Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

умножением вероятности на общее количество значений. Например, в ранее рассмотренном примере вероятность того, что работник удовлетворен измене­ ниями в организационной структуре, оказалась равной 0.6. Таким образом, из общей численности работников в 360 человек ожидаемое количество удовлет­ воренных работников составляет 360 х 0.6 = 216 человек. Аналогично, если вероятность включе[{ия батончиков «Биг-Байт» в заказы составляет 0.24, тогда в пакете из 50 заказов ожидаемое количество заказов, включающих «Биг-Байт», равно 50 X 0.24 = 12.

Вышеописанный процесс можно расщирить в отношении более слож­ ных проблем. В общем виде, ожидаемое значение переменной получается путем умножения каждой вероятности на соответствующее значение и пос­ ледующего суммирования произведений. Это можно представить следующим образом:

Ожидаемое значение равно

l{x)=^ZXB{x),

где В(Х) — вероятность наступления X.

Ожидаемое значение можно считать оценкой среднего значения перемен­

ной.

Пример 1

В последний месяц отслеживалось количество пациентов, поступающих в отделение скорой помощи клиники Св. Иосифа. Было установлено, что количе­ ство пациентов, поступающих каждые пять минут, составляло от О до 4 человек. В таблице приведена вероятность поступления определенного количества паци­ ентов в течение 5-минутного отрезка времени:

Из таблицы видно, что существует вероятность в 10% того, что в ука­ занный отрезок времени не поступит ни одного пациента; вероятность в 30% того, что поступит один пациент, и т. д. для остальных значений. Ко­ личество поступающих пациентов можно обозначить X, а связанные вероят­ ности — В(Х). Ожидаемое количество пациентов, поступящих в течение ука­ занного отрезка составляет:

1{X) = 'LX-B{X) = О X 0.1 + 1 X 0.3 + 2 X 0.3 + 3 X 0.2 + 4 X 0.1 = = О + 0.3+ 0.6 + 0.6 + 0.4 = 1.9.

Таким образом, в соответствии с данной информацией можно ожидать поступления за 5-минутный отрезок времени чуть менее 2 пациентов в сред­ нем.

Пример 2

В последние три месяца компания «Даунбрукс» ежедневно реализовывала трюфели «Труфл» в количестве от 2 до 8 ящиков, что видно из приведенной ниже таблицы Каждый яшик содержит 144 батончика

Таким образом, ожидаемое количество реализации (в ящиках) составляет чуть менее 5 ящиков в день

2.7. Дерево решений

Использование дерева решений может помочь представить козжретную проблему и установить вероятность наст>тения конкретных событии и их ожидаемые значения Такого рода диаграммы ведут к построению более простого дерева вероятностей, которое использовалось для иллюстрации кон­ кретных вероятностей, связанных с последовательностью исходов Дерево рещений иллюстрирует результаты конкретных принимаемых решений, а также вероятный результат с точки зрения критических факторов, таких, как прогнозные доходы и расходы

Дерево решений состоит из двух основных частей «решении» и «вероят­ ностных событий» Они представлены квадратами и кругами, как это показано на рис 2 2 Эти решения и вероятностные события связаны, что видно из пос­ ледующих примеров

• Определение. Дерево решений — это графическое отображение ситуации, имеющей несколько альтернативных решений С помощью рассчитанных ожидае­ мых значении дерево решений позволяет выявить наиболее приемлемое решение для каждого этапа •

Пример 1

Предпо южим, что вы владеете акциями сгоимостью 1000 ф ст Вы должны принять решение относительно того, держать ш акции, продать их все или купить еще акции на сумму 500 ф ст Вероятность 20%-ного роста курсовой стоимости акции составляет О 6, а вероятность снижения курсовой стоимости на 20% — О 4 Какое решение необходимо принять с тем, чтобы максимизиро­ вать ожидаемую прибыть'

Следовательно, на основании данного критерия с целью максимизации ожидаемой стоимости акций вы предпочтете вариант 1. Таким образом, вы решите купить еще акций на сумму в 500 ф. ст., что даст вам ожидаемую чистую прибыль в 1060 ф. ст. Это значение показано в блоке В, а путь решения вьшелен, как показано на рисунке. Следует отметить, что этот простой способ при­ нятия решения, основанный на максимизации ожидаемой отдачи, может не всегда оказаться приемлемым. Например, также необходимо учитывать факторы риска, о чем мы поговорим в разделе 2.5.

Пример 2

Начальник отдела маркетинга компании «Даунбрукс» рассматривает воз­ можность запуска нового продукта. Необходимо принять ряд решений, связан­ ных со сбытом этого нового продукта. Сначала необходимо решить, попытаться ли немедленно приступить к сбыту, предварить его исследованием рынка или же полностью отказаться от проекта. Проведение маркетингового исследования обойдется приблизительно в 50 000 ф. ст. Сбыт товара обойдется в 100 000 ф. ст., так как потребуется закупить дополнительное оборудование и понести затраты по его монтажу и наладке. Отказ от проекта, в конечном счете, сэкономит компании 250 000 ф. ст. на расходах на содержание персонала.

Если компания решится на проведение маркетингового исследования, тогда вопрос, продавать новый товар или отказаться от него, все еще останется от­ крытым. Вероятность оценочных объемов продаж будет зависеть от того, прово­ дилось маркетинговое исследование или нет, а также от результатов такого исследования, которые могут оказаться либо положительными, либо отрица­ тельными. В таблице приведены вероятности различных объемов продаж нового продукта с учетом и без учета маркетингового исследования. В компании оце­ нивают, что высокий объем продаж принесет валовый доход в размере 1 млн. ф. ст., средний — 500 000 ф. ст. и низкий — только 200 000 ф. ст.

Дерево решений, приведенное на рис. 2.6, иллюстрирует возможные реше­ ния, а также оценки вероятностей наступления возможных событий.

Оценочная вероятность объемов продаж

Вероятности, указанные в таблице, отмечены на этом дереве решений. Также отмечены различные затраты. Например, проведение маркетингового исследования стоит 50 000 ф. ст. (сокращенно 50К) и показано на диафамме как отрицательное значение.

рассчитываем ожидаемые значения. Например, ожидаемое значение в блоке А, отмеченном на рис. 2.7, получается следующим образом: 0.4 х 1 000 000 + 0.4 х X 500 000 + 0.2 X 200 000 = 640 000 ф. ст. Продвигаясь в обратном направлении от данного вероятностного события, получаем блок решений, помеченный как Б, в котором содержится максимальное ожидаемое значение от двух ветвей (продавать или отказаться).

Вариант «продавать» дает ожидаемое значение в сумме 540 000 ф. ст. (т. е. уже рассчитанные 640 000 ф. ст. за вычетом 100 000 ф. ст. реализационных издер­ жек). Как вариант, «отказ» от продукта дает ожидаемое значение, равное 250 000 ф. ст. Таким образом, решение в данной ситуации будет состоять в том, чтобы продавать, что дает ожидаемое значение в 540 000 ф. ст. (это показано как 540К внутри блока Б).

Аналогичным образом получаем ожидаемое значение для вероятностного события (блок В): 0.7 х 540 000 + 0.3 х 250 000 = 453 000 ф. ст.

В окончательном виде ситуация представляется таким образом, что для максимизации ожидаемой прибыли компании необходимо:

(i)провести маркетинговое исследование и

(ii)если результаты маркетингового исследования положительны, присту­ пить к сбыту продукта, а если отрицательны — отказаться от продукта.

Дерево решений показывает, что ожидаемая прибыль, основанная на этих решениях (блок Г), равна 403 000 ф. ст.

По этим примерам видно, что процессы, задействованные при определе­ нии «наилучшего» решения, основываются на максимизации ожидаемых значе­ ний. Такой подход, по всей видимости, приемлем в условиях неоднократного принятия сходных решений. В этом случае ожидаемое значение дает оценку среднего (например, средней прибыли) из большого множества решений. Од­ нако в ситуациях, когда требуется принимать нестандартные, т. е. разовые ре­ шения, такой подход, учитывающий ожидаемые значения, может оказаться неэффективным. Так, в примере 1 вариант «покупать» дает максимальное ожи­ даемое значение, равное 1060 ф. ст. Однако, как мы видим, если выбрать дан-

2. (Е) В таблице приведены данные по дневной выработке крупного пред­ приятия обрабатывающей отрасли промышленности. Цифры приведены в ящи­ ках производимой продукции. В каждом ящике содержится 1000 кг продукции.

какой из двух товаров производить. Средств имеется только для производства одного товара. Затраты на наладку производства товара А составляют 10 000 ф. ст., а для товара Б они равны 15 000 ф. ст. Другие расходы, включая издержки по содержанию персонала и стоимость материалов, аналогичны. Для прогноза вероятных объемов продаж каждого из товаров использовались результаты мар­ кетингового исследования. Вероятности прогнозной валовой прибыли без учета затрат на наладку приведены в таблице:

(i)С помощью дерева решений определите, какой товар вы начнете про­ изводить с целью максимизации ожидаемой прибыли.

(ii)Повторите упражнение со значением 70 000 ф. ст. для «высокой» оцен­ ки прибьыи. Что-нибудь изменится в ваших рекомендациях?

2.9. Биноминальное распределение

Рассмотрим результаты проверки качества, проведенной компанией «Даунбрукс» на линии по выпуску шоколадных батончиков «Биг-Байт». Известно, что из каждых десяти изделий одно бракованное. Таким образом, 10% продук­ ции выбрасывается и не идет в продажу. Эту информацию можно записать следующим образом:

В (бракованный батончик) = 1/10 = 0.1. Аналогично, В (не бракованный) = 9/10 = 0.9.

Иногда батончики «Биг-Байт» продаются в упаковке по четыре в каждой под названием «Семейные». Вероятность того, что в упаковке из 4 штук один батончик окажется бракованным, рассчитывается следующим образом. Будем считать, что каждому батончику в упаковке присвоены соответственно буквы А, Б. В и Г. Вероятность того, что один батончик в упаковке окажется брако­ ванным, определяется, как это показано ниже:

В (один бракованный) = В (А бракованный и Б, В, Г не бракованные) + В (Б бракованный и А, В, Г не бракованные) -ь В (В бракованный и А, Б, Г не

бракованные) + В (Г бракованный и А, Б, В не бракованные) = 0.1 х0.9х0.9х

Это иллюстрирует конкретный пример биноминального распределения. Биномина^тьное распределение можно описать исходя из следующих критериев:

1. Возможны только два исхода (например, бракованный или нет, «Да» или «Нет»);

и2. Имеется фиксированное число повторяющихся проб (обозначаемое как л);

и3. Пробы не зависят друг от друга.

и4. Вероятность исхода остается неизменной для всех проб (обозначается

как р).

Приведенный пример иллюстрирует биноминальное распределение, так как:

(1)Имеется всего два возможных исхода, т. е. батончик окажется бракован­ ным или батончик окажется хорошим.

(2)Число повторяющихся независимых проб равно 4 (количеству батончи­ ков в упаковке).

(3)Вероятность того, что батончик бракованный, всегда равна 0.1. Таким образом, в данном примере мы имеем биноминальное распределе­

ние, где « = 4 и /7 = 0.1.

Вероятность получения г благоприятных исходов при п пробах в биноми­ нальном распределении определяется следующим образом:

В (г благоприятных исходов) = "С^р''[\ - р)"'"^,

где г = О, 1, 2, 3, ..., п.

Одна из составляющих формулы биноминальной вероятности требует до­ полнительного разъяснения. Число комбинаций п предметов, взятых г за один

раз, обозначается "С^. Значение "С^ получается по формуле

" Г "•

'г ! ( я - г ) ! '

где л! (л-факториал) = п (п — 1)(« — 2) ... 3-2-1. Обратите внимание, что данное правило определения факториалов распространяется на положительные целые числа. Значение О! = 1 является исключением из этого правила.

Т Определение. Биноминальное распределение можно использовать для расче­ та вероятностей при условиях, когда: (i) имеется только два возможных исхода в пробе (например, благоприятный исход или неблагоприятный исход); (и) незави­ сящие друг от друга пробы повторяются некоторое число раз (п); (Hi) вероятность благоприятного исхода (р) неизменна в каждой пробе. •

Пример 1 (факториалы)

Найдите значения следующих факториалов:

(О 5!; (ii) 2!3!; (in) ^ 7 ^ .

Расчеты приведены ниже:

(i) 5! = 5 - 4 - 3 - 2 - 1 = 120.

(ii) 2!3! = (2 • 1)(3 • 2 • 1) = (2)(6) = 12.

6! _ 6-54-3-21 _ 720 _ 720 ^ (iii) = 4!2!"(4-3-2-lX2-l)"24-2~ 48 ~ •

Пример 2 (комбинации)

Найдите количество комбинаций:

(i) 3Q; (ii) *Q; (iii) ' Q . Расчеты приведены ниже:

^6! _ 654-3-21 _ 720

В ходе проверки производственной линии было установлено, что один шоколадный батончик из десяти — бракованный. Для партии из четырех батон­ чиков найдите вероятность получения данного количества бракованных батон­ чиков.

Это типичная задача биноминального распределения со следующими пара­ метрами:

р = В (получение бракованного) = 1 из 10 = 0.1; п = число проб = количество проверенных батончиков = 4.

На основании этой информации мы можем по формуле рассчитать вероят­ ности получения любого количества бракованных батончиков:

В {г благоприятных исходов) = "СгР''{\ - р)"''^ •

Например, вероятность получения небракованных батончиков в партии из четырех штук получается подстановкой л = 4, /7 = 0.1 и г = 0 в выражение, как это показано ниже: