Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

А470 И А370. Обе модели приносят прибыль: А470 — 70 долл. каждый и А370 — 60 долл. каждый. Компания ставит целью максимизировать прибыль. Имеются ограничения по количеству, в котором могут быть произведены эти два холо­ дильника. Так, хия производства А470 требуется 3 человека-часа, а для произ­ водства А370 — 2 человека-часа. Общее количество человеко-часов для произ­ водства этих двух моделей составляет 3000. Далее, стоимость сырья для модели А470 составляет 50 долл., а для модели А370 — 60 долл. Потолок недельной сметы по сырью для этих двух моделей составляет 75 000 долл.

На основании этой информации можно приступить к формулированию задачи:

(1) Определение переменных, которые будут использоваться.

Компании надо определиться относительно того, сколько холодильников каждой модели производить, с тем чтобы максимизировать прибыль. Количе­ ство каждого холодильника и есть рассматриваемые переменные. Итак, мы можем определить переменные следующим образом:

Объективная функция — это выражение, которые мы хотим оптимизиро­ вать. В этом примере мы хотим максимизировать прибыль, которую мы должны выразить через переменные, определенные в п. 1. Мы знаем, что каждая модель холодильника приносит определенную прибыль, а именно: А470 — 70 долл.; А370 — 60 долл.

Таким образом, если в неделю компания производит л: холодильников А470 и у холодильников А370, тогда общая прибыль от этих холодильников находит­ ся из следующего выражения:

Прибыль = 70x + бОу.

Это объективная функция, которую необходимо максимизировать.

(3)Определение ограничений.

Атеперь мы должны определить все офаничения по выпуску продукции через переменные х w у.

Как уже отмечалось выще, существуют два ограничения. Во-первых, име­ ющееся количество человеко-часов. Всего имеется 3000 человеко-часов, а при производстве А470 требуется 3 человеко-часа, а при производстве А370 — 2 человеко-часа.

Рассмотрим количество человеко-часов, необходимое для производства х хо­ лодильников А470 и у холодильников А370. На каждый холодильник А470 уходит при производстве 3 человеко-часа, и поэтому для производства х этих холодиль­ ников потребуется Зх человеко-часов. Аналогично, для производства у холодиль­ ников модели А370 потребуется 2;^ человеко-часов. Таким образом, общее количе­ ство часов, необходимое для производства этих двух моделей, составляет

Общее количество часов = Зх + 1у.

Суммарная величина не может быть больще 3000 человеко-часов, и, сле­ довательно, мы можем написать следующее неравенство:

Зх + 2^ < 3000.

Это определяет одно из офаничений по производству номенклатурного ряда. Второе офаничеиие связано с расчетами за сырье. Для А470 фебуется

2 6 4 ГЛАВА 8

сырье на сумму 50 долл., а для А370 — на сумму 60 долл. При х А470 и у А370 это дает общую сумму затрат на сырье в виде:

Общие затраты = 50х + 60j.

Потолок недельной сметы составляет 75 000$, и поэтому мы имеем; 50х + в^у < 75 000

Ограничения по общему количеству человеко-часов и общим затратам определяют два основных условия решения этой задачи. Следует отметить, что существует еще два очевидных условия, которые необходимо учесть, а именно: переменные х и у, которые показывают количество производимых холодильни­ ков, не могут иметь отрицательные значения. Таким образом, мы имеем еще два офаничения, т. е. ограничения о «положительности», которые записывают­ ся в следующем виде:

X > О и у > 0.

Этим и завершается формулирование задачи линейного программирования. В итоге мы имеем следующее:

(1) л: — количество производимых холодильников А470;

у— количество производимых холодильников А370.

(2)Мы хотим максимизировать объективную функцию:

Прибыль = 70д; + бОу.

(3) При наличии следующих ограничений:

Зх + 2у < 3000; 50л: + бОд' < 75 000; X > О, у > 0.

Решение такого рода задачи будет рассмотрено в следующем разделе.

Пример 2

Финансовый консультант от «Вили-Макен» консультирует клиента по оп­ тимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства в два наименования акций крупных предприятий в составе группы «Хансон», много­ национального конгломерата компаний, представленных в горнодобывающей, химической отраслях, а также табачной промышленности. Анализируются ак­ ции «Хансон-Иквити» и «Фар-Ист».

Цены на акции следующие: «Хансон-Иквити» — 6 ф. ст. за акцию; «Фар-Ист» — 4 ф. ст. за акцию.

Всего в наличии 30 000 ф. ст., направляемых на инвестиции в эти акции. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более

5000 штук.

И наконец, по оценкам «Вили-Макен», прибыль от инвестиции в эти две акции в следующем году составит:

«Хансон-Иквити» — 1.20 ф. ст.; «Фар-Ист» — 1.00 ф. ст.

Задача консультанта состоит в том, чтобы вьщать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиции.

Это — задача оптимизации, которую можно решить через постановку за­ дачи линейного программирования:

(1) Определение переменных, которые будут использоваться.

Задача заключается в том, чтобы определить, какое количество акций каж­ дого наименования приобрести. Мы имеем следующие переменные:

X — количество приобретенных акций «Хансон-Иквити»

и

у— количество приобретаемых акций «Фар-Ист».

(2)Определение объективной функции. Цель состоит в оптимизации прогно­ зируемого дохода от инвестиции в эти акции. Мы знаем, что прогнозируемая при­ быль по акции «Хансон-Иквити» составляет 1.20 ф. ст. Поэтому если приобретается хэтах акций, то прогнозная прибыль будет равна 1.20л: ф. ст. Аналогично, прогно­ зируемая прибыль по каждой акции «Фар-Ист» — 1.00 ф. ст., и у этих акций в случае их приобретения могут принести прибыль в размере ЬООуф. ст.

Таким образом, общая прогнозируемая прибыль от вложения в эти две акции составит:

Прибыль на инвестицию = 1.20х ф. ст. + 1.00>' ф. ст.

В упрощенном виде это можно записать следующим образом: Прибыль на инвестицию = 1.2х + 1у = \.2х + у.

Это и есть объективная функция, которую мы хотим максимизировать.

(3) Определение офаничений.

Существует ряд условий, которые должны быть соблюдены при решении этой задачи. Они связаны с суммой средств, имеющихся для вложения в акции, а также с количеством акций, которое клиент хочет приобрести.

Рассмотрим сумму средств, имеющуюся для инвестиций. У клиента в нали­ чии максимум 30 000 ф. ст. Акции «Хансон-Иквити» стоят 6 ф. ст. за штуку, и X этих акций при приобретении обойдутся клиенту в 6х ф. ст. Аналогично, каждая акция «Фар-Ист» стоит 4 ф. ст., и приобретение у таких акций будет стоить 4у ф. ст. Отсюда общая сумма вложения в эти акции составляет:

Общая сумма вложения = 6х + 4у.

Так как эта сумма не может превышать 30 000 ф. ст., то мы имеем следу­ ющее офэничение:

6х + 4у < 30 000.

Во-вторых, имеется условие по количеству акций в инвестиционном пор­ тфеле. Клиент хочет приобрести максимум 6000 акций. Итак, общее количество приобретаемых акций — это х + у. И это выражение должно быть меньше или равно 6000. Поэтому второе условие:

X + у < 6000.

В-третьих, клиент уточнил, что акций одного наименования должно быть не более 5000 штук. Это дает нам еще два условия:

О < X < 5000; и О < у < 5000.

В итоге мы получаем следующее:

(1) X — количество приобретаемых акций «Хансон-Иквити»; у — количество приобретаемых акций «Фар-Ист».

(2)Мы хотим максимизировать объективную функцию: Прибыль на инвестицию = 1.2х + у.

(3)При наличии следующих условий:

6л: + 4^ < 30 000; X + у < 6000;

О < л: < 5000, и О < у < 5000.

И вновь, решение этой задачи мы рассмотрим позднее.

8.2. Графическое решение

Вэтом разделе мы рассмотрим решение задачи линейного профаммирования

спомощью фафических методов. Необходимо отметить, что такой метод имеет практический смысл только при рассмотрении двух неизвестных переменных (на­ пример, X и з'), и он непригоден при решении задач с более, чем двумя неизвес­ тными. Так, если руководитель производства «Стенлюкс» захочет определиться по количеству трех и более различных моделей холодильников, то в этом случае фафический метод применять нельзя. Аналогично, аналитик по инвестициям «ВилиМакен» не сможет пользоваться фафическим методом при оптимизации портфе­ ля из более чем двух акций. То есть вы видите, что фафический метод крайне офаничен. Однако он дает полезное представление о том, как вести поиск опти­ мальных решений, что может оказать помощь при анализе более сложных задач с большим количеством переменных.

Мы рассмотрим фафическое решение задач линейного профаммирования на данных тех примеров, что приведены в предьщущем разделе. В принципе, метод состоит из двух этапов:

(1) отображения области допустимых решений согласно данным офаниче-

ний.

(2) нахождения оптимального значения объективной функции внутри этой области.

Пример 1

Рассмотрим задачу, связанную с руководителем производства «Стенлюкс» Необходимо принять решение относительно того, в каком количестве произво­ дить два изделия. Далее приведены условия задачи:

(1) X — количество производимых холодильников А470;

у— количество производимых холодильников А370.

(2)Мы хотим максимизировать объективную функцию:

Прибыль = 70х + бОу.

(3) При наличии следующих офаничений:

Зх + 2у < 3000;

50х + бОу < 75 000;

^ > 0. >' > О- Давайте рассмотрим решение этой задачи в два этапа:

(1) Отображение области допустимых решений. Первое, что необходимо сделать при фафическом решении задачи, это отобразить офаничения. Рас-

смотрим неравенство Зх + 2у < 3000. Область, удовлетворяющая этому усло­ вию, будет по одну из сторон прямой линии: Зх + 2у = 3000.

Чтобы нарисовать эту прямую линию, достаточно только нанести две точ­ ки. В принципе, проще всего нанести эти точки при х = О и у = 0.

Так, если х = О, имеем 3 х О + 2>' = 3000. Отсюда 2у = 3000, у = 1500.

Аналогично, при у = О имеем Зл: + 2 х О = 3000. Отсюда Зл: = 3000, х = 1000.

Таким образом, равенство Зх + 2у = 3000 включает точки: х = О, у = 1500 и л: = 1000, у = 0.

Эти точки можно нанести на фафик, как это показано на рис. 8.1. Итак, область, удовлетворяющую неравенству Злг -ь 2^ < 3000, можно ото­

бразить, выделив участок по одну из сторон от линии Зх + 2у = 3000. Чтобы определить, по какой из сторон от линии находится этот учасок,

достаточно взять одну точку и определить, отвечает она или нет условиям неравенства. Так, при х = О и у= О имеем 3 x 0 + 2 x 0 = 0. Это значение меньще 3000 и, следовательно, удовлетворяет условиям неравенства.

Отсюда следует, что вьщеленная область, удовлетворяющая условиям не­ равенства Зд: + 2;' < 3000, включает точку л: = О, ^ = 0. Область показана на графике (рис. 8.1).

Рис. 8 . 1 . Область, отвечающая условию Зх + 2у < 3000

Аналогичным образом наносим область, отвечающую второму ограниче­ нию: 50;с + бОу < 75 000.

Сначала рассмотрим равенство 50л: + бОу = 75 000.

Во-первых, нанесем две точки: при х = 0: 50 х О + 6Qy = 75 000. Отсюда бОу = 75 000 и ^^ = 1250.

Далее, при у = 0: 50л: + 60 х О = 75 000. Отсюда 50x = 75 000 и х = 1500.

Следовательно, прямую линию 50х + бОу = 75 000 можно нанести через точки X = О, у = 1500 и X = 1500, у = Q.

Далее, точка при х = О и у = О удовлетворяет условиям неравенства и поэтому входит в область, показанную на фафике (рис. 8.2).

Теперь возьмем другие два неравенства: х > О и у > 0. Их МОЙСНО отобра­ зить, выделив на графике только положительные значения. Эту область мы

ВИДИМ на рис. 8.3.

268ГЛАВА 8

Инаконец, области, которые мы получили на предьшущих графиках, можно совместить, чтобы получить область, удовлетворяющую всем ограничениям:

Зх + 2у < 3000;

50х + бОу < 75 000;

X > О, у > 0.

График на рис. 8.4 показывает область, которая удовлетворяет всем ограни­ чениям. Эта область называется областью допустимых рещений, так как она содержит все допустимые решения задачи линейного программирования.

Т Определение. Область допустимых решений — это область, полученная тем графического отображения ограничений конкретной задачи и включающ возможные решения оптимизации. А

2500

2000

1500

10QP:

Рис. 8.2. Область, удовлетворяющая условию 50х + бОу < 75 000

Рис. 8.3. Область, удовлетворяющая условию х > О и у > О

(2) Оптимизация значения объективной функции.

Любая точка в области допустимых решений может быть решением задачи максимизации прибыли. Нам только остается найти ту точку, которая максими­ зирует эту функцию. Так называемая объективная функция имеет следующий вид'

Прибыль = 70л: + бОз'.

2500

Рис. 8.4. Сочетание ограничений

Мы можем взять любую точку в области допустимых решений и вычислить соответствующую прибыль. Так, область допустимых решений содержит точку х = =500 wy= 500. Эти значения дают прибыль в сумме: 70 х 500 + 60 х 500 = 65 000 долл. США.

Нам необходимо выяснить, дадут ли другие значения хну более высокое значение прибыли. Вместо того, чтобы рассматривать отдельные точки, как мы это только что сделали, мы можем применить альтернативный, более действен­ ный подход. Рассмотрим конкретное значение прибыли, например 30 000 долл. Получаем следующее уравнение:

70x + вОу = 30 000.

Это прямолинейное уравнение можно нанести на график с областью допу­ стимых решений, как это показано на рис. 8.5. Любая точка на этой линии даст прибыль в 30 000 долл. А теперь рассмотрим большее значение прибыли, напри­ мер 50 000 долл. Получаем уравнение

70х + вОу = 50 000.

И снова это уравнение можно нанести на график, как это показано на рис. 8.6. Как мы видим, полученная линия параллельна исходной линии. То же самое по­ лучится, если нанести и третью линию по другому значению прибыли, напри­ мер 70 000 долл. Уравнение 70х + Ь^у = 70 000 долл. можно нанести на график, как это показано на рис. 8.7. Мы видим, что линии прибыли параллельны друг другу, и по мере увеличения прибыли линии все более удаляются от исходной точки фафика (х = О, у = 0). Применив этот подход, мы получим, что линия максималь­ ной прибыли проходит через точку, указанную на графике, представленном на рис. 8.8. Точка, указанная на фафике, дает оптимальное решение этой задачи. Оп­ тимальное решение соответствует точке, где jc = 375 и у = 937. Обратите внимание, что эти приблизительные значения получены прямо из графика.

Итак, мы получили следующее решение задачи.

Рекомендуется, чтобы компания «Стенлюкс» выпускала еженедельно изде­ лия в следующей пропорции:

количество холодильников А470 = 375; количество холодильников А370 = 937.

2500

2000

1500

1000

1000 1500 2000

X

Рис. 8.5. Отображение прибыли, равной 30 000 долл.

2500

2000

1.000 1500 2000

Рис. 8.6. Линии, отображающие два значения прибыли

2500

Рис. 8.7. Параллельные линии различных значений прибыли

ная функция — прибыль равна: 70 х 1000 + 60 х О = 70 000 долл. Необходимо отметить, что в этой области допустимых решений имеется

еще одна угловая точка. Она показана на рис. 8.9 буквой Г, где х = Ои>' = 0. В этой точке прибыль равна: 7 0 x 0 + 6 0 x 0 = 0 долл.

По этим вычислениям видно, что максимальная прибыль возникает в точ­ ке Б, где X = 375 и у = 937. Этот результат подтверждает значения, полученные с помощью уже описанного нами метода.

8.3. Краткое описание графических методов

С помощью графических методов вы можете установить оптимальное зна­ чение объективной функции при наличии ряда офаничений. Для этого:

(1)Отобразите область допустимых решений. Это делается путем выделе­ ния участков, которые отвечают условиям всех неравенств, отражающих огра­ ничения по задаче. Такая область, которая удовлетворяет всем условиям, назы­ вается областью допустимых решений.

(2)Найдите оптимальное значение объективной функции. Для этого най­ дите такую точку в области допустимых решений, которая оптимизирует (мак­ симизирует или минимизирует) объективную функцию. При поиске такой точ­ ки можно применить два подхода:

а) возьмите любое значение объективной функции. По этому значению нанесите прямую линию на графике. Далее параллельно сдвигайте эту линию до тех пор, пока она не дойдет до края области допустимых решений. Достигнутая точка даст оптимальное значение объективной функции

или б) вычислите значения объективной функции для всех угловых точек области допустимых решений. Одна из этих точек даст оптимальное значение.

8.4. Максимизация и минимизация

На последующих примерах мы рассмотрим графический метод решения задачи линейного профаммирования. В предьшущем примере мы рассматривали задачу максимизации, где все офаничения были выражены в виде неравенств, т. е. «<». В принципе, задачи линейного профаммирования могут иметь различ­ ные по виду Офаничения, то есть там может быть сочетание >, < и =. Но и задачи минимизации также важны. Так, компания может поставить задачу минимизировать затраты, рабочее время и убытки. На последующих примерах мы и рассмотрим применение фафического метода в таких случаях.

В целях упрощения подачи материала будем считать, что задача уже сфор­ мулирована, и поэтому в дальнейшем в примерах даны готовые объективные функции и ограничения.

Пример 1

Имеются следующие офаничения:

5х + 2у < 90;