Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6837 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

360 Гл. VII. Определенный интеграл

сходится тогда и только тогда, когда существуют

конечные преде-

лы

lim

/ f(x) dx = Ji и

lim

/ f(x) dx = J2 , где a € R, и при этом

£ —►— ОО J

»J—S- + 0 0

несобственный интеграл по определению равен Ji + J2 , т. е.

+00

+СЮ

J f ( x ) dx

f ( x ) dx +

f ( x )

dx.

— oo

+00

Пр и м е р

2. Показать, что интеграл J =

------— ? сходится, и

вычислить этот интеграл.

”"i" X "t" X

- °°

Обозначим

F(g,q) = f

l +

*+ x , , тогда

d(x + - j

„

2x + 1

F K ' " , = / ( I + i ) ’ + 3 = 7 I m *g + H f =

= 7 5 ( агс,8^

агс‘6 У 7 г ) ^

Так как

lim

7Г

limarctg t =

7Г

существует ко-

arctg t = —, a

— —,то

t —s-+oo

t —s-—00

нечный

lim

F(£,ri) = ~^=(—— ( — —) )

—7=, т. e.несобственный

C ^ - o o

V3 V2

V 2 J )

^ 3

ч^+оо

27r

интеграл сходится, причем J

= —=. к

Пр име р

3. Исследовать на сходимость интеграл

4 - 0 0

Пусть а ф 1, тогда

Г dx _

х 1 - < *

3 ха

1 - а

1 — а

Если

а >1,то существует конечный

lim

; dx

т. е.ин-

[ — = —-— ,

C-s-+oo J ха

а —1

теграл (4)

lim

i dx

сходится, причем J(a) = ----. Если а < 1,то

— =

(X 1

£—^-f-oo J X

= + 00, и поэтому интеграл (4) расходится. При а = 1 интеграл также

расходится, так как / — = 1п£ -+ +оо при £ -+ +оо.

J х

Таким образом, интеграл (4) сходится при а > 1 и расходится при а ^ 1 . ▲

	§38. Несобственные интегралы				361
У п р а ж н е н и е	1. П оказать, что	интеграл		dx	а > с,
			J	------- — , где
сходится при а > 1	и расходится при а	^ 1 .		(х — с)а
			а

б)	Интеграл	на конечном промежутке.	Рассмотрим		функцию
1	. Эта функция непрерывна на промежутке [0,1), но не ограни-
у/1 — х
					1
чена на этом промежутке. При любом £ Е [0,1) функция						ин-
					у/1 - х
		^				С
тегрируема на отрезке [0,£], причем «/(£) = J			dx	= - 2 у /1 ^ ,

= 2(1	—v^l —£)?	о л /Г ^			конечный
		откуда следует, что	существует

^lim^F(£) = 2. В этом случае говорят, что несобственный интеграл

от функции	^	на промежутке	[0, 1 ) равен 2, т. е. [ ^Х = 2.
	у / 1 — х		Jу / 1 — х
Число 2 можно интерпретировать			о
Число 2 можно интерпретировать			как площадь заштрихованной на

рис. 38.2 фигуры G.

Обратимся к несобственному интегралу на конечном промежутке. Пусть функция /(ж) оп

ределена	на	конечном промежутке			[а, 6), интег
рируема	на	отрезке	[а, £] при	любом £ Е [а, Ъ).
					С
Если существует			конечный	lim	J /(ж) dx =

^а

=А , то говорят, что несобственный интеграл от

функции /(ж) на промежутке [а, 6) равен А. Его

обозначают символом J f(x) dx. Таким образом,

по определению	а
ъ	С		Рис. 38.2
J f ( x ) dx =	Hm о J f ( x ) dx.	(5)	Рис. 38.2
а	а

В случае существования конечного предела (5) несобственный ин

теграл / / (ж) dx называют сходящимся, в противном случае — рас-

ъъ

ходящимся; символ J /(ж) dx употребляют как в случае сходимости,

так и в случае расходимости интеграла.

Аналогично, если функция /(ж) определена на конечном проме жутке (а, Ь], интегрируема на отрезке [£,6] при любом £ Е (а, Ь], то

362 Гл. VII. Определенный интеграл

символ J f ( x ) dx называют несобственным интегралом от функции /

а			ь
на промежутке (а, Ь].			ь
Если существует конечный		lim	/ f(x) dx = А,	то говорят, что
		С—ю+о J
			С
несобственный интеграл сходится и равен А, т. е.
	ь		ь	(6)
	dx =	lim	/ f(x) dx.	(6)
ь		С—ю+о J
ь	°		с

Если функция J f ( x ) dx не имеет конечного предела при £ -А а + 0, то

несобственный интеграл называют расходящимся.

З а м е ч а н и е 2. Определение (5) несобственного интеграла на конечном пром еж утке [а, Ъ) является содерж ательны м лишь в случае, когда ф ункция / неограничена на интервале (Ъ —S, Ъ) при любом S > 0. В самом деле, если функция / интегрируем а на отрезке [а, £] при любом £ е [а, Ъ) и ограни чена на [а, Ь), то, доопределив эту функцию в точке Ь, получим функцию , которая интегрируем а по Рим ану на отрезке [а ,Ъ]. При этом интеграл от доопределенной функции равен пределу (5) и не зависит от значения ф унк ции в точке Ь.

Поэтому в дальнейшем, рассм атривая несобственный интеграл (5), бу дем считать, что ф ункция / является неограниченной на интервале (Ь — 8,Ь) при любом 8 > 0, а точку Ь будем назы вать иногда особой точкой подынтегральной функции f или интеграла (5).

Аналогично, рассм атривая несобственный интеграл (6), будем считать, что а — особая точка функции / , т. е. предполагать, что ф ункция / не ограничена на интервале (а, а + 8) при любом 8 > 0.

Пр и м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл

			Т _	f dx
			J	~	J
				о
А	1d		тогда
А	Обозначим F(£) = J	—	тогда
	С
	F (0 = (	Г	^ (1 -	^	а)’	если	a # 1 ’
	(,	—ln£,				если	a = 1 .
Поэтому при a < 1 существует конечный lim							F(£) = ^ -— , а если
a ^	1, to F(a; £) —¥ +00 при £			+0.		при а < 1 и расходится при
	Таким образом, интеграл сходится					при а < 1 и расходится при
а > 1 . ▲

§38. Несобственные интегралы

363

У п р а ж н е н и е 2. П усть —оо < а < Ь < +оо. П оказать, что интегралы

ъь

[	dx	и [ -
J	(х — а)а	J (Ь — х)а

аа

сходятся при а < 1 и расходятся при а 3> 1.

З а м е ч а н и е 3. Сходимость несобственного интеграла (5) равносильна

сходимости интеграла j f ( x ) dx при любом с С (а,Ь), так как j f ( x ) dx =

= J f(x) dx + J f(x) dx.

a с

в)

Другие типы несобственных интегралов. Е с л и

ф у н к ц и я / о п р е

д е л ен а н а к о н е ч н о м и н т е р в а л е (а, Ь), и н т е г р и р у е м а по Р и м а н у н а о т

р е з к е

[£, г/] п р и

л ю б ы х £. Т)

т а к и х ,

ч т о

< £ ^ г/ < Ъ, то

с х о д я щ и й с я

н е с о б с т в е н н ы й

и н т е г р а л

о т

ф у н к ц и и

н а

п р о м е ж у т к е

(а, Ъ)

о п р е д е

л я е т с я ф о р м у л о й

J f ( x ) dx =

lim

^ J

f ( x ) dx

(7)

7}—*b—Q £

п р и

у с л о в и и , ч т о

п р е д е л

в п р а в о й

ч а с т и

(7) с у щ е с т в у е т

и к о н е ч е н .

ки

Е с л и ф у н к ц и я

/ о п р е д е л е н а

н а

о т р е з к е

[а,Ь],

за и с к л ю ч е н и е м т о ч

6 (а,Ь), и

и н т е г р и р у е м а

н а

о т р е з к а х

[а, £]

и [т),Ъ] п р и л ю б ы х £.

т) т а к и х , ч т о a

£ < с < г/

Ъ, то н е с о б с т в е н н ы й и н т е г р а л о т ф у н к -

ц и и

н а п р о м е ж у т к е [а, Ь] о б о з н а ч а е т с я

J f ( x ) d x и о п р е д е л я е т с я р а

в е н с т в о м

J f ( x ) d x =

lim

^ J f ( x ) d x +

lim ^ J f ( x ) d x

(8)

п р и

у с л о в и и , ч т о

о ба п р е д е л а в п р а в о й

ч а с т и (8)

с у щ е с т в у ю т и

к о н е ч -

сходящимся и

н ы . В

э т о м с л у ч а е и н т е г р а л

J f ( x )

d x

н а з ы в а ю т

п и ш у т

« с

J f ( x ) d x = J f ( x ) d x + J f ( x ) d x .

Е с л и ф у н к ц и я / о п р е д е л е н а н а к о н е ч н о м и л и б е с к о н е ч н о м п р о м е

ж у т к е (а,Ь), за и с к л ю ч е н и е м т о ч е к			хр (к =		1,ш ), гд е	а = х о < х± < ...
... < хт = Ь, то н е с о б с т в е н н ы й и н т е г р а л					ь
... < хт = Ь, то н е с о б с т в е н н ы й и н т е г р а л					/ f ( x ) d x	п о н и м а е т с я	к а к
су м м а н есо б ств ен н ы х		и н тегр ал о в	по	п р о м е ж у т к а м		А*, = ( х р - 1	,х р ) ,
к = 1 , т ,	и с ч и т а е т с я	сх о д ящ и м ся	в	том и	то л ько то м сл у ч ае, когд а
сх о д я тся	и н тегр ал ы по всем п р о м е ж у т к а м				Д*.

364	Гл. VII. Определенный интеграл
2.	Свойства и вычисление несобственных интегралов. Бу-
	ь

дем рассматривать несобственные интегралы вида J f ( x ) dx, предпо

лагая, что:	а
а) функция /	определена на промежутке [а,Ъ), где а — конечная

точка, Ъ— либо конечная точка, либо символ +оо; б) функция / интегрируема по Риману на отрезке [а, £] при любом

С е [а,Ъ).

Согласно определению сходящегося несобственного интеграла

	ь		С
	I dx =		lim ^ J f ( x ) d x ,	если	Ь ф +оо,
а			а
+оо			с		b = + 00.
J	f(x) dx =		lim J f(x) dx,	если	b = + 00.
a			a
а) Линейность интеграла.
У т в е р ж д е н и е		1. Если сходятся несобственные интегралы от
функций f(x)	и д(х)	на промежутке [а, Ь), то при любых Л, р, G R схо

дится интеграл от функции Л/(ж) + /лд(х) на том же промежутке и

выполняется равенство		ь
ь	ь	ь
J ( \ f ( x )	+ р,д{х)) dx = ЛJ f ( x ) dx + р,j д{х) dx.		(9)
а	а	а

О Для любого £ € [а, Ъ) в силу свойств интеграла Римана справедли

во равенство	С	С
С	С	С
J (А/(ж) + р,д{х)) dx = ЛJ f ( x ) dx + р,j д{х) dx,
а	а	а
правая часть которого имеет по условию конечный предел			при
^ —УЬ —0, откуда следует существование предела при ( -4 5 - 0			в ле
вой части и справедливость формулы (9). •
б) Формула Ньютона-Лейбница.
У т в е р ж д е н и е	2. Если функция f(x)	непрерывна на промежут
ке [а,Ъ) и если F(x)	— первообразная для	функции f(x), то несоб-
	ь

ственный интеграл j f(x) dx сходится тогда и только тогда, когда

а
существует конечный	(10)
^m _ oF(O = F(b^0),	(10)
причем
ь
) dx = F(b ^ 0) ^ F(a).	(11)

§38.	Несобственные интегралы	365
О Так как функция /	непрерывна на отрезке [а, £]	при любом £ €
€ [а,Ь), то справедлива формула Ньютона-Лейбница
	dx = F(£) - F(a),

откуда, переходя к пределу при £ -+ Ъ—0 и используя соотно шение (10), получаем формулу (1 1), которую называют формулой Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.

Правую часть формулы (11) часто записывают в виде F(x)	ь - о
Правую часть формулы (11) часто записывают в виде F(x)	, ес-
	а

ли Ьф +оо. Если Ь= +оо, то правую часть формулы (11) записывают в виде F(x)

Пр име р

5. Вычислить интегралы:

+00

+СЮ

а)

[

arctgf dx;

б)

J2 =

e^ax cos fix dx,

где a > 0.

1 + x 1

arctg*

, / ( arctg*)2\

r p

как

, to

а)

1ак

- — + -

dx =

arctg x d( arctg x) =

----- °

1 + * -

o v o y

(arctg*)"

„

, , ч

arctg*

b (x) = -----

является первообразной для функции j(x) = 1 + * 2’

по

формуле

(11)

получаем

J\ =

i( arctg* )2

7Г9

так как

—,

arctg(+oo) =

lim

arctg* = У

arctg0 = 0.

8 ’

X —> + o c

б) Ранее в § 30 (пример 19) было показано, что функция F(x) =

(3sin (Зх —a cos (Зх _п,г

первообразной

для

функции

-----

е>

/Зе>— — е

является

f(x) = еГах cos (Зх. По формуле (11) находим J2 = F(x)

+ о о

= F(+оо) —

—F(0), где F(0) = ^ а 2+ ^2; У +оо) = 0, так как | sin/3*| ^ 1, | cos/Зх\ ^

SC 1	для	всех х €	R, lim еЛах = 0 при а > 0. Следовательно,
			х —> + о о
Т -	°	А
2	а 2+ /+
в)	Интегрирование по частям.
У т в е р ж д е н и е			3. Пусть функции и(х), v(x) определены на про

межутке [а, Ь), имеют непрерывные производные на отрезке [а, £] для любого £ € (а, Ь). Если существует конечный предел

lim	[«(£) v(£)] = u(b —0) v(b —0) = uv	(1 2)
£->6-0	6	£ = 6 - 0
6	6

и интеграл j vu' dx сходится, то и интеграл j uv' dx сходится и спра

366	Гл. VII. Определенный интеграл
ведлива формула интегрирования по частям
	Ь	t f,	Ь
	/ uv' dx = uv	о—0	/»	(13)
	/ uv' dx = uv		— J vu'dx.	(13)
О	Так как функции и'(х), v'(x)	непрерывны на отрезке		[а, £] при

любом £ € (а,Ь), то справедлива формула интегрирования по час

тям (§ 36, теорема 6)	С
С	С
Juv' dx = «(£) v(£) —и(а) v(a) —Jvu ' dx.		(14)
a	a

Правая часть равенства (14) по условию имеет при £ —^ Ъ—0 конеч ный предел, равный правой части формулы (13). Следовательно, су ществует конечный предел и в левой части (14), т. е. сходится интег-

рал J uv' dx, и при этом справедлива формула (13).

а	наличии конечного предела (12) несобствен-
Отметим, что при	наличии конечного предела (12) несобствен-
ft	ь

ные интегралы J vu' dx и J uv' dx сходятся или расходятся одновре-

аа

менно. •

		6. Вычислить несобственный интеграл J =				+ о о
Пр и м е р		6. Вычислить несобственный интеграл J =				j хе^х dx.
А Применяя формулу (13), получаем						о
А Применяя формулу (13), получаем
		+,	о о	+СЮ
		т		р
		J = / x(—e^x) ' d x = —xe^x	+	е	жdx.
		о		о
Так как хе		х = 0 при х = 0, a lim хе	х = 0, то		J =	J	е х dx =
= —е	+ о о	Ж—*-+00				J
= —е	= 1 . ▲
	о
г)	Замена переменного.
У т в е р ж д е н и е 4. Если функция f(x)			непрерывна на промежут

ке [а,Ь), а функция х = ip(t) непрерывно дифференцируема на проме

жутке [ск, /3),		строго возрастает и удовлетворяет условиям (р(а) = а,
lim	tp(t) = Ь, то справедлива формула замены переменного
t^p -o		ь	р
		j f(x)dx = j f(Lp(t))Lp'(t)dt				(15)
		a	a
при условии, что хотя бы один из интегралов в (15) сходится.
О Пусть т €		[ск, /3), <р(т) = £. Тогда		<р(т) -А Ъ при т	—¥ /3 —0.	При
меняя	формулу замены		переменного	для интеграла	Римана	(§ 36,

§38. Несобственные интегралы

367

теорема 5), получаем

Ст

j	f(x)dx = j f{(p{t))(p'{t)dt.	(16)
a	a

Так как функция x = ip(t) строго возрастает и непрерывна на [а,/3), то обратная функция строго возрастает и непрерывна на [а,Ь). Поэто му если существует конечный предел при т Ч / З - О в правой части равенства (16), то существует конечный предел при £ —1 Ъ—0 в левой части (и наоборот), и при этом справедлива формула (16). •

З а м е ч а н и е

4. Формула

(15)

остается справедливой

и в случае, ког

да а > /3, если ф ункция ip(t) непрерывно дифференцируема на пром еж утке

(/3,а), строго убывает,

причем а =

lim

<p(t), Ь =

lim <f(t). При этом по

f-4-Q — 0

t - * ( 3 + О

/з

аналогии с интегралом Рим ана по определению

полагают,

что jg(t) dt =

- j y(t) dt при a

> /3,

если интеграл j

g(t) dt сходится.

Пр и м е р

7. Вычислить интеграл J =

Г .

(ж2 + 1)3/2

Положим x = tg t, где 0 < t < —. Тогда dx = — t—, x2 + 1 =

cos21

cos-1

ж/2

(ж2 + l )- 3 /2 = cos3 1, поэтому J = J

cos tdt = 1 . ▲

+oo ,

Пр и м е р

8. Вычислить интеграл J =

—— -dx.

-f" 1

+00 (1 + 1 /ж2) dx

Преобразуем интеграл (см. § 33, пример 5, в)) J =

(ж - 1/ж )2 + 2

и положим х

= t;

тогда

„

т*

arct§

7Г

J =

, п =

л/2

У2

J t2 + 2

оо

+. о о

П р и м е р

9. Вычислить интеграл Ji = J

ж4 + 1

первообразную

Для вычисления интеграла можно использовать

для

подынтегральной

функции

f(x)

= 4^

(см. §

33, пример 4).

Рассмотрим другой способ вычисления, не требующий нахождения первообразной для функции f(x). Полагая х = - , получаем

О	+ о о	,	+ о о	,
Л = - J/	, + л. = JI	l +t d t =	J[	1 + ж4 dx.

+«> \1 T H

368

Гл. VII. Определенный

интеграл

Ь о о

+ о о

Таким образом, J\

) х*а:4+ 1

-----dx, откуда, используя при

аa:4r

+ 1

+СЮ9

+СЮ

1 т

7Г

тт

мер 8, находим J1

1 f

Х~ + 1 ,

d x

= -

(

х +

dx =

- J

= -Д=.

Итак,

[

Р ’

х 4 + 1

2лД

1 + *4

= Д Д ' к

д) Интегрирование неравенств.

У т в е р ж д е н и е 5. Если сходятся интегралы J

и для всех x G [a, b) выполняется неравенство f(x) «Сg(x),

ъъ

f(x) dx и j g(x) dx a

mo		b
b		b
	I dx	fg(x)dx.	(17)
О Неравенство (17) получается из неравенства
	С
(ж) d x ^	g(x) dx, а ^		t; <b,

спомощью перехода к пределу при £ —^ Ъ—0. •

3.Несобственные интегралы от неотрицательных функ

ций. В пп. 3-5 все утверждения формулируются и доказываются для интегралов того же типа, что и в п. 2.

Те о р е м а 1. Если для всех х G [а,Ъ)выполняется неравенство

f(x) > 0,

(18)

то для сходимости несобственного интеграла J f(x) dx необходимо и

достаточно, чтобы функция j f(x) dx была ограничена сверху, т. е.

ос

ЗС: V£ G [a,b)-t j f(x) dx «СС.

(19)

С“

ОЗаметим, что F(£) = J f ( x ) d x — возрастающая функция. В самом

деле, из условия (18) и свойств интеграла Римана следует, что

Сг

V£b £2 G [a, b): £2 > £i ^ F f a) - F ( ^ ) = j f ( x ) d x > 0.

	§38. Несобственные интегралы			369
		Ь
Если интеграл J		f(x) dx	сходится, т. е. существует конечный
lim	F(£) = J f ( x ) dx = J, то по теореме о пределе монотонной функ
	а	F(£), откуда согласно определению точной верх-
ции (§ 10) J = sup		F(£), откуда согласно определению точной верх-
	a5C£<ft		всех £ € [а, Ь) справедливо неравенство
ней	грани следует,	что для	всех £ € [а, Ь) справедливо неравенство

€ь

j f(x) dx ^ J f(x) dx,

т.e. выполняется условие (19).

Обратно: если выполняется условие (19), то в силу теоремы о пре деле монотонной функции (F — возрастающая функция) существует конечный

lim F(£) = F(b —0) =	sup F(£),
€ -> o -0	a iC « b

т.e. интеграл J f ( x ) dx сходится. •

Те о р е м а 2 (теорема сравнения). Если для всех х € [а, Ь) выпол няется условие

0 sC f(x) «Сд(х),		(20)
то:
а) из сходимости интеграла J->=	g(x) dx	следует сходимость
интеграла J i = Гf(x) dx;	а

б) из расходимости интеграла Ji следует расходимость интегра ла J2.

О а) Из условия (20) в силу правила оценки интеграла Римана сле дует, что

СС

	j f ( x ) dx ^	j g(x) dx,		£ G [a,b).		(21)
	a	a
		b
Если сходится интеграл		J g(x) dx,		т. e.	существует	конечный
	i	a	i		(теорема 1 ), то из (2 1)
lim	g(x)dx = J2, где J2 =	sup	g(x) dx		(теорема 1 ), то из (2 1)
	a	a<C<b->
	a	-s	a

€

следует, что для любого £ € [а, Ъ) выполняется неравенство J f(x) dx €€

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6837 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб124Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб109Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб81Конспекты по химии.pdf