Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

откуда, используя условия (36)-(38), получаем

p - 1

M < Е 1(а»+1(ж) —ап+4+1(ж)) + gj^lan+p(a')l = i=i

= 3M (0n+1 ^ _ an+p(x) + 1а»+р(ж)|) sj - ^ (2 \a n+p(x)| + \an+\ (ж)| sj e.

Таким образом,

ипо теореме 3 ряд (28) сходится равномерно на множестве Е. •

5.Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

а) Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Т е о р е м а 7. Если все члены ряда (14) — непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, а ряд (14) сходится равномерно на [а,Ь], то его сум­ ма S(x) также непрерывна на отрезке [а,Ь].

О Пусть Хо — произвольная точка отрезка [а, Ь]. Для определенности будем считать, что XQ £ (а,Ь).

Нужно доказать, что функция

СЮ

S(x) = У ^ и п(х)

ТЪ— 1

непрерывна в точке XQ, т. е.

где Us(x0) = (ж0 - 6,х0 + 6) С [а,Ь].

П

По условию Sn(ж) S(ж), ж £ [а, Ь], где ФДж) = Е Wife (ж), т. е.

Функция Sno(ж) непрерывна в точке XQ как сумма конечного числа непрерывных функций «Дж), к = 1,щ- По определению непрерыв­ ности

424 Гл. IX . Ф ункциональные ряды

сходится хотя бы в одной точке XQ € [а, Ь], т. е. сходится ряд

оо

то ряд (49) сходится равномерно на отрезке [а,Ь], и его можно по­ членно дифференцировать, т. е.

ОО

[а, Ь]. Так как Ju'n(t) dt = ип(х) — ип(хо), то равенство (54) можно за- Х()

Так как функция r(t) непрерывна на отрезке [а, Ь] по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом (§ 36) левая часть равенства (57) имеет производную, которая равна т(х). Сле­ довательно, правая часть (57) — дифференцируемая функция, а ее производная равна S'(x). Итак, доказано, что т(х) = S'(x), т. е. спра­ ведливо равенство (51) для всех х G [а, Ь]. •

З а м е ч а н и е 3. При условиях теоремы 11 функция S ' (х ) непрерывна на отрезке [а, Ь], т. е. 5(ж) — непрерывно дифференцируемая на [а, 5] функция.

Т е о р е м а 12. ifo/ш последовательность {5п(ж)} непрерывно диф­ ференцируемых на [а, 6] функций сходится хотя бы в одной точке хо G [а, Ь], а последовательность {5^(ж)} сходится равномерно на [а, Ь], то последовательность {5п(ж)} также сходится равномерно на [а, 6]

О Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. •

§43. Степенные ряды

1.Радиус и круг сходимости степенного ряда. Функцио­

где сп (п = 1,2,...) и а — заданные комплексные числа, ( — комп­ лексное переменное, называют степен­ ными рядами, а числа сп — коэффициен­ тами степенного ряда (1).

Полагая в (1) z = ( — а, получим ряд

но, при любом z таком, что \z\ < \zo\;

а если этот ряд расходится при z = z\ ф 0, тоон расходится при всяком z, для которого \z\ > \zi\.

О а) Пусть Ко = { z : \z\ < \zo\} — круг на комплексной плоскости с центром в точке О (рис. 43.1) радиуса \zo\, и пусть z — произвольная точка круга АГ0, т. е. \z\ < \zq\, и поэтому

Так как ряд (2) сходится в точке zo, то должно выполняться условие

lim CUZQ = О,

426 Гл. IX . Ф ункциональные ряды

п= 0

ZQ — произвольная точка круга К , то ряд (2) абсолютно сходится в этом круге.

Щ> i/p-

Таким образом, если правая часть равенства (8) — положительное

число, то ряд (2) сходится в круге К и расходится вне этого круга. Следовательно, 1/р — радиус сходимости ряда (2).

б) Если р = 0, то lim \J\cnz n \ = \z\p = 0 для любой точки г комп-

п —too

лексной плоскости, и поэтому ряд (2) сходится при любом z. Это означает, что радиус сходимости ряда R = +оо. И в этом случае фор­ мула (8) верна, если считать, что 1/оо = 0.

в) Если р = +оо, то для любой точки z ф 0 имеем lim \J\cnz n \ =

п —too

= \z\ lim л/\сп\ = +oo, и поэтому ряд (2) при z ф 0 расходится. Это

П - Л О О

означает, что R = 0.

Аналогично можно доказать формулу (9), используя признак Д’Аламбера сходимости рядов (§ 40). •

З а м е ч а н и е 2. Пределы (8) и (9) м огут не сущ ествовать. Однако име­ ется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости R сте­ пенного ряда (2), а именно формула

R

которую назы ваю т формулой Коши Адамара (доказательство формулы (10) содерж ится, например, в [2]).

Напомним, что символом lim х„ обозначается точная верхняя грань

П-+00

множ ества всех частичны х пределов (см. § 7) последовательности { х п }.

где ап (те = 0,1,2,...), XQ — заданные действительные числа, х — действительное переменное, существует, согласно теореме 2, та­