Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 6838 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

370			Гл. VII. Определенный интеграл
V Ji- Таким образом, для неотрицательной функции f ( x )											выполняет
ся условие (19), и по теореме 1 интеграл Ji								сходится.
б)	Если интеграл Ji расходится, то интеграл J i тоже должен рас
ходиться: в случае сходимости интеграла Ji									сходился бы по доказан
ному выше интеграл Ji. •
Пр име р		10. Исследовать на сходимость интеграл
				+СЮ		,	,
				Г	cos	Зх	,
				J1	..		ах.
		cos^ Зх		J1	л/Г^Г^
А Таккак		cos^ Зх		1			1, то по теореме 2 из схо-
А Таккак		0 ^ .		<С —— при х			1, то по теореме 2 из схо-
		у 1	+ хе
			+оо
димостиинтеграла			— jz (пример 3) следует сходимостьинтегра-
ла J. к			J ха
ла J. к			1
Следствие . Если для всех х £ [а, Ь) выполняются условия
				f(x) >	0,	д(х) > 0,					(22)
и, кроме того,
		f(x)		~ д(х)	при		х —УЬ—0,				(23)
			ь				ь
то интегралы Ji =			J f(x) dx		и	Ji = Jg(x) dx				сходятся или расхо-
дятся одновременно.			a				a
дятся одновременно.										f(X)
О Если выполнены условия (22) и (23), то									lim	f(X)	1, т. е.
О Если выполнены условия (22) и (23), то									lim	^7—г =	1, т. е.
							ж—s-ь—о д(х)
	Ve > 0 3 6 (e) £			[а, Ь): Ух £ [д(е),Ь) ^					/(*)		< е.
	Ve > 0 3 6 (e) £			[а, Ь): Ух £ [д(е),Ь) ^					д(х)		< е.
									д(х)
Полагая здесь е = i ,			найдем число				= с такое, что

1	< Ш	< ^	же[с’ь)’	а ^ с < ь -	(24)
Неравенство (24)	в силу условия д(х) > 0 равносильно неравенству
	\ д(х)	< f(x)	< \ д(х),	X £ [с, Ь).	(25)

Так как функции / и д не имеют особых точек на промежутке [а, Ь), то интегралы Ji и Ji сходятся тогда и только тогда, когда сходятся интегралы соответственно от функций / и д на промежутке [с, Ь), где

а ^ с < Ъ (см. замечание 3).

Если сходится интеграл Ji ^а значит, и интеграл J д(х) dx^ , то из

правого неравенства (25) по теореме 2 следует сходимость интеграла

§38. Несобственные интегралы

371

от / на промежутке [с, Ъ), а это равносильно сходимости интеграла Ji. Аналогично из левого неравенства (25) заключаем, что из сходимости интеграла Ji следует сходимость интеграла J2.

Если же один из интегралов Ji или J2 расходится, то расходится и другой (это доказывается методом от противного на основе теоре мы 2). •

В частности, если функция /(ж) интегрируема на отрезке [а, £] при

любом ( ) й и		если
		/(ж) ~ —	при	х -+ +оо,			где А ф О,
	+	СЮ
то интеграл	J	f(x)dx сходится при а > 1 и расходится при а ф 1 .
Пр и м е р	а
Пр и м е р	11. Исследовать на сходимость интеграл
				+оо
			J =	[	dx	,	(26)
				J	х а \w	х
				2
А Рассмотрим три возможных случая: а > 1 , а = 1 , а < 1 .
а) Пе р в ый случай: а >1.
Если а > 1 ,		т о а = 1 + 26, где 6 > 0. Представим подынтегральную
функцию f(x)		в следующем виде:
		/ ( * ) = ^	( * ) ,		гда		=
Так как lim		xs In'3 х = +оо при а > 0 и любом (3 (см. § 19, пример 5),
X —> + (Х >
то существует число XQ > 2 такое, что 0 < д(х) < 1 при всех х ф XQ.
Поэтому 0 < f(x) < —			при х € [жц, +оо), и из сходимости интеграла

+оо

— j, где Хо > 2 , 6 > 0, по теореме 2 следует сходимость интеграла

J * 1+д

жо

от / на промежутке [жо,+оо), а это равносильно сходимости интег рала J. Итак, если а > 1, то интеграл / сходится при любом (3.

б) Вт орой случай: а = 1.

	+	0 0	+	СЮ
В этом случае J =		х li+ х	J	.Поэтомуприа		= 1 инт
	J			г
	2		In 2
сходится, если (3 > 1 , и расходится при (3 ф 1 (пример 3).
в) Т р е т и й случай: а < 1.
Если а < 1, то а =		1 - 26, где 6 > 0. Запишем подынтегральную
функцию /(ж) в виде /(ж) =				где д(ж) = жг(1пж)-/3	-+ +оо при
ж -+ +оо, откуда		ж1 -0			2.	Поэтому
	следует, что		д(ж) > 1 при ж Жо >
/ ( ж) > i-g ПРИ х	Ф x0i и по теореме 2 из расходимости интеграла

372	Гл. VII. Определенный интеграл
J	— dx, где 6 > 0, следует расходимость интеграла от / на проме
хо		расходится.
жутке [ ж о , + о о ) , откуда заключаем, что интеграл J		расходится.
	Итак, интеграл расходится, если а < 1.
	Таким образом, интеграл (26) сходится при а	> 1 ((3 любое)	и
при а = 1 , если (3 > 1 , и расходится при других значениях а и (3.			к

Упражнение 3. Показать, что несобственный интеграл

1 / 2

d x

/о : Ха\1\пх\д1

сходится при а. < 1 (/3 любое) и при а. = 1 , если (3 > 1 , и расходится при других значениях а и /3.

Пр и м е р 12. Исследовать на сходимость интеграл

+ 0 О ,

Г in (e - X )

			J	х а
			о
А	Подынтегральная функция f(x)				Infe^ —xl
А	Подынтегральная функция f(x)				= —-—-— - неотрицательна при
х	> 0, так как ех > 1 + х при х			> 0, и непрерывна на промежут
ке (0, +оо). Интеграл J сходится тогда и только тогда, когда сходятся
	1		+ о о
интегралы Ji = J f(x) dx и J2 =				J	f(x) dx.
	о		1
	а) Исследуем поведение функции при х -+ +0.
		2
	Так как ех = 1 + ж+ — + о(ж2) при х —¥ 0, 1п(1 + £ ) =£ + о(£) при
t —У0, то 1п(ех —ж) =		(	X2		\	X2	о(х"), и поэтому
t —У0, то 1п(ех —ж) =		In ( 1	+ — +		o(x^)J =	— +	о(х"), и поэтому
f ( x) ~ g о-2 ПРИ ж ^		0. Следовательно, интеграл					Ji сходится тог

да и только тогда, когда а —2 < 1 , т. е. при а < 3.

б) Пусть х —¥ +оо. Тогда ёх — х = ех(1 — хе^х) = ех(1 + о(1)), от

куда \п(ех —х) = х + 1п(1 + о(1 )) = х + о(1 ) при х -+ +оо, f(x) ~ х а1 1

+ о о

при х -+ +оо. Так как интеграл		сходится при (3 > 1 и расхо-
	J	хр
дится при (3 ^ 1 , то интеграл J2	1
	сходится тогда и только тогда, когда

а —1 > 1, т. е. при а > 2. Таким образом, интеграл J сходится в том и только том случае, когда выполняются условия а < 3 и а > 2, т. е. при 2 < а < 3. ▲

Критерий Коши сходимости несобственных интегра

§38. Несобственные интегралы

373

Пр и м е р 13. Исследовать на сходимость интеграл

Н= 7 Щ £ ± С 1 Х.

JQ	у/х + ^/х
А Подынтегральная функция	/(ж) положительна и непрерывна на

интервале (0,1). Интеграл J сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы от /(ж) по промежуткам (0,1) и (1,+оо). Обозна чим эти интегралы Ji и J2 соответственно.

а) Если х -+ +0, то у/х + Уж = у / / х ( 1	+ у/х) = Уж(1 + Уж)4/2 ~
~ у/х. Учитывая, что ln(l + t) ~ t при t	—¥ 0, 1п(1 + и) ~ lnu при

« -+ +оо, получаем следующие асимптотические формулы для /(ж)

при х —¥ + 0:	Жа - 1 /4
{	Жа - 1 /4	при а > О,
{	ж- 1 /4In 2	при а	= О,
	аж- 1 /4In ж	при а	< 0.

Используя результат упр. 3, получаем: интеграл Ji сходится при всех

значениях а.	______	___________
б) Если Ж -+ + 00, ТО у / X + л / х = у / х ( 1 + Ж- 1 / 2) ~ Уж, и поэтому
{	аж_ 1/2 1пж	при а	> О,
{	ж^4/2 1п 2	при а = О,
	жа - 1 /2	при а	< 0.

Отсюда следует, что интеграл J2 сходится, если i —а > 1, т. е. при

а < —i . Таким образом, интеграл J сходится при а <	и расхо
дится при прочих значениях а. А

лов. Будем рассматривать несобственные интегралы того же вида, что и в пп. 2, 3.

Т е о р е м а 3. Для сходимости несобственного интеграла

	J = J /(ж) dx
	а
Ve > 0 3<L е (а,Ъ):	V£',£" G (6е,Ь) -+	ж) Дг < е.	(27)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
О Обозначим
F ( 0 =	f ( x ) d x , a ^ ( , < b .		(28)

374	Гл. VII. Определенный интеграл

Тогда сходимость интеграла J означает существование конечного предела функции F(£) при £ —1 Ъ—0, а этот предел, согласно крите рию Коши для функций (§ 10), существует в том и только том случае, когда функция F удовлетворяет условию

Ve > 0 3 4 G (а, Ь): V£',£" G (Se,b) -Г \|F(£	") - F(£')\| < е.	(29)
Из формулы (28) в силу свойств интеграла	следует, что

С"

F(C) - F(C) = J f ( x ) dx.

Поэтому условие (29), являясь необходимым и достаточным для схо димости интеграла J, выполняется тогда и только тогда, когда вы

полняется условие (27), если взять 5е = 5е. •

З а м е ч а н и е 5. Если условие Коши (27) не выполняется, т. е.

3 ео > 0 : V5 € (а, Ъ) 3		€( *, Ь) :	//( * ) dx 4	ео,		(3 0 )
ь
то интеграл j f ( x ) dx расходится.
а
Пр и м е р 14. Исследовать на сходимость интеграл
	+оо . ,
. / ( „ ) = / s e e , ь .						(31)
л з -n	т	1		■ 2			1
л з -n	т		„ . s m a o ^ l
А а) Если а > 1, то интеграл	J сходится, так как 0 4			——	4	— ■

б) Докажем, что при а 4 1 интеграл расходится. Достаточно по казать, что для этого интеграла выполняется условие (30). Для S > 1 выберем число п € N таким, чтобы выполнялось неравенство пп > S,

и возьмем

= пп,

££' = 2пп,

тогда

с"

27ГП

хX ,7 .

7 .

Г sm-

smin-

f smin- хX

J х а

ах

ха

ах >

с!

7ГП

7Г п

ьS

2тгп

Г11—COS2х 7

д— ----------д----- их =

—

пп — ——£0.

2ппJ

47гп

ттп

Таким образом, условие (30) выполняется, и поэтому при а 4 1 ин теграл (31) расходится. ▲

З а м е ч а н и е	6 . Так как \| sin ат \| 4	sin2*, то по теореме сравнения		из
расходимости интеграла (31) при а 4		+00	\| sin *\|	dx
расходимости интеграла (31) при а 4		1 следует, что интеграл j		dx
расходится при в	^ 1.

§38. Несобственные интегралы

375

5. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы. Несобст

	Ь
венный интеграл J =	d x называется:
	Ь

а) абсолютно сходящ имся, если сходится интеграл J = J \ f ( x ) \ d x ;

в этом случае говорят, что функция / абсолютно инт егрируема на промежутке [а, Ь);

б) условно сходящ имся, если интеграл J сходится, а интеграл J расходится.

Т е о р е м а 4. Е сли несобст венный инт еграл			J сходится,		то и н
т еграл J также сходится и вы полняет ся неравенство
U	U
J f ( x ) d x	4 j \ f ( x ) \ d x .				(32)
О Из сходимости интеграла J	по теореме 3 (необходимое условие)
следует, что для него выполняется условие Коши (27), т. е.
V e > 0 3<L е (а,Ь): V £ ' , £ "	G (6e ,b)	f\m\		< £.	(33)
			x ) \ d x

По определению несобственного интеграла J функция f ( x ) интегри руема по Риману на отрезке с концами и поэтому функция |/(ж)| также интегрируема по Риману на этом отрезке. Применяя правило оценки интеграла (см. § 35, (18)), получаем

J f ( x ) dx	j\m\
	ж) I d x

ее

откуда в силу (33) следует, что функция / удовлетворяет условию Коши (27), и по теореме 2 (достаточное условие) сходится интеграл J.

Для доказательства неравенства (32) воспользуемся неравенством

J f ( x ) dx 4 J \ f ( x ) \ d x ,

(34)

справедливым при любом £ € [а,Ь). В силу сходимости интегралов J и J существуют пределы при £ —^ Ъ —0 левой и правой частей (34),

равные соответственно J и J. Переходя в (34) к пределу при £ —^ Ъ—О, получаем неравенство (32). •

У п р а ж н е н и е 4. П усть несобственные интегралы от функций f ( x ) и у(х) на пром еж утке [а, Ъ) сходятся. Следует ли отсю да сходимость интег рала от их произведения на пром еж утке [а, Ь)?

376	Гл. VII. Определенный интеграл

П р и м е р 15. Исследовать на сходимость и абсолютную сходи мость интеграл

			J =	/ х	■dx.			(35)
А а) Пусть а > 1. Так как			——	^	, то в силу сходимости интегра-
	+00		X	X		~	+СЮ	,
ла	f	dx	Л			~	f sinx	,
ла		— по теореме сравнения 2 сходится интеграл J —					1—	1 ах,
	J1	X			J	X	1

т. е. интеграл J сходится абсолютно (откуда следует сходимость са мого интеграла J по теореме 4).

б) Пусть 0 < а ^ 1. Тогда, интегрируя по частям, получаем

J =

,г.

+ С Х )

COS X ,

— —ax,

+СЮ

x +

i•

COSX

где

f COSX

axабсолютносходитсяи, еле-

lim

-------=

0, а интеграл

J ®a+1

ж-Ч-оо

Х а

сходится, если а € (0,1].

довательно, сходится. Поэтому интеграл J

Так как интеграл

' s™

dx при а € (0, 1] расходится (замеча-

сходится условно.

ние 6), то при а € (0, 1] интеграл J

в)

Пусть а ^

0. Докажем, что интеграл J

расходится, используя

критерий Коши. Для 6 > 1 выберем число п € N таким, чтобы выпол

нялось условие 2ттп > 6, и возьмем С = 2ттп + —, £'J = 2жп + - ж . Так

как при х €

выполняется неравенство sin ж ^ -

и, кроме того,

— ^

при х ^ 1 и а ^ 0, то

.//

57г/6+2тгп

£§

7Г

Гsin х

81ПХ

—

dx=^,

7г / б + 2 тгп

7г / 6 + 2 тгп

т. е. выполняется условие (30), и поэтому при а ^ 0 интеграл (35)

расходится.

Итак, интеграл (35):

а) абсолютно сходится при а > 1 ;

б) условно сходится при 0 < а ^

1 ;

в) расходится при а ^ 0. ▲

Замечание

7. Аналогично можно показать, что интеграл

ТОО

/ :X

абсолютно сходится при а > 1 , условно сходится при а Е (0, 1] и расходится

при а

§38. Несобственные интегралы

377

При исследовании сходимости интегралов часто может оказаться полезным следующее утверждение.

Т е о р е м а 5. Если функция д(х) абсолютно интегрируема на про-

		ь
межутке [а,Ъ), т. е. несобственный интеграл J =		\g(x)\dx схо-
ь	I	ь
дится, то несобственные интегралы Ji = j /(ж) dx и		= J (/(ж) +
a		a

+ g(x))dx либо оба абсолютно сходятся, либо оба условно сходятся,

либо оба расходятся.	ь	ь
ь	ь	ь
О Обозначим J = J g ( x ) d x ,	J\ = j \ f ( x ) \ d x ,	J 2 = J \ f ( x )	+ g( x) \ dx .
a	a	a
а) Из неравенства \|/ + g\ <C\|/\| + \|<?\| и критерия Коши (теорема 3)
следует, что если интегралы Ji	и J сходятся, то интеграл		J2 также
сходится.

Аналогично, используя неравенство |/| <С |/+<?| + |<?|, докажем, что из сходимости интегралов J и J2 следует сходимость интеграла Ji.

б) Пусть интеграл Ji сходится, а интеграл Ji расходится.

Тогда интеграл J2 сходится (это следует из сходимости интегра лов Ji и J), а интеграл J2 расходится, так как в противном случае из неравенства |/| ^ |/ + д\ + |р| и сходимости интеграла J следовала бы

сходимость интеграла Ji. Аналогично доказывается, что из условной сходимости интеграла J2 следует условная сходимость интеграла Ji.

в) Из расходимости интеграла Ji следует расходимость интегра ла J2 (в противном случае из равенства f = (f + д) — д и сходимости интеграла J следовала бы сходимость интеграла Ji).

Аналогично из расходимости интеграла J2 следует расходимость интеграла Ji. •

Теорему 5 коротко можно сформулировать так: прибавление (вы читание) под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет ни на сходимость интеграла, ни на характер сходимости

(абсолютная, условная сходимость).
6. Признаки Дирихле и Абеля сходимости	интегралов.
Т е о р е м а 6 (признак Дирихле). Пусть функция /	непрерывна, а

функция д имеет непрерывную производную на промежутке [а, +оо) и выполняются следующие условия:

	X
1) функция F(x)	= J f ( t ) d t (первообразная для /)		ограничена на
[а, +оо), т. е.	а
З М	> 0: Va: G [а, +оо)	\|ТДж)\| «СМ;	(36)

378	Гл. VII. Определенный интеграл
2) функция д'(х)	не меняет знака на промежутке [а, +оо),		т. е.
	д'(х)	«С0	(37)
или	д'(х)	> 0;	(38)
	д'(х)	> 0;	(38)
3)	lim	д(х) = 0.	(39)
	х —> + СЮ
Тогда интеграл	+СЮ
	+СЮ
	J = J f(x)g(x) dx		(40)

сходится.

О Покажем, что функция f g удовлетворяет на промежутке [а, +оо) условию Коши (27). Согласно формуле интегрирования по частям для £' > а, £" > а получаем

С"		С"
J f(x) g(x) dx = F(x) g(x)		^ — J F(x) g'(x) dx.	(41)
Из условия (36) следует, что
(Fg)	^M (b(C ')l + b(C")l)		(42)
ч		ч
J F(x) g'(x) dx ^ M		j\g'(x)\dx	(43)

Заметим, что |<?'(ж)| = ^g'(x), если выполнено условие (37), и |<?'(ж)| = = д'(х), если выполнено условие (38). Поэтому в первом случае

Ji = J \д'(х)\ dx = —j д'(х) dx = д(£') — д(£"), а во втором случае J)1 —

ее

=J?(£”) ~ J?(0- Следовательно,

|Л| = J\g'(x)\dx = |5 ( П - 5 ( Г ) К Ш 1 + Ш 1 -

(44)

Поэтому из равенства (41), используя оценки (42)-(44), получаем не равенство

j f ( x ) g ( х) dx «С2М(\д(е)\ + \ д ( П I)	(45)
е
Согласно условию (39)
Ve > О Н5 > и : Vx £ [<L,+oo) —^ \|<?(а0\| <	(46)

	§38. Несобственные интегралы			379
Поэтому для	£" € [$е, +оо) из (45) и (46) следует, что
	С"
	J f ( x ) g ( x ) d x < 2 М ( ^ + ^ ) = е>
	е
т. е. функция /<? удовлетворяет на промежутке [а, +оо)				условию
Коши (27), и по теореме 3 интеграл		(40) сходится. •
З а м е ч а н и е	8. Условия (37)-(39)	означаю т, что	ф ункция	д(х) моно
тонно стрем ится к нулю при х —¥ +оо.
С л е д с т в и е	(признак Абеля). Если функция /		непрерывна на про-
		+ о о

межутке А = [а, +оо), интеграл J = j f(x) dx сходится, а функция

д(х) ограничена на А. и ее производная д'(х) не меняет знака на А (удовлетворяет условию (37) или (38)), то интеграл (40) сходится.

О По теореме о пределе монотонной функции существует конечный lim g(x) = g(+оо), и поэтому функция gi(x) = g(x) —g(+oo) мо

нотонно стремится к нулю при х -А +оо. Из сходимости интеграла J следует, что функция / имеет ограниченную первообразную. По теореме 6 интеграл от функции f(x)gi(x) по промежутку А сходит ся. Так как f(x)g(x) = f(x)g(+оо) + f(x)gi(x), то интеграл (40) схо дится. •

Пр и м е р

16. Исследовать на сходимость

и абсолютную

сходи

мость интеграл

СЮ

J = J

(ех + х) cos е2х dx.

А Положим е2х = t. Тогда х = - Int, dx = —, и поэтому

+ 0 0

+ СЮ

J =

лД

d t +

\ f — cost

dt.

(47)

2 J

4 J

Оба интеграла в формуле (47) сходятся по признаку Дирихле, так

как функция cost имеет ограниченную первообразную ^ J

costdt

^ 2^, а функции —р

монотонно стремятся к нулю при t -А +оо.

+ о о

Покажем, что

J —

ip(t)\cos 1 1dt,

где ip(t) = 2 (

) ’

Pacxo_

/j.\ \

2 4-

4- \ l l

, I \

1 “Р c o s 2 ^

дится. В самом деле,

ip(t) ^

— при

t ^ 1

, | cost | ^

cos t

-----

/,\ I

, , .

1 + cos2t

™

откуда следует неравенство (p(t)\cost\ ^

---- —---- .

1 ак как интеграл

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 6838 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб124Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб109Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб81Конспекты по химии.pdf