p, р (г N.

Поэтому разность А (равенство (11)) представляет собой сумму та ких членов (не обязательно всех) ряда (1 ), номера которых больше N, но не превосходят N 1= N + р. Следовательно,

N+p

\| д к Е	ы < §	(12)
k = N + 1

в силу условия (8).
	Из равенства S — Sn = S — SN — (Sn — SN ) = S — SN —А в си
лу	(7)	и (12) следует,	что для	всех	те	N выполняетсянеравенст
во	(10).	Это означает,	что lim	Sn = S,		т. е. справедливо равенст-
во (6). •			п —>оо
во (6). •
	Св о й с т в о 5. Если ряды (1)			и
				ОО
			Е ь»			(13)
			п = 1
абсолютно сходятся, то и ряд
			ОО
			Е	"<• bi	■	(14)

S — 1

398 Гл. VIII. Числовые ряды

составленный из всевозможных попарных произведений членов ря дов (1) и (13), абсолютно сходится, причем сумма ряда (14) равна произведению сумм рядов (1) и (13).

О а) Докажем, что сходится ряд

		СЮ		(15)
		Е I"'- h! I-		(15)
		S— 1
Пусть тт — гп-я частичная сумма ряда (15), А и В — суммы ря-
сю	сю
ДОВ Е l&nl И	Е \Ьп\ соответственно. Тогда
п= 1	п —1	гп	т	т
	Тт =	У ] \|аг» bja\| ^	\|а,а \| £ IbjB\| ^ АВ,
		S=1	S=1	S=1

т. е. частичные суммы ряда (15) ограничены сверху и по теореме 1 из § 40 ряд (15) сходится,

б)	Докажем, что	т = Sa,		(16)
		т = Sa,		(16)
где т,	S,и а —суммы рядов	(14), (1) и (13)соответственно. Заметим,
что все члены ряда (14)содержатся в				следующей таблице:
	1	2	5	10
	aibi	Clobi	a3bi	a4&i
	4	3	6	11
	Cllbo	агЪг	азbo	афз
	9	8	7	12
	aih	aobg	афз	афз
	16	15	14	13
	(l\bi	<l2&4	a3&4	о ib1

Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, ука занные в таблице (такой метод перечисления называют “методом квадратов”). В этом случае получается ряд

aibi + (a2bi + a2b2 + aib2) + (a3bi + a3b2 + agbg + a2bg + a3b3) +

+ (0461 + 0462 "T (i4.bg + 0464 + (ig64 + o264 + 0164) + ..., (17)

образованный из всевозможных попарных произведений членов ря дов (1) и (13), т. е. ряд вида (14).

По доказанному выше всякий ряд вида (14) и, в частности, ряд (17), абсолютно сходится и, значит, сходится (свойство 1 ), а сумма ря да (14) не зависит от порядка расположения его членов (свойство 4). Поэтому ряд (17) сходится, а его сумма равна т.

Пусть Sn, ап, тп — п-е частичные суммы рядов (1), (13) и (17) со ответственно; тогда тп2 = Snan. Так как Sn -б- S и ап —1 а при п -б- оо,

§41. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

399

то тп2 —£ Sa при те —£ оо. С другой стороны, { т п 2} — подпоследова тельность сходящейся к числу т последовательности { т п } , и поэтому тп2 —£ т при те —£ оо. Отсюда следует, что т = Sa. Равенство (16) до казано. •

2. Знакочередую щ иеся ряды. Ряд

СЮ
^ ( ^ 1 )”+1 а„,	где	ап > 0	при всех те € Л/,		(18)
п= 1
называют знакочередующимся.
Т е о р е м а 1 (Лейбница). Если последовательность {ап} монотон
но стремится к нулю, т. е.
а-п ^	а„+1	для всех	те G	А/,	(19)
	lim ап = 0,				(20)
	П —¥ ОО
то знакочередующийся ряд (18) сходится.
П
О Пусть Sn = ^2(-l)k+1ak.Тогда S2(n+i)-				S2n — 0-2п+1 — 0-2п+2	О

k= 1

в силу условия (19), т. е. {S2n} — возрастающая последовательность. Кроме того,

S2n = O i — ( 0,2 — а з ) — . .. — (а2п-2 — 0,2п-1 ) _ 0-2п < Й 1 ,

так какап > 0 для всех те £ А/ и {ап} — убывающая последова тельность (условие (19)). По теореме о пределе возрастающей и ограниченной сверху последовательности существует конечный lim S2n = S. Отсюда и из условия (20) следует, что lim Sn = S,

п —>оо	п —too
т. е. ряд (18) сходится. •
Сле дс твие . Для знакочередующегося ряда (1)	при всех те G А/
справедливы неравенства

		S2n ^ S ^ S2n+1,			(21)
		\S-	Sn\4: Оп+1.		(22)
О Заметим, что^ n + i		= S 2 n - i		~ (а 2 п — а-2 П + 1 )•Откуда	в силу
условия(19) следует,	что ^ n + i		^	S2n- ъ т- е-{SW-i}— убывающая
последовательность.	Так	как	S	является пределом возрастающей

последовательности {S2n} и пределом убывающей последовательнос ти {S2n_i}, то справедливо неравенство (2 1), которое можно записать в виде

52п-1 —а-2п ^ S ^ S2n + Й2П+1 -

Отсюда следует, что S2n- 1 —S ^ а,2П, S —S2n ^ a2n+i- Это означает, что при всех те G N выполняется неравенство (22). •

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб124Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб109Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб81Конспекты по химии.pdf