Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

цесс выбора между двумя предприятиями становится более сложным. Наиболее амбициозные работники предпочтут работать на предприятии А, а низкоопла­ чиваемые работники — на предприятии Б.

Рис. 1.20. Сравнение предприятий

Данный пример иллюстрирует ситуацию, при которой средние не дают полной картины: помимо показателей среднего значения полезно получить данные по разбросу в двух наборах данных. В данном разделе мы рассмотрим некоторые меры разброса, которые можно использовать для этих целей.

1.8.1. Размах вариации

Размах вариации — это самая простая мера разброса набора данных. Размах вариации — промежуток между наибольшим и наименьшим значениями рас­ пределения. На последующих примерах вы познакомитесь с порядком расчета размаха вариации.

Т Определение. Размах вариации — это простая мера вариации, вычисляем путем вычитания наименьшего значения в наборе данных из наибольшего. •

Пример 1

Найдем размах вариации на основании значений недельного дохода не­ большого розничного предприятия за последние десять недель. (Данные приве­ дены в тыс. ф. ст.)

12, 20, 15, 8, 5, 14, 22, 13, 10, 17.

Чтобы получить размах вариации, необходимо найти наибольшее и наи­ меньшее значения в последовательности данных. Таковыми в данном приме­ ре являются цифры 22 (максимальное значение) и 5 (минимальное значе­ ние). Следовательнй, размах вариации рассчитывается следующим образом:

Размах вариации = 22 — 5 = 17.

Таким образом, для этих данных размах вариации составляет 17 000 ф. ст.

Пример 2

В таблице приведены данные по количеству отсутствовавших на работе за последние 50 дней:

Согласно данной таблице, наибольшее количество отсутствовавших за день составило 10 человек, а наименьшее — 3 человека. Таким образом, размах вариации равен 10 — 3 = 7 человек.

Пример 3

В таблице приведены данные объема производства небольшого предприя­ тия по производству электроники за период в 40 недель:

Согласно данной таблице, наибольшее возможное значение находится ниже 44 000 долл. США (при допушении, что интервалы фуппирования имеют оди­ наковую протяженность). Аналогично, наименьшее возможное значение состав­ ляет 20 000 долл. Отсюда для этих данных размах вариации равняется 44 000 — 20 000 = 24 000 долл.

1.8.2. Межквартильный размах

Размах, описанный в предьщущем разделе, имеет ряд недостатков. В це­ лом, размах нельзя удовлетворительно применять при сравнении наборов дан­ ных, так как он может быть легко искажен экстремальными отдельными зна­ чениями. Например, в следующей таблице приведены данные по недельной заработной плате 100 работников предприятий А и Б соответственно:

Недельная заработная

Размах для каждого набора данных составляет соответственно:

для предприятия А размах = 1000 — 200 = 800 ф. ст. для предприятия Б размах = 600 — 200 = 400 ф. ст.

Как видно, вариация согласно размаху для предприятия А в два раза боль­ ше вариации для предприятия Б. Однако при исследовании исходных таблиц частот эту разницу можно отнести на счет единственного работника, получаю-

щего в интервале 900—1000, в сравнении с еще одним работником предприя­ тия Б, получающим в интервале 500—600. Таким образом, одно экстремальное значение полностью исказило значение размаха. Поэтому на этот размах не стоит полагаться при проведении приемлемого сравнения наборов данных. Сле­ довательно, требуется альтернативный способ определения величины вариации. Для этих целей приемлемой величиной считается значение межквартильного размаха. Межквартильный размах получают путем исключительного рассмотре­ ния «размаха» для центральных 50% значений набора данных. На рис. 1.21 пред­ ставлено распределение набора данных. Если мы опустим 25% наименьших зна­ чений и 25% наибольших, тогда мы получим, как это показано на рисунке, размах, включающий центральные 50% значений, т. е. межквартильный размах. Два крайних значения из центральных 50% называются квартилями. Межквар­ тильный размах (IQR) — расстояние между меньшей квартилью (Q^) и боль­ шей квартилью (Qi), как это показано на рисунке. Квартили можно получить во многом аналогично тому, как мы определяли медиану ранее. Ведь медиана — это середина распределения и является [(и + 1)/2]-м порядковым значением.

Рис. 1.21. Расчет межквартильного размаха

Аналогично, меньшая квартиль находится на расстоянии в 1/4 от начала распределения, а большая квартиль — на расстоянии в 3/4. Таким образом, эти квартили можно рассчитать следующим образом:

Большая квартиль, Qj = [^/4{п + 1)|-е порядковое значение. Имея эти значения, получаем межквартильный размах:

IQR = (Зз - 0..

• Определение. Межквартильный размах — это разница между большей меньшей квартилями. Данное значение показывает размах для центральных данных. •

В последующих примерах рассмотрим порядок расчета межквартильного размаха.

Пример 1

В таблице приведены данные произвольной выборки из 15 акций, котиру­ емых на Лондонской фондовой бирже:

2.100.58 1.75 1.20 3.74

Qy = 3.74 ф. ст. Итак, имея значения квартилей, мы можем определить межквартильный размах как IQR = Q^ — Q] = 3.74 — 1.50 = 2.24 ф. ст.

Пример 2

Найдем значение межквартильного размаха на основании таблицы данных по количеству единиц определенных товарных запасов на складе за последние 100 дней:

(25'/4) порядковое значение в данной таблице равно 5. Это видно из того, что первые четыре значения равны 3, а последующие двенадцать значений все равны 4. Таким образом, 16-е значение равно 4. Исходя из этого, следующие 22 значения все равны 5. То есть (25^/4) порядковое значение — 5. Отсюда, d = 5 единица.м товарных запасов.

Аналогично,

Q, = 3/4(л + 1) = 3/4(100 + 1) = 3/4(101) = (753/4)-е порядковое значение.

Отсюда межквартильный размах IQR - Q^ — Q^ = 585 — 425 = 160 ф. ст

1.8.3. Среднеквадратическое отклонение

Одной из наиболее важных характеристик вариации является значение среднеквадратического отклонения, обычно обозначаемое л или ст Основное достоинство среднеквадратического отклонения состоит в том, что его можно рассчитать с помощью объективной математической формулы, а не путем оце­ ночных методов, как в случае с межквартильным размахом Среднеквадратичес­ кое отклонение выборки значений можно рассчитать по следующей формуле

Среднеквадратическое отклонение s =\1-=-^ — • V п

Как вариант, среднеквадратическое отклонение может быть рассчитано на основании данных таблиц частот с помощью одной из следующих формул'

На последующих примерах вы познакомитесь с порядком расчета средне­ квадратического отклонения

Т Определение. Среднеквадратическое отклонение есть мера вариации, полу­ чаемая путем извлечения квадратного корня из средней суммы квадратов отююнений между каждым значением и арифметической средней •

Пример 1

Ниже приведено количество сверхурочных часов, отработанных фуппой из

которой мы хотим найти значение среднеквадратического отклонения. Сначала находим среднюю арифметическую:

п10 ' •

Теперь мы можем вычислить значения (х — J ) путем вычитания значения среднего (х) из каждого значения х, как это показано ниже'

Далее возводим все эти значения в квадрат:

Обычно считается, что альтернативная формула расчета проще:

Среднеквадратическое отклонение s =J „ г—\^) •

Используя эту формулу, необходимо только рассчитать среднюю арифме­ тическую, а затем составить дополнительную колонку со значениями Y^fx^, как это показано ниже:

ZA_630

По таблице получаем арифметическую среднюю у /• ~ юо ~ ^"^ единицы

Аналогично, среднеквадратическое отклонение л|~у~7—(•^) -

= J-—т~(6.3) = л/42.98 - 39.69 = л/3.29 = 1.81 единицы, как и при расчете с

помощью первой формулы.

Пример 3

И наконец, рассмотрим таблицу сфуппированной частоты недельной за­ работной платы:

Вычисления средней арифметической и среднеквадратического отклоне­ ния сведены в следующую таблицу:

Аналогично, вычисляем среднеквадратическое отклонение:

Среднеквадратическое отклонение

^||6440000_^g27.5)^ =^4\ 1000 - 393756.25 = V17243.75 = 131.32 ф. ст.

1.9.Интерпретация меры вариаций

Впредыдущем разделе мы рассмотрели ряд показателей вариаций, которые можно использовать при обобщении данных. В частности, эти значения удобны при сравнении наборов данных, что видно из последующих примеров.

Пример 1

Маркетинговая компания «Спиц энд Коль» провела обследование уровня заработной платы в электронной промышленности и строительной отрасли Результаты, приведенные ниже, основаны на произвольной выборке из 1000 работников, занятых в каждой из отраслей.

Значения средней арифметической, приведенные в таблице, показывают, что средняя заработная плата в электронной отрасли выше, чем в строительной. Таким образом, в целом работники электронной отрасли зарабатывают боль­ ше, чем работники строительной отрасли. Однако в строительной отрасли выше значение среднеквадратического отклонения. Это указывает на то, что в стро-

ительстве вариация значений заработной платы больше, чем в электронике. Соответственно, в строительстве отмечена большая вариация значений зара­ ботной платы, в то время как в электронике значения заработной платы рас­ положены более плотной фуппой. Среднеквадратическое отклонение показыва­ ет величину вариации для определенного набора данных. Следовательно, боль­ шее значение среднеквадратического отклонения свидетельствует о большей вариации значений. Согласно результатам, приведенным в таблице, значения заработной платы в электронике более близки друг к другу и, в целом, более близки к значению арифметической средней, нежели в строительстве.

Сходное сравнение можно провести на основании различных статистичес­ ких показателей — например, тех, что сведены в нижеприведенную таблицу при обследовании аналогичного набора данных.

Значения медианы показывают, что средняя заработная плата в электро­ нике выше, чем в строительстве. Данные также показывают, что в электронной отрасли половина обследованных работников получают менее 470 ф. ст., а дру­ гая половина — более 470 ф. ст. Аналогично, в строительной отрасли значение в 350 ф. ст. является центральной точкой раздела обследованных работников на две одинаковые фуппы. Межквартильный размах дает интервал, содержащий «центральные» 50% работников. Для работников строительной отрасли значе­ ние размаха больше, что свидетельствует о большей вариации значений зара­ ботной платы в данной отрасли.

Пример 2

Производственное подразделение фармацевтической компании «Хартвудз», базирующееся в Лондоне, выпускает ряд лекарственных препаратов, в том числе «батротомин», предназначенный для снятия симптомов артрита. Использование «кооперации» на «Хартвудз» требует осушествления контроля за деятельностью отдельных производственных коллективов и проведения глубокого анализа его результатов. В настоящее время в производстве «батротомина» задействованы три коллектива (А, Б и В). В таблице приведены результаты анализа дневной выработки вышеуказанных коллективов за прошедшие три месяца.

Прежде всего, сравним значения средней арифметической для трех кол­ лективов. Из приведенных данных следует, что коллектив Б работает лучше других, коллектив А идет к нему вплотную, а коллектив В дает наихудшие результаты. Конечно, проведение такого рода сравнения подразумевает, что все остальные исходные идентичны. Например, предполагается, что коллективы