Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

(i)Для периода в 10 недель определите вероятность того, что среднее количество заказов, полученных за неделю, составит:

а) свыше 140; б) менее 135;

в) между 115 и 130.

(ii)Найдите 95%-ные доверительные пределы для среднего количества заказов, полученных за этот десятинедельный период.

(iii)Вы удивитесь, если среднее количество заказов, полученных за деся­ тинедельный период, составляли 150? Обоснуйте свой ответ, а также изложите выводы, которые можно было бы сделать на основании такого значения.

4.(D) В течение 1996 г. в клинике Св. Иосифа количество необходимых коек представляло собой нормальное распределение со средним арифметическим

1800 вдень и среднеквадратическим отклонением 190 вдень. В течение первых 50 дней 1997 г. среднедневная потребность в койках составила 1830. Один из старших администраторов клиники заявил, что это является доказательством того, что потребности в койках изменились по сравнению с 1996 г. Вы согласны

сэтим? Значима выборочная средняя за 1997 г.?

2.19.Краткое содержание главы

Вданной главе рассматривается понятие вероятности и ее применение в различных хозяйственных ситуациях. Вероятность используется для отражения возможности наступления альтернативных событий в условиях неопределенно­ сти. Руководитель может получить преимущество, если он знаком с методами определения вероятности и использует их при принятии решений. В данном контексте в качестве одного из методов мы рассмотрели определение вероятно­ сти с помощью дерева решений. Дерево решений можно использовать для ото­ бражения нескольких возможных решений и их последствий в числовом изме­ рении в том, что касается, например, затрат, прибыли, доходов. Следует отме­ тить, что, несмотря на свою полезность, при описании вариантов возможных решений данный метод лишь частично затрагивает всю проблемную область. Например, предполагается, что пользователь метода знает вероятности наступ­ ления случайных событий, представленных в дереве решений. В целом, эффек­ тивное использование дерева решений возможно только в сочетании с другими методами, и только тогда, на основании всей имеющейся информации, можно сформулировать реалистичные решения.

Вэтой главе мы также рассмотрели распределение вероятностей. В частно­ сти, нормальное распределение, определяемое значениями средней арифмети­ ческой и среднеквадратического отклонения. Непрерывное распределение веро­ ятностей играет важную роль, оно возникает в ряде реальных ситуаций и осо­ бенно полезно при рассмотрении результатов выборочного обследования. На­ пример, независимо от формы распределения, очерчиваемой исходной сово­ купностью, при взятии больших выборок и определении значений средних эти средние имеют тенденцию, что является фактом, приближаться к нормальному распределению. Знание такого распределения позволяет оценить вероятности различных переменных, например результаты оценочных тестов, критические объемы производства, поступление пациентов и длительность реализации про­ екта. Далее, нормальное распределение можно использовать при прогнозирова­ нии вероятностного диапазона получаемых значений, что достигается путем оценки участков под нормальной кривой. Это лежит в основе некоторых прак-

тических действий, например, проведения контроля качества, когда выборки сравниваются с отрицательными значениями, а затем в зависимости от резуль­ татов обследования принимаются соответствующие меры. Значения, лежащие вне «ожидаемого» диапазона, называются «значимыми». Понятие «значимости» можно использовать в процессе проверки гипотез. В данной главе мы рассмот­ рели один из методов проверки гипотез, в котором фигурировала средняя арифметическяя совокупность. И наконец, в главе приведены примеры на основе компьютерных программ по вопросам определения вероятностей, доверитель­ ных пределов и значимости выборочного среднего.

2.20. Дополнительные упражнения

1. (Е) Из прошлого опыта известно, что 10% работников опаздывают на работу, а другие 4% работников ежедневно отсутствуют на работе.

(i)Найдите вероятность того, что в какой-то день работник: а) не опоздает на работу; б) не будет отсутствовать.

(ii)Для двух не связанных между собой дней определите вероятность того, что работник:

а) опоздает в каждый из этих дней; б) опоздает в первый день и будет отсутствовать на второй; в) будет на месте в оба дня; г) будет отсутствовать в один из дней;

д) будет отсутствовать в один из дней и не опоздает в другой день.

2. (Е) Вероятность поступления в приемный покой клиники Св. Иосифа пациента в любую данную минуту составляет 0.4.

(i) Определите вероятность того, что за две последовательные минуты: а) не поступит ни одного пациента; б) пациент поступит только во вторую минуту; в) пациенты поступят в обе минуты; г) поступит только один пациент.

(ii) Дежурный по приемному покою на пять минут оставляет свое рабочее

ствий, и разработал защитные варианты на случай возникновения серьезны\ осложнений. Для выполнения поставленной задачи менеджер должен рассмот­ реть ряд потенциально неблагоприятных исходов, которые могут повлиять на деятельность компании, особенно в том, что касается вопросов производства и транспортировки. В связи с этим менеджер оценивает вероятность наступления некоторых событий с целью выработки приоритетов в отношении требуемьи защитных мер.

(i) Менеджер установил, что вероятность серьезного пожара, который приводит к остановке производства, в любой данный месяц составляет около 2%. Это считается неприемлемым, что подтверждается рассмотрением следую­ щих вероятностей. Определите вероятность того, что пожаров не будет:

а) в течение 3-х месяцев; б) в течение 6-ти месяцев; в) в течение 2-х лет.

Каковы выводы для компании по данной ситуации?

(и) Вероятность взлома или кражи товара в любую данную неделю состав­ ляет 1% Какова вероятность того, что:

а) в течение четырех недель взломов не будет; б) в течение четырех недель будет зафиксирован по меньшей мере один

взлом 4 (1) (О Станки, используемые в основной производственной зоне компа­

нии «Уокер и Шмидт», производят оценочно готовой продукции на 300 000 долл США в день каждый. Отсюда видно, что остановка одного из станков на продолжительное время может нанести компании серьезный ущерб. Вероят­ ность того, что какой-то станок встанет в любой данный день, оценивается равной О 03 У компании в наличии пять таких станков.

С помощью биноминального распределения определите вероятность того, что в любой данный день:

а) не сломается ни один из станков; б) только один станок сломается;

в) по меньшей мере два станка выйдут из строя. Как компания может исправить положение?

(И) В среднем в компании два небольших несчастных случая на производ­ стве в месяц. С помощью распределения Пуассона оцените вероятность того, что в любой данный месяц число небольших несчастных случаев составит:

а) менее двух; б) более трех.

5 (1) Автоматическая упаковочная машина, применяемая компанией «Даунбрукс», пакует шоколадные изделия в упаковки со средним весом 500 г и среднеквадратическим отклонением в 5 г. Если вес упаковок представляет собой нормальное распределение:

(О Определите вероятность того, что произвольно выбранная упаковка

(и) Найдите 95%-ные доверительные пределы для веса упаковок.

(ill) Компания стремится к тому, чтобы вес любой упаковки не отличался от официально проставленного более чем на 10 г. В случае нарушения этого параметра покупателю предоставляется право на получение возмещения пол­ ной стоимости покупки. Каков вероятный процент покупателей, которые по­ требуют такое возмещение?

(iv) Компания «Даунбрукс» поставляет эти упаковки в крупную сеть роз­ ничных магазинов. Розничные магазины осуществляют жесткий контроль каче­ ства, включая проведение выборочных проверок поставленной продукции. Так, проверяется вес ящика (144 упаковки) и определяется средний вес упаковки. Поставленная партия полностью возвращается компании «Даунбрукс», если средний вес в партии составляет менее 499 г. Исходя из этого определите, каков вероятный процент возвратов. Каковы последствия этого для руководства компания'' Как они могут исправить положение?

6 (I) Компания «Зендалл» производит и сбывает товары для дома, в том числе различные моющие порошки. Недавно компания разработала новое мою­ щее средство и теперь хочет организовать его продвижение на рынок. По оцен­ кам компании, рекламная кампания товара, приблизительной стоимостью в 2

млн. ф. ст., обеспечит ему 80% шансов на успех. По результатам маркетингового исследования компания оценивает, что с такой рекламной поддержкой товар может принести доход в сумме 6 млн ф. ст.; если же товар провалится, то доход составит только ].5 млн. ф. ст. Результаты исследования, а также опыт запуска товаров говорят о том, что без такой рекламной поддержки вероятность успеха составит только 40%. Также без предварительной рекламной кампании товар даже в случае успеха на рынке принесет доход, равный только 4.5 млн. ф. ст.,

ав случае провала — 0.7 млн. ф. ст.

Спомощью дерева решений дайте компании совет относительно того, начинать рекламную кампанию или нет.

7. (D) Крупная консультационная компания по вопросам управления, на­ ходящаяся в Лондоне, должна принять решение об установке новой компью­ терной системы. Компания предварительно отобрала три системы (А, Б и В), которые, как в ней считают, ей подходят. Однако системы существенно разнят­ ся по возможностям и цене: система А стоит 1.5 млн. ф. ст., система Б — 2 млн.

ф.ст., а система В — 4 млн. ф. ст. Кроме того, также разнится и ожидаемая отдача от этих систем в течение 5 лет: для системы А она составляет 3 млн. ф. ст., для системы — 5 млн. ф. ст., а для системы В — 6.5 млн. ф. ст. Ряд других компаний уже установили у себя систему В, и она считается полностью надежной. Веро­ ятность полной надежности других систем такова: для системы А она составляет 60%, а для системы Б — 80%. Если компания установит либо систему А, либо систему Б и такая система проявит себя неудовлетворительно, тогда будет не­ обходимо принимать решение относительно либо модификации системы, либо

покупки взамен другой. Стоимость модификации любой из систем составляет 1 млн. ф. ст. Но если новая система проявит себя хорошо, то трудностей никаких нет; если же плохо, тогда придется решать относительно того, модифицировать ли эту вторую систему или же установить систему В.

С помощью дерева решений проиллюстрируйте ситуацию и дайте компа­ нии рекомендации, какие действия лучше всего предпринять. Прокомменти­ руйте приемлемость данного метода. Какие другие вопросы, по вашему мне­ нию, должны быть учтены при принятии данного решения.

8. (I) В компании «Даунбрукс» 6% персонала — менеджеры, 10% — адми­ нистраторы и 30% связаны с реализацией. Остальные заняты на производстве. Если произвольно выбрать двух работников из общего списка, то какова веро­ ятность того, что:

а) оба окажутся менеджерами; б) никто из них не занимается реализацией;

в) только один занят на производстве; г) только один не является администратором;

д) один — менеджер, а другой занимается реализацией.

9. (D) В клинике Св. Иосифа рассматривается вопрос приобретения нового сканера для замены в научно-исследовательском отделе имеющегося, требую­ щего серьезного усовершенствования. Имеется три варианта: (i) купить новый сканер стоимостью 1 млн. долл. США; (ii) модифицировать имеющийся, затра­ тив 0.6 млн. долл. США; (iii) оставить все как есть. В случае приобретения нового сканера отдача от него оценивается в 2 млн. долл. США. Однако существует 20%- ная вероятность того, что новый сканер все же потребует доработки и это обойдется еще в 0.2 млн. долл. США, прежде чем он заработает на полную мощность. Аналогично, если модифицировать имеющийся сканер, существует все же вероятность в 10%, что потребуется проводить дополнительные работы,

стоимостью 0.1 млн. долл. США. Оценочный доход от модифицированного ска­ нера составляет 1.5 млн. долл. США, но при этом он все же будет уступать в производительности новому. Если оставить все, как есть, то оценочный доход составляет только 0.6 млн. долл. США.

Что вы порекомендуете клинике в данной ситуации?

10.(I) Число отсутствующих на работе работников в среднем составляет 3 человека в день. Невыходы на работу в компании носят случайный характер. С помощью распределения Пуассона определите вероятность того, что в любой данный день число отсутствующих будет:

(i)ноль человек;

(ii)только один человек;

(iii)менее двух человек;

(iv)минимум три человека.

11.(I) Пациентки поступают случайным образом в родильное отделение клиники Св. Иосифа с частотой 6 человек в час. Какова вероятность того, что

втечение получаса:

(i)не поступит никто;

(И) поступит менее двух пациенток; (iii) поступит более трех пациенток.

12. (D) Известно, что среднедневный объем производства на сборочной линии составляет 1200 единиц. После введения новой системы вознафаждения и предоставления льгот производственным рабочим в течение 50 дней было проведено выборочное обследование, в ходе которого было установлено, что среднедневный объем выпуска составил 1240 единиц со среднеквадратическим отклонением 150 единиц. Начальник отдела кадров утверждает, что новая сис­ тема вознафаждения и предоставления льгот привела к изменению объема выпуска. С помощью метода оценки гипотезы проверьте допущение, что сред­ недневный объем выпуска так и остался равным 1200 единицам. Прокомменти­ руйте полученные результаты.

Глава 3

СООТНОШЕНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

>Отображение соотношений

>Линейная и нелинейная зависимость

>Линейный коэффициент корреляции

>Ранговая корреляция

>Интерпретация коэффициента корреляции

>Коэффициент детерминации

>Линия «наилучшего соответствия»

>Методы регрессии

>Нелинейная зависимость

>Множественная регрессия

ЦЕЛИ:

^научить анализу зависимости между двумя переменными с помощью фафических методов

>научить вычислять коэффициенты корреляции с целью определения силы зависимости

>>научить использовать методы регрессии для получения простых прогно­ зов

>разъяснить различия между линейной и нелинейной зависимостью

^научить использованию зависимости в хозяйственных ситуациях при принятии управленческих решений

Введение

В предыдущих главах мы рассмотрели основы анализа единичных перемен­ ных, как-то заработной платы, объема производства, рентабельности и объема продаж Во многих хозяйственных ситуациях для проведения реалистичного анализа необходимо рассмотреть соотношение таких значений Часто бывает так, что в какой-то конкретной ситуации две или более переменных соотносят­ ся дру1 с другом Например, заработную плату можно увязать с объемом про­ изволе гва, объем продаж определяется затратами на рекламу, прибыль соотно-

сится с затратами. Знание соотношения между различными переменными мо­ жет сослужить добрую службу при принятии управленческих решений. Напри­ мер, такой показатель, как объем продаж, зависит от расходов на рекламу или влияет ли увеличение заработной платы, на рост объема производства, способ­ ствует принятию стратегии управления. Более того, такие соотношения могут быть полезны при составлении базисных прогнозов. Например, если увеличить расходы на рекламу на такую-то сумму, как изменится объем продаж? Или, насколько надо увеличить расходы на рекламу, чтобы добиться 5%-ного увели­ чения объема продаж? Вот такие вопросы мы и рассмотрим в этой главе.

Конкретный пример Компания «Петлокс»

Компания «Петлокс» основана в 1876 г. в Бостоне, штат Массачусетс. Ком­ пания производит на основе крупяных продукты к завтраку. Среди ее популяр­ ных продуктов — Wheat Flakes, Barley Crisps и Rice Pops. За последние годы компанией разработаны новые продукты, в том числе Petlocks Swiss Muesli, который стал второй по популярности маркой после Wheat Flakes.

Основное производство компании «Петлокс», как и раньше, находится на окраине Бостона Кроме того, имеются производственные и складские объекты в Джексоне, штат Миссисипи, в Тусоне, штат Аризона, и Миннеаполисе, штат Миннесота. Головная контора находится в Бостоне и включает отделы маркетинга, сбыта, материально-технического обеспечения и НИОКР. В компа­ нии занято свыше 2000 человек (с учетом обособленных подразделений).

Джо Симмонс, начальник отдела маркетинга, последние четыре года от­ слеживает ход реализации всех продуктов компании. В рамках осуществления контроля он затребовал провести исследование соотношения объемов продаж всех продуктов. Кроме того, осушествляется сбор информации по основным конкурентам компании «Петлокс» на этом рынке: в частности, фиксируются и анализируются объемы продаж по основным маркам. Такая информация позво­ ляет Симмонсу делать ценные прогнозы по объемам продаж ряда продуктов, исходя изданных прошлых лет по самой компании и по ее конкурентам. Кроме того, Симмонс затребовал от отдела сбыта предоставить отчет об эффективноста прошлой рекламы, а также включить в него анализ соотношения расходов на рекламу и объема продаж.

Конкретный пример Компания «Квик-Тайм Коуч»

Компания «КТК» владеет парком из 240 автобусов, которые распределены по шести региональным отделениям по всей территории Великобритании. От­ деления находятся в Ньюкасле, Саутге.мптоне, Кардиффе, Данди, Ланкастере и Бирмингеме. Каждое отделение имеет свой парк от 30 до 50 машин. Автобусы (с водителями «КТК») предназначены для частного найма. Много автобусов арендуется местными организациями, которые используют их для регулярных поездок, например для перевозки работников на работу и с работы. Иногда автобусы сдаются в аренду частным лицам и предприятиям. Некоторые туристаческие компании время от времени арендуют автобусы для проведения экс­ курсий, дневных прогулок, а также для более продолжительных, недельных или двухнедельных, поездок в Европу.

Головная контора «КТК» находится по месту расположения отделения в Ланкастере и состоит из 350 человек административного, управленческого и технического персонала. Каждое региональное отделение имеет в своем составе аппарат управления во главе с директором отделения. В аппарат также входят начальник транспортного отдела и начальник отдела сбыта. Всего в компании работает 800 штатных и внештатных сотрудников.

Начальник отдела кадров головной конторы занят в настоящее время ана­ лизом порядка отбора и приема на работу, который ныне действует в «КТК» Например, отбор всех руководителей низшего звена осуществляется на основа­ нии результатов прохождения профессиональных тестов, собеседований и ис­ пытательного периода Лайза Грегори, которая является начальником отдела кадров, считает, что нынешние подходы компании к вопросам подбора персо­ нала могут быгь усовершенствованы без ущерба для качества принимаемых решений относительно пригодности того или иного кандидата. Она предложила консультантам рассмотреть данную проблему и подготовить отчет по ряду воп­ росов, в том числе о соотношении между результатами, полученными канди­ датами на различных этапах, а также о том, можно ли было предугадать неко­ торые результаты на более ранних этапах. Кроме того, Грегори запросила ана­ лиз пригодности текущей практики отбора, исходя из результатов, полученных кандидатами, и их нынешних показателей работы.

3.1. Отображение соотношений

При использовании многих аналитических методов на первом этапе часто полезно попытаться фафически отобразить полученные данные. Такой подход может привести к решению задачи, и отпадет необходимость прибегать к сложным ана­ литическим приемам. Но, к сожалению, фафическое отображение данных часто недооценивают в качестве инструмента делового общения. График разброса поле­ зен с точки зрения иллюстрации возможного соотношения наборов данных. На последующих примерах мы рассмотрим, как пользоваться этим фафиком.

Пример 1

В таблице приведены данные по месячным объемам продаж двух популяр­ ных марок продуктов, производимых компанией «Петлокс». (Значения приведе­ ны в млн. до.тл. США).

Объемы продаж двух продуктов можно проиллюстрировать с помощью фафика разброса. График разброса на рис. 3.1 содержит несколько точек, пред­ ставляющих пары значений из таблицы. Оси фафика представляют только по одной переменной каждая. На рис. 3.1 горизонтальная ось соответствует объему продаж Barley Krisps, а вертикальная ось — Rice Pops. Каждая точка офажает объем продаж двух продуктов за данный месяц. Например, в январе, когда

объем продаж Barley Krisps достиг 3 млн. долл. США, объем продаж Rice Pops составил 2.6 млн. долл. Это показано одной точкой на графике.

Как это видно из графика, между двумя наборами данных, по-видимому, существует взаимосвязь. Точки лежат в узкой области, протянувшейся от левого низа к правому верху графика. Это указывает на то, что низкие месячные объемы продаж Barley Krisps обычно соответствуют низким объемам продаж Rice Pops. Таким образом, увеличение объема продаж одного продукта будет обычно соответствовать увеличению объема продаж второго продукта. Соотно­ шение, конечно же, не идеально, что видно из цифр за январь и февраль. В эти два месяца объем продаж Barley Krisps рос, а у другого продукта он падал.

Из фафика нельзя сделать вывод о том, существует или нет определенное соотношение между данными объемов продаж. Однако из фафика точно видно, что связь между двумя продуктами вероятна.

Месячный объем продаж (млн долл. США)

Рис. 3.1, Сравнение объемов продаж

Пример 2

Группа из восьми предварительно отобранных кандидатов на руководящую должность в компании «КТК» проходила оценочные тесты. Результаты двух тестов, оценивавших пригодность кандидатов с точки зрения знания основ проведения расчетов и вычислений, а также умения логически излагать свои мысли, приведены в таблице:

График разброса для этого набора данных представлен на рис. 3.2. Горизон­ тальная ось показывает баллы кандидатов за тест по математике, а вертикаль­ ная ось — баллы за тест по логике речи. Точки разбросаны по значительной области фафика, указывая на то, что между двумя наборами баллов не суще­ ствует очевидной взаимосвязи. Например, кандидат, получивший наибольшее количество баллов по логике речи, получает «средний» балл по математике. Аналогично, кандидат, получивший наименьшее количество баллов по логике

речи, хорошо справился с тестом по математике. Таким образом, из графика видно, что два оценочных теста дают крайне различные результаты. Кандидат хорошо выполняюший задания одного из тестов, необязательно столь же ус­ пешно справится со вторым. В целом результаты одного из тестов не позволяют предсказать результаты второго теста.

Рис. 3.2. Сравнение результатов тестов

Данное обстоятельство ставит под сомнение пригодность этих двух те­ стов для использования при отборе кандидатов на предлагаемую должность Если полученные результаты не связаны, тогда тесты, возможно, дают не значащую информацию, что вредно при отборе наилучшего кандидата на предлагаемую должность. Из графика видно, что два теста проверяют не связанные друг с другом навыки и умения. Таким образом, начальник отде­ ла «КТК» может заключить, что при отборе нецелесообразно использовать оба эти теста. И наоборот, возможно, тесты специально используются для проверки различных навыков. Политика «КТК» может быть ориентирована на отбор только тех кандидатов, кто хорошо себе проявит в обоих тестах Отсюда, в нашем примере, только кандидат 3, похоже, обладает необходи­ мыми навыками.

3.2. Линейная и нелинейная зависимость

Как мы уже отметили в предьщущем разделе, фафик разброса может по­ мочь в определении, имеется или нет зависимость между двумя наборами дан­ ных. Если зависимость существует, то она либо линейная, либо нелинейная Линейная зависимость представлена прямыми линиями, а нелинейная зависи­ мость — кривой. На последующих примерах мы покажем соотношения обоих типов.

Пример 1

Рассмотрим приведенную ниже таблицу, в которой отражены объемы про­ даж компании «Петлокс» за 10 лет. (Цифры обозначают объемы продаж, выра­ женные в млн. упаковок Barley Krisps):