Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

в) в этой таблице в левом верхнем углу клеток нет отрицательных значе­ ний. То есть улучшить распределение дальше нельзя. Следовательно, мы полу­ чили оптимальное решение этой задачи.

Итак, время, требуемое для перемещения партий из производственных зон в зоны складирования, минимизируется при следующем распределение:

В итоге на это уйдет 390 минут.

Такое оптимальное решение может быть не единственным, то есть суще­ ствует вероятность того, что имеются и другие варианты, позволяющие пере­ мещать товары из производственных зон в зоны складирования в пределах 390 минут. Следует отметить, что данный метод решения основывается на наличии достаточного количества «распределенных» клеток в таблице для того, чтобы можно было вычислить скрытые затраты. Для таблицы 2 х 3 (2 ряда и 3 колон­ ки) в этом примере четыре распределенные клетки были достаточны. В прин­ ципе, если у нас имеется таблица т х п (т рядов и п колонок), то нам необ­ ходимо т + п — I распределенных клеток. Если это условие не соблюдено, то задача считается «дегенеративной», и для получения решения необходимо при­ менить дополнительные приемы.

Пример 2 (транспортная задача в компании «Стенлюкс»)

Руководителю сбыта компании «Стенлюкс» поставлена задача рассмотреть текущие способы перевозки и предложить альтернативные варианты, направлен­ ные на минимизацию затрат. Имеется три основные центра сбыта — в Лейпциге, Лионе и Бирмингеме. Коммерческие холодильные установки производятся на трех основных производствах в Стокгольме, Триесте и Руане. Далее в таблице приведе­ ны затраты по перевозке единицы изделия с производства в центр сбьгга (ф. ст. на единицу изделий):

Ежемесячно выпуск продукции составляет: Стокгольм: 120 единиц; Триест: 40 единиц; Руан: 90 единиц.

Потребности центров сбыта таковы:

Бирмингем: 70 единиц.

Данные по транспортным расходам при перевозке изделий с производства в центры сбыта, а также показатели потребностей и объема выпуска приведены

А теперь приступим к решению задачи по оптимизации транспортировки изделий с целью минимизации расходов. /Ьтя этого:

Этап I. Первоначальное распределение получаем путем отнесения максимально возможного количества изделий на наименее затратные маршруты. Так, маршрут Лион—Руан — самый дешевый, и поэтому туда мы относим максимально 80 изде­ лий. Таким образом, удовлетворяются потребности Лиона, что указано в колонке 2. Следующий по дешевизне маршрут— Руан—Лейпциг. По этому маршруту от­ правляем еще 10 изделий, что полностью выбирает объем выпуска в Руане. По этому методу получаем следующее г1ерво}1ачальное распределение:

Этап 2. Теперь, рассчитав скрытые затраты, посмотрим, является ли это оп­ тимальным решением. Используя только распределенные клетки, мы разобьем об­ щие затраты, показанные в каждой клетке, на рядные и столбцовые затраты. Мы начинаем с затрат в О в перво.м ряду. Эти скрытые затраты показаны в нижнем правом углу каждой клетки в итоговой колонке и итоговом ряду:

А теперь, используя только пустые клетки, мы вычислим разницу между показанными общими затратами и сум.мой рядных и столбцовых скрытых затрат. Так, в клетке, отображающей маршрут Стокгольм—Лион, затраты составляют 14, а показатели скрытых затрат — О (в ряду) и 24 (в колонке). Путем вычис­ ления 14 — (О + 24) получаем результат (—10). Это значение, а также значения для других пустых клеток показаны в левом верхнем углу этих клеток:

Мы видим, что в этой таблице в левом верхнем углу клеток нет отрица­ тельных значений. То есть дальнейшее улучшение невозможно, и таблица вьщает оптимальное распределение.

Следовательно, оптимальный план перевозок, обеспечивающий миними­ зацию затрат, выглядит следующим образом:

Общие затраты при такой стратегии перевозок составляют-.

1. (I) В таблице приведены расходы по перевозке товаров с четырех фабрик на три склада, расположенные в различных местах. Расходы даны в $ на едини­ цу товара.

Месячный объем выпуска фабрик следующий:

А: 8 единиц; Б: 17 единиц; В: 11 единиц; Г: 10 единиц. Месячная потребность складов следующая:

X: 11 единиц; Y: 13 единиц; Z: 22 единицы.

С помощью соотвегствующего метода найдите оптимальную стратегию пе­ ревозки товаров от фабрик к складам, которая позволит минимизировать об­ щие затраты.

2. (I) Электронная компания имеет четыре центра сбыта и четыре крупных розничных магазина, расположенных в Калифорнии. Расстояния между центра­ ми и магазинами указаны в таблице. Также указано количество партий компь­ ютерных систем, имеющихся в наличии в каждом из центров сбыта, и потреб­ ность в них в каждом из магазинов:

Значение X вводится в клетку с наибольшим отрицательным значением в верхнем левом углу, то есть в клетку, отображающую маршрут А—2. Другие клетки затем корректируются, с тем чтобы сохранить итоговые значения рядов и колонок. Максимальное значение X составляет 5, что дает улучшенное рас­

Из этой таблицы видно, что маршрут В—3 можно использовать для даль­ нейшего сокращения затрат. В эту клетку вводится переменная А", а другие клет­ ки соответственно корректируются. Обратите внимание, что при корректировке итоговых значений можно пользоваться только распределенным клетками. В этом примере мы видим, что все распределенные клетки требуют корректировки с тем, чтобы сохранить имеющиеся итоговые значения. По этой таблице нахо­ дим, что максимальное значение X составляет 15, и этот результат показан в таблице ниже. И снова мы вычисляем скрытые затраты на предмет возможности дальнейшего улучшения распределения:

Из этой таблицы видно, что при вычислениях в пустых клетках не возникает отрицательных значений. Следовательно, распределение невозможно улучшить, поэтому общие затраты минимизируют следующие маршруты:

Производственная зона А: 20 единиц на склад.

Производственная зона Б: 40 единиц на склад 1 и 10 единиц на склад 2. Производственная зона В: 5 единиц на склад 1.

Остаток произведенной продукции из зоны В останется неиспользован­ ным, что видно из соответствующего значения (15 единиц) псевдоряда.

8.13. Задача максимизации

В предьщущих примерах мы рассмотрели приемы минимизации ресур­ сов, в частности времени или затрат, при решении конкретной транспор­ тной задачи. Эти же методы можно применять и в ситуациях, когда необ­ ходимо максимизировать значения. Так, мы можем поставить задачу макси­ мизировать доход или прибыль за счет распределения перевозок. Процесс максимизации требует модифицировать описанные ранее приемы — в час-

с помощью приемов минимизации, описанных в предыдущих примерах, получаем следующее оптимальное решение:

Такое распределение максимизирует общую прибыль, как это показано в таблице ниже. Показатели затрат преобразуются обратно в исходные значения прибыли, и они показываются в нижнем правом углу каждой ячейки:

При таком распределении максимальная прибыль составит: 10 X 32 + 90 X 38 + 50 X 36 X 42 + 70 ж 34 = 9180.

Так как цифры в таблице даны в 100 ф. ст., то максимальная валовая прибыль составит 918 000 ф. ст.

8.14. Упражнения: задачи максимизации

инесбалансированные задачи

1.(1) В каждой из последующих задач определите оптимальный способ перевозки товаров со складов в розничные магазины. В таблицах транспор­ тные расходы указаны на единицу товара. Также приведены данные по по­ требностям розничных магазинов и наличию единиц товара на складах. (Циф­ ры даны в ф. ст.):

(i)

2 (D) В таблице ниже приведена сумма прибыли, получаемая при транс­ портировке единицы изделия между производством и центром сбыта. (Цифры даны в долл США на единицу )

С помощью метода решения транспортных задач найдите оптимальные маршруты перемешения требуемых товаров с целью максимизации ожидаемой прибыли

8.15. Интерпретация результатов: вопросы управления

При получении решений оптимизации с по.мощью симплексного мето­ да или методов решения транспортных задач их необходимо интерпретиро­ вать с точки зрения реальности и практического смысла Так, возьмем зада­ чу, которую мы уже рассматривали в этой главе относительно соотношения объемов выпуска различных моделей холодильников в компании «Стенлюкс». На первом этапе мы определили количество каждой из моделей, которое необходи.мо производить, чтобы максимизировать прибыль при наличии ограничений по сырью и рабочему времени. Полученное решение дало опгимальное количество по произволе 1ву каждой из моделей. В этом примере мы установили, то ежедневно необходимо производить 375 холодильников модели А470 и 937 холодильников мoдeJ^и А370, чтобы получить в итоге валовую прибыль в 82 470 долл США Полученные результаты необходимо проанализировать в свете ряда дополнительных факторов, и не всегда при­ нимать их за данность. Так, прежде чем принять окончательное решение по оптимальному соотношению объемов выпуска, руководителю может потре­ боваться оценить эти результаты с уметом дополнительной информации. При этом необходимо учесть следующие факторы'

1. Возможно, придется рассмотрегь дополнительные ограничения. Так, данная производственная задача, вполне возможно, связана с использова­ нием дополнительных материалов, Г1ри\1еняемых исключительно при выпус­ ке данной .модели Количество таких материалов ограничено, и поэтому необходимо ввести дополнительное ограничение при использовании симп­ лексного метода.