Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

в (0) = ^С„(0 1)М1 - о 1Г-" = 0!4!"^^^^° (0-9)'="11Гз1т ' i^^-^^^^) = = 1 1 . (0.6561) = 0.6561

Аналогично, вероятность получения одного бракованного батончика из партии из 4 штук определяется как:

В (1) = ^с, (0.1)' (1 - 0.1)^-1 = 7ГзТ(01)' (0.9)^ = т И т ^ ^ ' ) (0'^29) =

= 4.(0.1)(0.729) = 0.2916.

Далее по аналогичной методике находим:

4!

В (2 бракованных) = "Сз (0.1)^ (1 - 0.1)"-^ = ^7^(0-1)^ (0.9)^ = 0.0486.

Результаты вычислений дают биноминальное распределение, которое было представлено в начале этого раздела и которое мы повторяем ниже:

Пример 4

В клинике Св. Иосифа, находящейся в Нью-Йорке, вероятность того, что койка не занята, составляет 20%. Возьмите произвольную выборку из 5 коек и рассчитайте вероятность того, что количество незанятых коек:

а) максимально одна; б) более двух.

И снова для вычислений воспользуемся формулой биноминального рас­ пределения. В данном примере мы имеем:

р = В (незанятая койка) = 0.2, п = количество коек = 5.

(i) Вероятность того, что самое большее одна койка не занята, эквивален­ тна вероятности того, что нет ни одной свободной койки или только одна

димо только применить формулу биноминального распределения, чтобы полу­ чить вероятность того, что две койки будут не заняты:

2.10. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона можно использовать для определения вероятнос­ тей ряда событий, наступающих при следующих обстоятельствах:

1. Количество наступающих событий рассматривается на заданном времен­ ном интервале.

2.Не зависящие друг от друга события наступают случайным образом.

3.Среднее (арифметическое) количество наступающих событий известно и постоянно.

Вобщем виде вероятность наступления г событий можно вычислить по формуле Пуассона:

В(г событий) "" е-^хх'

/•!

где ц — среднее количество наступающих событий и г = О, 1, 2, 3, ... Формула Пуассона включает экспоненциальную функцию е'^ , которую можно найти из экспоненциальных таблиц по значению ц.

Т Определение. Распределение Пуассона можно использовать для определения вероятностей, когда события наступают случайным образом и известно среднее количество наступающих событий (\\.). •

Пример 1

Рассмотрим пример с бракованными шоколадными батончиками, выпус­ каемыми на производственной линии «Даунбрукс». Установлено, что каждую минуту в среднем производится два бракованных батончика. Брак получается случайным образом, и его поэтому нельзя спрогнозировать.

В данном примере события (т. е. бракованные батончики) наступают слу­ чайным образом, и нам известно среднее количество (ц = 2) брака.

Поэтому вероятность отсутствия брака в данную минуту можно рассчитать по формуле Пуассона:

ционаре для проведения наблюдений и дополнительных анализов. Для груп­ пы из шести поступаюших пациентов какова вероятность того, что среди них окажется:

(i)только один такой пациент;

(ii)более двух таких пациентов;

(iii)менее двух таких пациентов.

2. (Е) Начальник отдела сбыта крупной оптовой организации считает, что один из трех «заходов вслепую» его реализаторов закончится продажей. Если реализатор сделает пять таких заходов к потенциальным клиентам, какова ве­ роятность того, что это закончится:

(i)ничем;

(ii)одной продажей;

(iii)двумя продажами;

(iv)более чем двумя продажами.

3. (I) Начальник отдела кадров крупной организации обнаружил, что при подборе руководителей среднего звена только один из четырех канди­ датов отвечает всем требованиям первичного отбора. Для группы из 10 кан­ дидатов найдите вероятность того, что количество кандидатов, прошедших первичный отбор, окажется:

(i)менее 2 человек;

(ii)два человека или более;

(iii)более двух человек.

2.12. Непрерывное распределение вероятностей

В предьщущих разделах мы познакомились с дискретным распределением ве­ роятностей, когда рассматриваемая переменная могла принимать только опреде­ ленные (дискретные) значения. Например такие переменные, как количество брака, количество поступаюших пациентов и количество несчастных случаев, могут быть выражены только целыми числовыми значениями. В этом разделе мы рассмотрим непрерывное распределение, когда теоретически переменная может иметь любое значение в пределах заданного диапазона.

Ранее в этой главе вы столкнулись с понятием ожидаемых величин. При­ меры, приведенные в разделе 2.6, включали использование простого распреде­ ления вероятностей, основанного на оценке предыдуших значений. Например, в таблице приведены данные по дневному объему продаж компании за после­ дние 50 дней:

Данную информацию можно преобразовать в распределение вероятностей. Например, в течение 2-х дней из последних 50 (т. е. для 4% от общего количе­ ства дней) объем продаж составил от 1000 до 2000 ф. ст. Следовательно, веро­ ятность достижения объема продаж в 1000 ф. ст. можно выразить как 0.04. Ана­ логичным образом находим остальные вероятности, которые вы видите в при­ веденной ниже таблице:

Диафамма данного распределения представлена на рис. 2.8. Площадь каж­ дого столбца диаграммы пропорциональна соответствующей вероятности. На­ пример, площадь затемненного столбца составляет 12% от общей площади. Ана­ логично, площадь столбцов, отображающих три последние интервала (4000—, 5000— и 6000—), составляет 48% от общей площади. Такой подход — отличный метод определения вероятностей по распределению вероятностей. На рис. 2.9 представлена диафамма, которая отражает альтернативный способ отображе­ ния тех же самых данных. Линейный фафик используется для очерчивания общей формы распределения, в то время как гистофамма очерчивает каждый интервал фуппировки отдельно. Этот фафик можно аналогичным образом использовать для отображения вероятностей. Пространство под линией можно использовать для определения вероятностей. Например, затемненный участок на рис. 2.9 показывает вероятность объема продаж свыще 4000 ф. ст. (т. е. всех значений вдоль горизонтальной оси, начиная с 4000 ф. ст.). Если мы примем, что общая площадь пространства под линией равна 1, тогда любой рассмотрен­ ный участок будет точно равняться вероятности. Так, затемненный участок на рис. 2.9 равняется 0.48 (48% от общей площади).

Рис. 2.8. Вероятность, представленная гистограммой

Рис. 2.9. Вероятность, представленная участками

На рис. 2.10 представлено распределение вероятностей недельной заработ­ ной платы на предприятии. Приняв допущение, что общая площадь простран-

Рис. 2.12. Изменения в значении средней арифметической

Рис. 2.13. Изменения в значении среднеквадратического отклонения (с. к. о.)

Как мы уже говорили в предьщущем разделе, вероятности могут быть пу­ тем определения участка под кривой. Итак, общая площадь пространства под любой нормальной кривой равна общей вероятности (= 1). Рассмотрим нор­ мальную кривую со средней арифметической, равной 200, и среднеквадратическим отклонением, равным 50. Это распределение представлено на рис. 2.14, а вероятность нахождения значения в пределах между 240 и 280 показана затем­ ненным участком.

Определение участков под нормальной кривой требует сложной математи­ ческой формулы. Данный процесс упрощается при использовании особых таб­ лиц. Обычно это таблицы «стандартного нормального распределения», где сред­ няя арифметическая равна О, а среднеквадратическое отклонение — 1. Любое нормальное распределение с заданной средней арифметической (ц) и задан­ ным среднеквадратическим отклонением (о) можно привести к этому стан­ дартизованному распределению с помощью следующей формулы:

Значение z, определяемое по данной формуле, дает расстояние между значением {х) и средней арифметической ((i), выраженной относительно коли­ чества среднеквадратических отклонений.

Таблицы нормального распределения, как, например, те, что приведены в конце данного пособия, помогают определить участок под стандартной нор­ мальной кривой за определенным значением z, как это видно на рис. 2.15. С

помощью комбинации этих значений можно рассчитать любую вероятность, что вы увидите на последующих примерах. Участок, показанный на рис. 2.15 равен вероятности переменной, находящейся за определенным значением (х).

Т Определение. Нормальное распределение представлено симметричной, колоколообразной кривой, определяемой значениями средней арифметической (\i) и среднеквадратического отклонения (с). •

Среднеквадратическое отклонение = 50

240 280 Средняя

арифметическая = 200

Рис. 2.14. Нормальная кривая, средняя арифметическая = 200, среднеквадратическое отклонение = 50

Среднеквадратическое отклонение = о

Средняя арифметическая = ц

Рис. 2.15. Участок под нормальной кривой

Пример 1

Выборочное обследование в компании «Даунбрукс» показало, что вес упа­ ковки с шоколадом представляет собой нормальное распределение со средним значением 400 г и среднеквадратическим отклонением в 20 г. Определим веро­ ятность того, что произвольно выбранная упаковка окажется весом:

(i)свыше 425 г;

(ii)до 410 г;

(iii)до 380 г;

(iv)свыше 395 г;

(v)между 390 и 412 г.

ст=20

Рис, 2 . 18 . Вес упаковки до 380 г

(iv)На рис. 2.19 представлен искомый участок, а также расчет значения z.

Иснова значение z отрицательное. Однако в этом случае соответствующее по­ ложительное значение z находится в левой части фафика. Далее по таблице находим, что этот участок равен 0.4013. Следовательно, искомый участок равен 1 — 0.4013 = 0.5987. Искомая вероятность составляет 0.5987 (или 59.87%).

значений z, а участок между этими значениями определяется путем комбина­ ции полученных по таблице значений. На рис. 2.20 представлен искомый учас­ ток, а также расчет значений z-

и 412 г получаем путем вычитания этих двух значений из общего участка, равного 1. Таким образом, искомый участок равен 1 — (0.2743 + 0.3085)= = 1 - (0.5828) = 0.4172.

Таким образом, вероятность того, что вес упаковки окажется между 390 и 412 г, составляет 0.4172 (или 41.72%).