Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ 193

6.5. Выделение тренда: экспоненциальное сглаживание

Альтернативный подход к устранению колебаний в ряде значений состоит в использовании метода экспоненциального сглаживания. Каждое сглаженное значение рассчитывается путем сочетания предьщущего сглаженного значения и текущего значения временного ряда. В этом случае текущее значение времен­ ного ряда взвещивается с учетом сглаживающей константы, обычно обознача­ емой а. Сам расчет производится по следующей формуле:

S, = аХ, + (1-а) 5,_„

где S, — текущее сглаженное значение;

X, — текущее значение временного ряда;

S,_^ — предьщущее сглаженное значение;

а— сглаживающая константа.

Значение всегда находится в пределах от О до 1, и в каждом конкретном случае необходимо выбрать наиболее приемлемое значение.

Вас не должна смущать эта внешне сложная математическая формула. Ре­ альный механизм вычисления сглаженных значений с использованием экспо­ ненциального сглаживания не сложнее тех вычислений, что мы применяли при определении значений скользящих средних в предьщущем разделе. Рассмотрим этот вопрос вновь на примере объемов продаж компании АПИ. В таблице при­ ведены соответствующие объемы продаж, а также сглаженные значении при сглаживающей константе а = 0,1.

все рассчитаны по значению текущему, а также предьщущему сглаженному. Первое сглаженное значение (1984 г.) — просто чистая копия значения объема продаж, так как предьщущее значение отсутствует. При вычислении использу­ ется общая формула сглаживания:

S, = CLX, + (1—а)5',__|.

Значение а=0,1, и поэтому выражение принимает следующий вид:

S, = 0.\Х, + (1-0.1)5,_,;

S, = ОЛХ, + 0.95, - 1.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ 195

Например, сглаженное значение за 1985 г.:

0.3)5„«4 = 0.3 X 120 + 0.7 X 170 = 36 + 119.

То есть L^igs, = 155.

Остальные сглаженные значения рассчитываются аналогичным образом. На рис. 6.7 даны в сравнении ряды сглаженных значений, полученных при различ­ ных сглаживающих константах с целью выделения тренда.

300

<

э 250

о

с;

с;

о

ее 200

с;

2

О

а

с

ш 150

\D

о

IS

о

ш

оо 100

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Рис. 6.6. Объемы продаж компании АПИ и экспоненциально сглаженные значения

При анализе расхождений результатов применения двух сглаживающих констант при выделении тренда следует обратить внимание на два момента. Вопервых, временной лаг, который очевиден при а=0.1, гораздо менее выражен при а=0.3. В целом, чем больше значение при вычислении сглаженных значе­ ний, тем последние более чувствительны к изменениям в последних значениях временного ряда. То есть в этом случае сглаженные значения отстают от значе­ ний временного ряда не столь сильно, как это происходит при более малых значениях сглаживающей константы. Этот фактор не играет никакой роли, если отсутствует существенное изменение в общем тренде временного ряда. Однако он крайне важен при составлении прогнозов, когда отмечается значимое вос­ хождение или нисхождение общего тренда временного ряда. Значения, полу­ ченные в нащем примере при а=0.3, лучше отражают общий тренд, чем те, которые рассчитаны при а=0.1, что видно из рис. 6.7.

И, во-вторых, необходимо учитывать то, что при более низких значениях достигается большее сглаживание данных, а это позволяет выделять тренд с большей точностью. Например, посмотрим на фафик, представленный рис. 6.8. Ряд значений, полученных при сглаживаюшей константе а=0.3, при относи­ тельной сглаженности все же выказывает гораздо больше отклонений, чем ряд, полученный при а=0.1.

250

I

о

5

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Годы Объем продаж -т- Сглаживающая константа = О 1

-*• Сглаживающая константа = 0 3

Рис. 6.7. Два ряда сглаженных значений объемов продаж компании АПИ

Следовательно, для каждого конкретного случая придется выбирать наиболее приемлемое значение сглаживающей константы. Малое значение приводит к боль­ шему сглаживанию значений, а большое значение более точно отражает измене­ ния тренда. В большинстве случаев значение сглаживающей константы лежит в пре­ делах от 0.1 до 0.3, однако в ряде случаев возможно использование и других значе­ ний а, находящихся вне этого диапазона.

6.6. Упражнения: выделение тренда

1. (Е) Далее приведены данные за 20 дней по количеству пациентов, про­ ходящих через отделение радиологии клиники Св. Иосифа в течение дня:

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ 197

(i)Нанесите указанные значения на фафик. Оставьте место по горизон­ тальной оси для 21-го дня.

(ii)Вычислите по этим данным пятиточечные скользящие средние и на­ несите полученные значения на график.

(iii)Проведите линию «наилучшего соответствия» через точки скользящих средних, продолжите эту линию и оцените, какое количество пациентов может быть обслужено на 21-й день. Проанализируйте вероятную точность сделанного прогноза.

2. (I) На основе данных предыдущего задания:

(i)При а=0.1 вычислите сглаженные значения за 20 дней.

(ii)Нанесите полученные сглаженные значения на фафик и спрогнози­ руйте количество пациентов, которые могут быть обслужены на 21-й день. Как эта оценка соотносится со значением, полученным на основе скользящих сред­ них?

(iii)Повторно выполните задания (i) и (ii) при сглаживающей константе а=0.1. Сравните полученные результаты.

3. (1) В таблице приведены данные по годовому объему продаж автомоби­ лей в Великобритании за период с 1986 по 1997 г.:

(i)С помощью трехточечных скользящих средних выделите тренд. Нанесите на фафик исходные данные и значения скользящих средних.

(ii)Продолжите линию фенда и спрогнозируйте объем продаж автомоби­ лей на 1998 и 1999 гг. (Обратите внимание, что тренд может быть нелинейным).

(Ш) При а = 0.1 вычислите сглаженные значения объема продаж автомоби­ лей и нанесите полученные значения на фафик. На основании этого сделайте оценки относительно объема продаж на 1998 и 1999 гг. Какой из методов вьщеления фенда в этом примере, по ващему мнению, наиболее приемлем и почему?

6.7. Сезонные колебания

Сезонная составляющая может быть очевидна во многих случаях, где за­ действованы финансовые и экономические показатели. На последующих приме­ рах мы рассмофим два метода, которые часто используются при оценке сезон­ ных колебаний.

Метод сложения используется в случаях, когда сезонные составляющие отно­ сительно постоянны по всему анализируемому временному периоду. При этом

198 ГЛАВА 6

значение временного ряда можно представить как сумму тренда и сезонной со­ ставляющей. В общем виде этот метод можно описать следующей формулой:

X, = Т, + S,,

где X, — фактическое значение в периоде /;

Т, — тренд в периоде /;

S, — сезонное отклонение в периоде /.

Метод умножения используется, ко1яа сезонные составляющие изменяются пропорционально значениям тренда по всему анализируемому временному пе­ риоду В этом случае значение временного ряда можно представить как про­ изведение тренда и сезонной составляющей. При этом формула вычисления имес! следующий вид:

Х,= Т,х S,

Графики, представленные на рис. 6.8, показывают два временных ряда и соответствующие линии тренда. На рис. 6 8 (i) отклонения от тренда относи­ тельно постоянны, а на рис. 6.8 (ii) oткJ^oнeния нарастают по мере восхожде­ ния тренда. На этих простых примерах видно, что в первом случае (i) следует применить метод сложения, а во втором (ii) — метод умножения.

(|) Метод сложения

35

(м) Метод умножения

Рис. 6.8. Сравнение методов сложения и умножения

Необходимо отметить, что сезонные составляющие (S,), присутствующие в обеих формулах, рассчитываются не одинаково, а ь зависимости от избранного

метода В последующих разделах мы рассмотрим, как определять сезонную со­ ставляющую в зависимости от того, какой метод применяется Те примеры, которые приводятся далее, используют скользящие средние для выделения значений тренда Однако, при определении тренда можно пользоваться и дру­ гими методами, например методом экспоненциального сглаживания

6.8. Сезонные колебания: метод сложения

В этом разделе мы рассмотрим порядок вычисления сезонных колебаний при условии приемлемости метода сложения Итак, мы воспользуемся следую­ щее формулой'

х,= т, + s„

где Х, — фактическое значение в периоде /, Т, — тренд в периоде i;

S, — сезонное отклонение в периоде ;

Путем перестановки мы можем выразить сезонную составляющую через другие значения Итак,

s, = x. - т,.

Другими словами, сезонная составляющая (или сезонное отклонение) можно рассчитать путем вычитания тренда из исходного значения временного ряда Как мы уже говорили ранее, тренд можно выделить с помощью скользя­ щих средних Таким образом, если из исходных значений вычесть скользящие средние, то остаток можно использовать в качестве оценочного показателя сезонного отклонения.

Пример 1

В таблице приведены данные по объему продаж мазута компании АПИ в странах Восточной Европы в период с 1994 по 1997 гг (Данные приведены в тыс. баррелей за каждый четырехмесячный период года )

Исходя из приведенных значений, можно сказать, что данные объема про­ даж четко выказывают наличие сезонной составляющей Каждый год повторя­ ется определенная ситуация в том, что касается объема продаж.

Нет ничего удивительного в том, что объемы продаж мазута имеют тен­ денцию к снижению в летний период и достигают пика в начале зимнего периода. Это колебание между последовательными значениями можно сгладить скользящими средними, как это показано в таблице на стр. 200. Здесь взяты трехточечные скользящие средние, так как в показателях объема продаж при­ сутствует ежегодная повторяемость, выраженная тремя значениями.

соответствующее значение скользящего среднего — 30.67. Далее рассчитываем отклонение: 15 — 30.67 = —15.67.

AHajiorH4Ho, в сентябре—декабре 1994 г. отклонение рассчитывается путем вычитания скользящего среднего из объема продаж, что дает нам 42 — 31 = 11. Точно так же рассчитаны и другие значения отклонений, приведенные в таб­ лице.

«Сезоны» (или периоды) в течение года рассматриваются отдельно в целях проведения анализа сезонных колебаний. Так, за период январь—апрель мы имеем следующие значения отклонений:

1995 г. 3.67; 1996 г. 5.33; 1997 г. 5.67.

Обратите вР1имание, что за 1994 г. нет отклонения. Итак, значения откло­ нений показывают расхождения между фактическими значениями объема про­ даж и значениями скользящих средних в определенные заданные периоды. Среднее этих значений позволяет получить простой оценочный показатель се­ зонных колебаний за январь—апрель в другие годы. Так, сезонное отклонение за янв.—апр. рассчитывается следующим образом:

Ана.,1огично можно рассчитать сезонные колебания в другие периоды:

Обратите внимание, что значения отклонений в мае—августе взяты из таблицы.

И наконец, сезонные колебания в сентябре—декабре рассчитываются сле­ дующим образом:

Полученные такие образом значения сезонных колебаний можно сложить со значениями тренда для выработки прогнозных показателей объема продаж. Так, чтобы спрогнозировать объем продаж в каждый из периодов 1998 г., мы